高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理 11.2 二項式定理課件.ppt

第十一章計數(shù)原理 11 2二項式定理 高考數(shù)學(xué) 浙江專用 考點二項式定理及應(yīng)用1 2017課標(biāo)全國 理 4 5分 x y 2x y 5的展開式中x3y3的系數(shù)為 a 80b 40c 40d 80 五年高考 答案c本題考查二項式定理 求特定項的系數(shù) 2x y 5的展開式的通項為tr 1 2x 5 r y r 1 r 25 r x5 ryr 其中x2y3項的系數(shù)為 1 3 22 40 x3y2項的系數(shù)為 1 2 23 80 于是 x y 2x y 5的展開式中x3y3的系數(shù)為 40 80 40 2 2017課標(biāo)全國 理 6 5分 1 x 6展開式中x2的系數(shù)為 a 15b 20c 30d 35 答案c本題考查二項式定理中項的系數(shù)問題 對于 1 x 6 若要得到x2項 可以在中選取1 此時 1 x 6中要選取含x2的項 則系數(shù)為 當(dāng)在中選取時 1 x 6中要選取含x4的項 即系數(shù)為 所以 展開式中x2項的系數(shù)為 30 故選c 3 2014浙江 5 5分 在 1 x 6 1 y 4的展開式中 記xmyn項的系數(shù)為f m n 則f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 a 45b 60c 120d 210 答案c在 1 x 6的展開式中 xm的系數(shù)為 在 1 y 4的展開式中 yn的系數(shù)為 故f m n 從而f 3 0 20 f 2 1 60 f 1 2 36 f 0 3 4 故選c 4 2016四川 2 5分 設(shè)i為虛數(shù)單位 則 x i 6的展開式中含x4的項為 a 15x4b 15x4c 20ix4d 20ix4 答案at3 x4i2 15x4 故選a 易錯警示易誤認為i2 1而致錯 評析正確應(yīng)用二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵 5 2015課標(biāo) 10 5分 x2 x y 5的展開式中 x5y2的系數(shù)為 a 10b 20c 30d 60 答案c x2 x y 5 x2 x y 5的展開式中只有 x2 x 3y2中含x5y2 易知x5y2的系數(shù)為 30 故選c 6 2015湖北 3 5分 已知 1 x n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等 則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 a 212b 211c 210d 29 答案d 1 x n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)分別為 得n 10 從而有 210 又 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 29 評析本題考查求二項展開式的二項式系數(shù)及其性質(zhì) 組合數(shù)性質(zhì) 考查運算求解能力 7 2015湖南 6 5分 已知的展開式中含的項的系數(shù)為30 則a a b c 6d 6 答案d的展開式的通項為tr 1 5 r a r 依題意 令5 2r 3 得r 1 a 1 30 a 6 故選d 8 2015陜西 4 5分 二項式 x 1 n n n 的展開式中x2的系數(shù)為15 則n a 4b 5c 6d 7 答案c因為 x 1 n的展開式中x2的系數(shù)為 所以 15 即 15 亦即n2 n 30 解得n 6 n 5舍 9 2014湖北 2 5分 若二項式的展開式中的系數(shù)是84 則實數(shù)a a 2b c 1d 答案ctr 1 2x 7 r 27 rar 令2r 7 3 得r 5 由22 a5 84得a 1 故選c 10 2014湖南 4 5分 的展開式中x2y3的系數(shù)是 a 20b 5c 5d 20 答案a展開式的通項為tk 1 2y k 1 k 22k 5x5 k yk 令5 k 2 得k 3 則展開式中x2y3的系數(shù)為 1 3 22 3 5 20 故選a 評析本題考查由二項式定理求指定項系數(shù) 組合數(shù)的計算 考查學(xué)生的運算求解能力 屬于中檔題 11 2017浙江 13 6分 已知多項式 x 1 3 x 2 2 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 則a4 a5 答案16 4 解析本題考查二項式定理 求指定項系數(shù) 組合數(shù)計算 考查運算求解能力 設(shè) x 1 3 x3 b1x2 b2x b3 x 2 2 x2 c1x c2 則a4 b2c2 b3c1 12 22 13 2 16 a5 b3c2 13 22 4 12 2017山東理 11 5分 已知 1 3x n的展開式中含有x2項的系數(shù)是54 則n 答案4 解析本題主要考查二項展開式 1 3x n的展開式的通項tr 1 3rxr 含有x2項的系數(shù)為32 54 n 4 13 2016北京 10 5分 在 1 2x 6的展開式中 x2的系數(shù)為 用數(shù)字作答 答案60 解析tr 1 16 r 2x r 2 r xr 令r 2 得t3 2 2x2 60 x2 故x2的系數(shù)為60 14 2016山東 12 5分 若的展開式中x5的系數(shù)是 80 則實數(shù)a 答案 2 解析tr 1 a5 r 令10 r 5 解之得r 2 所以a3 80 a 2 15 2016課標(biāo)全國 14 5分 2x 5的展開式中 x3的系數(shù)是 用數(shù)字填寫答案 答案10 解析tr 1 2x 5 r r 25 r 令5 3 得r 4 t5 10 x3 x3的系數(shù)為10 16 2016天津 10 5分 的展開式中x7的系數(shù)為 用數(shù)字作答 答案 56 解析tr 1 x16 2r x r 1 rx16 3r 令16 3r 7 得r 3 所以x7的系數(shù)為 1 3 56 易錯警示本題中 展開式的通項易寫錯 尤其是符號 正負易混 需引起注意 評析本題主要考查二項式定理 對運算求解能力要求較高 屬中檔題 17 2015課標(biāo) 15 5分 a x 1 x 4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32 則a 答案3 解析設(shè)f x a x 1 x 4 則其所有項的系數(shù)和為f 1 a 1 1 1 4 a 1 16 又奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為 f 1 f 1 又f 1 0 a 1 16 32 a 3 評析二項展開式問題中 涉及系數(shù)和的問題 通常采用賦值法 18 2015北京 9 5分 在 2 x 5的展開式中 x3的系數(shù)為 用數(shù)字作答 答案40 解析 2 x 5的展開式的通項為tr 1 25 r xr r 0 1 5 則x3的系數(shù)為 22 40 19 2015天津 12 5分 在的展開式中 x2的系數(shù)為 答案 解析的展開式的通項為tr 1 x6 r x6 2r 令6 2r 2 得r 2 所以x2的系數(shù)為 20 2015重慶 12 5分 的展開式中x8的系數(shù)是 用數(shù)字作答 答案 解析二項展開式的通項為tr 1 x3 5 r 令15 3r 8 得r 2 于是展開式中x8的系數(shù)為 10 21 2015安徽 11 5分 的展開式中x5的系數(shù)是 用數(shù)字填寫答案 答案35 解析展開式的通項為tk 1 x3 7 k x k x21 4k 令21 4k 5 得k 4 則展開式中x5的系數(shù)為 35 22 2015福建 11 4分 x 2 5的展開式中 x2的系數(shù)等于 用數(shù)字作答 答案80 解析tr 1 x5 r 2r r 0 1 5 令5 r 2 得r 3 所以x2的系數(shù)為 23 80 23 2015廣東 9 5分 在 1 4的展開式中 x的系數(shù)為 答案6 解析 1 4的展開式的通項為tr 1 4 r 1 r 1 r 令 1 得r 2 從而x的系數(shù)為 1 2 6 24 2015四川 11 5分 在 2x 1 5的展開式中 含x2的項的系數(shù)是 用數(shù)字填寫答案 答案 40 解析tr 1 2x 5 r 1 r 1 r 25 r x5 r 令5 r 2 則r 3 所以含x2的項的系數(shù)是 40 25 2014大綱全國 13 5分 的展開式中x2y2的系數(shù)為 用數(shù)字作答 答案70 解析tr 1 1 r 令得r 4 所以展開式中x2y2的系數(shù)為 1 4 70 26 2014安徽 13 5分 設(shè)a 0 n是大于1的自然數(shù) 的展開式為a0 a1x a2x2 anxn 若點ai i ai i 0 1 2 的位置如圖所示 則a 答案3 解析根據(jù)題意知a0 1 a1 3 a2 4 結(jié)合二項式定理得即解得a 3 27 2014山東 14 5分 若的展開式中x3項的系數(shù)為20 則a2 b2的最小值為 答案2 解析tr 1 ax2 6 r a6 rbrx12 3r 令12 3r 3 則r 3 a3b3 20 即ab 1 a2 b2 2ab 2 即a2 b2的最小值為2 評析本題考查二項式定理及基本不等式的綜合應(yīng)用 考查學(xué)生推理論證及運算求解能力 28 2014課標(biāo) 13 5分 x a 10的展開式中 x7的系數(shù)為15 則a 用數(shù)字填寫答案 答案 解析tr 1 x10 rar 令10 r 7 得r 3 a3 15 即a3 15 a3 a 29 2014課標(biāo) 13 5分 x y x y 8的展開式中x2y7的系數(shù)為 用數(shù)字填寫答案 答案 20 解析由二項展開式公式可知 含x2y7的項可表示為x xy7 y x2y6 故 x y x y 8的展開式中x2y7的系數(shù)為 8 28 20 30 2016浙江自選 計數(shù)原理與概率 模塊 04 1 5分 已知 1 2x 4 1 x2 3 a0 a1x a2x2 a10 x10 求a2的值 解析因為 1 2x 4的展開式的通項為 2x r r 0 1 2 3 4 1 x2 3的展開式的通項為 x2 r r 0 1 2 3 所以a2 22 1 21 31 2015浙江自選 計數(shù)原理與概率 模塊 04 1 5分 已知n為正整數(shù) 在 1 x 2n與 1 2x3 n展開式中x3項的系數(shù)相同 求n的值 解析 1 x 2n中x3項的系數(shù)為 1 2x3 n中x3項的系數(shù)為2n 由 2n得 2n 解得n 2 32 2014四川 2 5分 在x 1 x 6的展開式中 含x3項的系數(shù)為 a 30b 20c 15d 10 以下為教師用書專用 答案c在 1 x 6的展開式中 含x2的項為t3 x2 15x2 故在x 1 x 6的展開式中 含x3的項的系數(shù)為15 評析本題考查二項展開式中求指定項的系數(shù) 屬容易題 但在 1 x 6前面乘以x后 易誤求t4 x3 33 2013遼寧 7 5分 使 n n 的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為 a 4b 5c 6d 7 答案btr 1 3x n r 3n r 3n r r 0 1 2 n 若tr 1是常數(shù)項 則有n r 0 即2n 5r r 0 1 n 當(dāng)r 0 1時 n 0 不滿足條件 當(dāng)r 2時 n 5 故選b 34 2013江西 5 5分 展開式中的常數(shù)項為 a 80b 80c 40d 40 答案c此二項展開式的通項為tr 1 x2 5 r 1 r 2rx 3r 1 r 2r x10 5r 令10 5r 0 得r 2 所以常數(shù)項為t3 22 40 選c 35 2013課標(biāo)全國 5 5分 已知 1 ax 1 x 5的展開式中x2的系數(shù)為5 則a a 4b 3c 2d 1 答案d由二項式定理得 1 x 5的展開式的通項為tr 1 xr 所以當(dāng)r 2時 1 ax 1 x 5的展開式中x2的系數(shù)為 當(dāng)r 1時 x2的系數(shù)為 a 所以 a 5 a 1 故選d 36 2013安徽 11 5分 若的展開式中x4的系數(shù)為7 則實數(shù)a 答案 解析二項展開式的通項為tr 1 x8 r ar 由8 r 4得r 3 故 a3 7 解得a 評析有關(guān)二項展開式的問題 先要準(zhǔn)確地寫出通項并進行計算 注意二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別 37 2013浙江 11 4分 設(shè)二項式的展開式中常數(shù)項為a 則a 答案 10 解析展開式的通項為tr 1 5 r 1 r 令 r 0 得r 3 當(dāng)r 3時 t4 1 3 10 故a 10 38 2013四川 11 5分 二項式 x y 5的展開式中 含x2y3的項的系數(shù)是 用數(shù)字作答 答案10 解析二項展開式的通項為tk 1 x5 kyk 令k 3 則t4 x2y3 10 x2y3 故應(yīng)填10 39 2013天津 10 5分 的二項展開式中的常數(shù)項為 答案15 解析通項tr 1 x6 r 1 r r 1 r 令6 r 0 得r 4 所以常數(shù)項為 1 4 15 1 2017浙江寧波二模 5月 3 1 2x 6展開式中含x2項的系數(shù)為 a 15b 30c 60d 120 三年模擬 一 選擇題 a組2015 2017年高考模擬 基礎(chǔ)題組 答案c由二項展開式知 含x2項的系數(shù)為 22 60 故選c 2 2017浙江金華十校調(diào)研 5 在 1 x n a0 a1x a2x2 anxn中 若2a2 an 5 0 則正整數(shù)n的值是 a 7b 8c 9d 10 答案b由二項展開式的通項公式得tk 1 1n k x k 1 kxk 所以a2 1 n 5 1 n 所以0 2 1 n 所以n 5 且n為偶數(shù) 利用組合數(shù)的計算公式 知0 2 即 n 2 n 3 n 4 5 120 所以n 8 故選b 3 2017浙江金華十校聯(lián)考 4月卷 3 若 x 1 8 1 a1x a2x2 a8x8 則a5 a 56b 56c 35d 35 答案b利用二項展開式的通項公式知 a5 1 5 56 故選b 4 2017浙江 超級全能生 聯(lián)考 3月 2 在二項式的展開式中 常數(shù)項是 a 240b 240c 160d 160 答案c二項式的展開式的通項為tk 1 2x 6 k 1 k 26 kx6 2k 令6 2k 0 得k 3 則展開式中的常數(shù)項是 1 3 23 160 故選c 5 2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷二 5 已知x10 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a10 x 1 10 則系數(shù)ai i 0 1 2 10 中最大的是 a a5b a4或a5c a4或a6d a5或a6 答案c本題考查二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì) 意在考查學(xué)生的運算求解能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想 因為x10 1 x 1 10 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 10 所以ai 1 i 要滿足條件 則i必為偶數(shù) 再由二項式系數(shù)的性質(zhì)知 a4 a6最大 故選c 二 填空題 6 2017浙江杭州二模 4月 12 若的展開式中所有二項式系數(shù)和為64 則n 展開式中的常數(shù)項是 答案6 240 解析由題知 2n 64 所以n 6 展開式的第 k 1 項為tk 1 2x 6 k 1 k 26 kx6 3k 令6 3k 0 知k 2 所以常數(shù)項為 1 2 26 2 240 7 2017浙江名校 杭州二中 交流卷三 15 已知 2x 1 3 2x 1 4 a0 a1x a2x2 a7x7 則a1 a3 a5 a7 答案54 解析令x 1 得a0 a1 a7 81 令x 1 得a0 a1 a7 27 兩式相減得2 a1 a7 108 a1 a3 a5 a7 54 8 2017浙江嘉興基礎(chǔ)測試 11 在 2 x 6的展開式中 含x3的項的二項式系數(shù)為 系數(shù)為 用數(shù)字作答 答案20 160 解析展開式的通項為tk 1 26 k x k 所以含x3的項為t4 23 x 3 故其二項式系數(shù)為 20 系數(shù)為 23 160 9 2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一 12 設(shè)的展開式的各項系數(shù)之和為m 二項式系數(shù)之和為n 若m n 240 則n 展開式中含x2項的系數(shù)為 答案4 108 解析依題意有m 4n n 2n 由4n 2n 240 得n 4 tk 1 3x 4 k x k 34 kx4 2k 令4 2k 2 得k 1 故展開式中含x2項的系數(shù)為33 108 10 2016浙江金麗衢十二校第二次聯(lián)考 計數(shù)原理與概率 模塊 1 已知 x t 6 a0 a1x a2x2 a6x6 t 0 且的展開式中常數(shù)項為240 則a0 a2 a4 a6 答案32 解析二項式的展開式中的第r 1項為tr 1 x2 6 r 2t r x r 2t rx12 3r 令12 3r 0 得r 4 則24t4 240 解得t 1 x 1 6 a0 a1x a2x2 a6x6 分別令x 1和x 1 得26 a0 a1 a2 a6 0 a0 a1 a2 a6 兩式左右兩邊分別相加得2 a0 a2 a4 a6 26 故a0 a2 a4 a6 32 1 2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三4月聯(lián)考 4 的展開式中含的項是 a 第8項b 第9項c 第10項d 第11項 一 選擇題 b組2015 2017年高考模擬 綜合題組 答案b二項展開式的通項tk 1 2 k 令 k 1 解得k 8 所以所求項是第9項 故選b 2 2017浙江臺州4月調(diào)研卷 一模 8 已知的展開式中各項系數(shù)的和為32 則展開式中系數(shù)最大的項為 a 270 x 1b 270 xc 405x3d 243x5 答案b令x 1 得 a 1 5 32 所以a 3 則展開式的通項tk 1 35 k 1 k x5 2k 僅需考慮k為偶數(shù)的情形 此時t1 35x5 243x5 t3 33 x 270 x t5 3 x 3 15x 3 故展開式中系數(shù)最大的項為270 x 故選b 3 2017浙江溫州2月模擬 6 若二項式的展開式中各項系數(shù)和為32 則該展開式中含x項的系數(shù)為 a 1b 5c 10d 20 答案b令x 1 得2n 32 所以n 5 展開式的通項tk 1 5 k 令 1 解得k 1 故展開式中含x項的系數(shù)為 5 故選b 4 2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷一 5 在的二項展開式中 常數(shù)項為210 則實數(shù)a的值是 a 1b 1c 1d 2 答案c本題考查二項式定理 設(shè)第 k 1 項為常數(shù)項 則有tk 1 a k 則由5 k 0 解得k 6 則常數(shù)項為 a 6 210 解得a 1 故選c 5 2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷四 6 已知1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 1 x 2017 a0 a1x a2x2 a3x3 a2017x2017 則a2 a4 a6 a2016的值是