高考數(shù)學 5.2等差數(shù)列配套課件 文 北師大版.pptVIP

第二節(jié)等差數(shù)列 三年19考高考指數(shù) 1 理解等差數(shù)列的概念 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系 2 掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 3 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系 并能用有關知識解決相應的問題 1 等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式是考查重點 2 運用歸納法 累加法 倒序相加法 方程思想 函數(shù)的性質(zhì)解決等差數(shù)列問題是重點 也是難點 3 題型以選擇題和填空題為主 與其他知識點結合則以解答題為主 1 等差數(shù)列的定義 1 條件 一個數(shù)列從 起 每一項與前一項的差是同一個常數(shù) 2 公差 是指常數(shù) 通常用字母d表示 3 定義表達式 n n 第2項 an 1 an d 常數(shù) 即時應用 判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列 請在括號中填寫 是 或 否 1 數(shù)列0 0 0 0 0 2 數(shù)列1 1 2 2 3 3 3 數(shù)列 4 數(shù)列a 2a 3a 4a 解析 1 4 中從第二項開始 每一項與前一項的差為同一常數(shù) 而 2 3 中從第二項開始 每一項與前一項的差并不是同一常數(shù) 故 1 4 為等差數(shù)列 2 3 不是 答案 1 是 2 否 3 否 4 是 2 等差數(shù)列的通項公式若等差數(shù)列 an 的首項是a1 公差是d 則其通項公式為an a1 n 1 d 即時應用 1 思考 公差d與數(shù)列 an 的單調(diào)性有什么關系 提示 當d 0時 an 為遞增數(shù)列 當d 0時 an 為遞減數(shù)列 當d 0時 an 為常數(shù)列 2 在等差數(shù)列 an 中 a5 10 a12 31 則數(shù)列的通項公式為 解析 a5 a1 4d a12 a1 11d an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 5 答案 an 3n 5 3 等差數(shù)列10 7 4 的第20項為 解析 由a1 10 d 7 10 3 n 20 得a20 10 20 1 3 47 答案 47 3 等差中項如果在a與b中間插入一個數(shù)a 使a a b成等差數(shù)列 那么 叫作a與b的等差中項 a 即時應用 1 是a a b成等差數(shù)列的 條件 2 若等差數(shù)列 an 的前三項依次為a 2a 1 4a 2 則它的第五項為 解析 1 若可知2a a b 可推出a a b a 所以a a b成等差數(shù)列 反之 若a a b成等差數(shù)列 則故是a a b成等差數(shù)列的充要條件 2 由題意知2a 1是a與4a 2的等差中項 即2a 1 解得a 0 故數(shù)列 an 的前三項依次為0 1 2 則a5 0 4 1 4 答案 1 充要 2 4 4 等差數(shù)列的前n項和公式 1 已知等差數(shù)列 an 的首項a1和第n項an 則其前n項和公式sn 2 已知等差數(shù)列 an 的首項a1與公差d 則其前n項和公式sn 即時應用 1 在等差數(shù)列 an 中 a1 5 an 95 n 10 則sn 2 在等差數(shù)列 an 中 a1 100 d 2 n 50 則sn 3 在等差數(shù)列 an 中 d 2 n 15 an 10 則sn 解析 1 2 50 100 49 2550 3 由an a1 n 1 d得 10 a1 15 1 2 解得a1 38 答案 1 500 2 2550 3 360 等差數(shù)列的基本運算 方法點睛 1 等差數(shù)列運算問題的通法等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d 然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程 組 求解 2 等差數(shù)列前n項和公式的應用方法等差數(shù)列前n項和公式有兩個 如果已知項數(shù)n 首項a1和第n項an 則利用如果已知項數(shù)n 首項a1和公差d 則利用在求解等差數(shù)列的基本運算問題時 有時會和通項公式結合使用 例1 1 2011 廣東高考 等差數(shù)列 an 前9項的和等于前4項的和 若a1 1 ak a4 0 則k 2 2011 湖北高考 九章算術 竹九節(jié) 問題 現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子 自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列 上面4節(jié)的容積共為3升 下面3節(jié)的容積共4升 則第5節(jié)的容積為 升 3 2011 福建高考 已知等差數(shù)列 an 中 a1 1 a3 3 求數(shù)列 an 的通項公式 若數(shù)列 an 的前k項和sk 35 求k的值 解題指南 1 根據(jù)s9 s4求公差d 利用ak a4 0求k 2 轉(zhuǎn)化為關于a1 d的方程組 先求a1 d 再求a5 或直接轉(zhuǎn)化為關于a5 d的方程組求解 3 求出公差d后直接寫出an 求出sn 根據(jù)sk 35求k的值 規(guī)范解答 1 s4 s9 答案 10 2 方法一 設自上第一節(jié)竹子容量為a1 依次類推 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 又a1 a2 a3 a4 4a1 6d 3 a7 a8 a9 3a1 21d 4 解得 方法二 設自上第一節(jié)竹子容量為a1 依次類推 則第九節(jié)容量為a9 且數(shù)列 an 為等差數(shù)列 a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 聯(lián)立 解得a5 答案 3 設等差數(shù)列 an 的公差為d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 從而an 1 n 1 2 3 2n 由 知an 3 2n 由sk 35得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7 互動探究 本例 3 中 若將 a1 1 a3 3 改為 a1 31 s10 s22 試求 sn 這個數(shù)列的前多少項的和最大 并求出這個最大值 解析 s10 a1 a2 a10 s22 a1 a2 a22 又s10 s22 a11 a12 a22 0 即a11 a22 2a1 31d 0 又a1 31 d 2 方法一 由 知sn 32n n2 當n 16時 sn有最大值 sn的最大值是256 方法二 由sn 32n n2 n 32 n 欲使sn有最大值 應有1 n 32 從而當且僅當n 32 n 即n 16時 sn有最大值256 方法三 a1 31 d 2 an 31 n 1 2 31 2n 2 33 2n 設前n項和最大 則15 5 n 16 5 n 16時 sn有最大值 反思 感悟 1 等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式 共涉及五個量a1 an d n sn 知其中三個就能求另外兩個 體現(xiàn)了用方程解決問題的思想 2 數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用 而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量 用它們表示已知和未知是常用方法 變式備選 在等差數(shù)列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a66 2 已知s8 48 s12 168 求a1和d 3 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 解析 1 方法一 設首項為a1 公差為d 依題意條件得 a66 23 66 1 4 237 方法二 由由an am n m d 得a66 a45 66 45 4 237 2 sn na1 3 a6 10 s5 5 a8 a1 7d 5 7 3 16 s8 8a1 28d 8 5 28 3 44 等差數(shù)列的判定 方法點睛 等差數(shù)列的判定方法 1 定義法 對于n 2的任意自然數(shù) 驗證an an 1為同一常數(shù) 2 等差中項法 驗證2an 1 an an 2 n 3 n n 成立 3 通項公式法 驗證an pn q 4 前n項和公式法 驗證sn an2 bn 提醒 判定方法中的 1 2 可作為證明等差數(shù)列的方法 3 4 只能作為定性判斷等差數(shù)列的方法 例2 已知數(shù)列 an 中 n 2 n n 數(shù)列 bn 滿足 n n 1 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 中的最大項和最小項 并說明理由 解題指南 利用定義法證明數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 先求bn 再求an 最后利用函數(shù)的單調(diào)性求最大項和最小項 規(guī)范解答 1 n 2 n n 數(shù)列 bn 是以為首項 以1為公差的等差數(shù)列 2 由 1 知設則f x 在區(qū)間 和 上為減函數(shù) 當n 3時 an取得最小值 1 當n 4時 an取得最大值3 故最大項為a4 最小項為a3 反思 感悟 本例中在用定義法證明 bn 是等差數(shù)列時 不論用bn 1 bn還是用bn bn 1 需要考慮運算中是否包含了b2 b1這一運算 這是容易被忽視的問題 變式訓練 已知數(shù)列 an 的前n項和為sn 且滿足an 2sn sn 1 0 n 2 a1 求證 是等差數(shù)列 證明 an sn sn 1 且an 2sn sn 1 0 n 2 sn sn 1 2sn sn 1 0 n 2 又sn 0 數(shù)列 是以2為首項 2為公差的等差數(shù)列 等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 方法點睛 等差數(shù)列的常見性質(zhì) 1 若m n p q 2k 則am an ap aq 2ak 2 若 an bn 都是等差數(shù)列 k m r 數(shù)列 kan mbn 仍為等差數(shù)列 3 sm s2m sm s3m s2m仍為等差數(shù)列 4 am an m n d d m n 5 項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列 an s2n n a1 a2n n an an 1 s偶 s奇 nd 6 項數(shù)為奇數(shù) 2n 1 的等差數(shù)列 an s2n 1 2n 1 an 1 例3 1 2011 遼寧高考 sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 s2 s6 a4 1 則a5 2 2012 寶雞模擬 等差數(shù)列 an 的前17項和s17 51 則a5 a7 a9 a11 a13 3 設等差數(shù)列 an 的前n項和為sn 已知前6項和為36 最后6項的和為180 sn 324 n 6 求數(shù)列 an 的項數(shù)及a9 a10 解題指南 1 根據(jù)s2 s6 先求a4 a5的值 再求a5 2 根據(jù)性質(zhì)知a1 a17 a7 a11 a5 a13 2a9求解 3 根據(jù)前6項與最后6項的和求出a1 an 再求n及a9 a10 規(guī)范解答 1 s2 s6 s6 s2 a3 a4 a5 a6 0 2 a4 a5 0 即a4 a5 0 a5 a4 1 答案 1 2 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 且s17 51 51 即a1 a17 6 a5 a7 a9 a11 a13 a5 a13 a7 a11 a9 6 6 3 3 答案 3 3 由題意知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又 18n 324 n 18 a1 a18 36 a9 a10 a1 a18 36 互動探究 若本例 1 條件不變 改為求此等差數(shù)列的前多少項的和最大 并求出最大值 解析 在本例 1 中已求解出a5 1 又a4 1 得公差d 2 前4項的和最大 且s4 1 3 5 7 16 反思 感悟 1 在等差數(shù)列 an 中 若m n p q 2k 則am an ap aq 2ak是常用的性質(zhì) 本例 1 2 3 題都用到了這個性質(zhì) 在應用此性質(zhì)時 一定要觀察好每一項的下標規(guī)律 不要犯a2 a5 a7的錯誤 2 本例 2 也可先求a1與d的關系 然后求解 但不如用性質(zhì)簡單 變式備選 等差數(shù)列 an 的前n項和為sn 已知am 1 am 1 am2 0 s2m 1 38 求m的值 解析 am 1 am 1 2am am 1 am 1 am2 2am am2 0 解得am 0或am 2 又 a1 a2m 1 2am am 0 am 2 2m 1 19 解得m 10 滿分指導 等差數(shù)列主觀題的規(guī)范解答 典例 12分 2012 廣州模擬 已知等差數(shù)列 an 滿足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n項和為sn 1 求an及sn 2 令 n n 求數(shù)列 bn 的前n項和tn 解題指南 分析題意知 對本題 1 可列方程組求解 2 將an代入bn后 表示出bn是解題關鍵 規(guī)范解答 1 設等差數(shù)列 an 的公差為d 因為a3 7 a5 a7 26 所以有解得a1 3 d 2 3分所以an 3 2 n 1 2n 1 6分 2 由 1 知an 2n 1 所以 9分所以 11分即數(shù)列 bn 的前n項和 12分 閱卷人點撥 通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2011 江西高考 設 an 為等差數(shù)列 公差d 2 sn為其前n項和 若s10 s11 則a1 a 18 b 20 c 22 d 24 解析 選b 因為s10 s11 所以a11 0 而a11 a1 10d a1 10 2 0 所以a1 20 2 2011 天津高考 已知 an 為等差數(shù)列 sn為其前n項和 n n 若a3 16 s20 20 則s10的值為 解析 由題意知答案 110 3