第5章彈性靜力學(xué)小位移變形理論的變分原理(16K).doc

第5章 彈性靜力學(xué)小位移變形理論的變分原理對(duì)連續(xù)體來說，其數(shù)學(xué)上的處理方法是利用給定的邊界條件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的邊界條件下求得其解，這種解析方法，實(shí)際做起來往往遇到很大的困難，使許多工程實(shí)際問題的計(jì)算模型很難建立，滿足不了實(shí)際需要。自從五十年代直剛法問世以來，利用離散化的方法，將一個(gè)連續(xù)體劃分為有限數(shù)量及具有一定幾何形狀的單元體，即有限單元，再按照一定的過程進(jìn)行計(jì)算，這就使得過去許多工程計(jì)算感到困難的問題得到解決，這種方法不受結(jié)構(gòu)特殊幾何形狀的限制，因此，它的適應(yīng)范圍是相當(dāng)廣泛的。有限元素法的提出和應(yīng)用，是工程分析方法上的一次重大的變革，隨著理論探討上的深入及計(jì)算機(jī)性能的不斷提高，使得解的精確性不斷地得到改進(jìn)，以至使得有限元素法成為當(dāng)前計(jì)算領(lǐng)域方面的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，無論對(duì)結(jié)構(gòu)問題（如靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)）、非結(jié)構(gòu)問題（如流體力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)）以及許多邊緣學(xué)科等都得到廣泛的應(yīng)用。有限元素法的解題過程和步驟在一般的有關(guān)有限元法教課書和著作中均有詳細(xì)討論，本章不再贅述。變分原理是有限元素法的基礎(chǔ)，要很好地理解有限元素法，則應(yīng)該對(duì)能量變分原理有一個(gè)較系統(tǒng)地了解。本章的目的是盡可能地對(duì)這些能量變分原理作系統(tǒng)性的介紹，從一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method）的完全及不完全廣義變分原理和為分區(qū)集合體的分區(qū)（Sub-region）廣義變分原理，這將涉及到以混合（Mixed）模型和雜交（Hybrid）模型為基礎(chǔ)的變分原理。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)不同變分原理，進(jìn)一步說明了有限元素法中的元素的剛度特性和推導(dǎo)元素剛度矩陣的一般過程及表達(dá)顯式，以及變分原理在結(jié)構(gòu)分析中的若干應(yīng)用實(shí)例，使讀者能比較清晰地了解各類變分原理與建立有限元模型之間的關(guān)系。5.1 小位移彈性理論的最小位能原理與最小余能原理設(shè)在卡氏直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)參數(shù)為，體積為的彈性體中任意一點(diǎn)的位移參數(shù)為、應(yīng)力分量為以及應(yīng)變分量為。由線彈性力學(xué)理論，我們可以得到如下的用于描述一個(gè)彈性靜力學(xué)小位移變形問題的基本方程式。（1）力的平衡方程 （在內(nèi)） （5-1）式中表示體力，表示應(yīng)力分量對(duì)坐標(biāo)分量的偏導(dǎo)數(shù)（以下相同）。（2）應(yīng)變位移關(guān)系式（幾何關(guān)系） （在內(nèi)） （5-2）（3）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式（物理關(guān)系） （5-3） （5-3）式中為彈性模量系數(shù)，為勁度系數(shù)，和都具有對(duì)稱性。（4）在彈性體的邊界上，表面S可劃分為兩部分：外力已知的邊界及位移為已知的邊界，前者稱為力的邊界，后者稱為位移邊界，即 （5-4）在力的邊界上， （5-5）式中為已知邊界力，為的邊界外法線向量與坐標(biāo)軸夾角的方向余弦。在位移邊界上， （5-6）式中為已知邊界位移。（5-5）式和（5-6）式統(tǒng)稱為“邊界條件”。上述的諸方程共有15個(gè)，即3個(gè)平衡方程，6個(gè)應(yīng)變位移關(guān)系方程，6個(gè)物理關(guān)系方程。而未知變量也共計(jì)15個(gè)：6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量和3個(gè)位移分量。因此該問題是可以求解的。小位移變形彈性體的應(yīng)變能泛函（或應(yīng)變能密度）和余應(yīng)變能泛函（余應(yīng)變能密度）可表示為 （5-9） （5-10）不難看出，和有以下關(guān)系， （5-11）并且容易證明 （5-12） （5-13）（一）虛功原理與總位能原理這里用和分別表示應(yīng)變變分和位移變分，在虛功原理中可視為虛應(yīng)變和虛位移。則由虛功原理可寫出虛功方程為 （5-14）(5-14)式成立是有條件的，要求和在彈性體內(nèi)部滿足應(yīng)變位移關(guān)系和在位移邊界上滿足給定位移邊界條件，即 （在V內(nèi)） （5-15a） （在上） （5-15b）虛功原理表明，如果彈性體在給定的體力和邊界力作用下處于平衡狀態(tài)，則對(duì)于為位移邊界條件所容許的任意虛位移，（5-14）式成立。反過來，如果（5-14）式對(duì)于為位移邊界條件所容許的任意虛位移成立，則彈性體處于平衡狀態(tài)。值得提出的是，不管材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性還是非線性，虛功原理都成立。如果用下面泛函表示彈性體的總位能， （5-16）對(duì)（5-16）式取駐值，即一階變分等于零， （5-17）將（5-14）式與（5-17）式比較，顯然，（5-17）式就是（5-14）式。所以，可以把總位能原理理解為虛功原理的另一種表達(dá)形式。由于 （5-18）利用格林公式，上式等號(hào)右邊積分可變換為并引用（5-15b）式，則（5-17）式可化為因?yàn)闉楠?dú)立量，則由總位能駐值條件可導(dǎo)出：平衡方程（5-1）即（在V內(nèi)）及力的邊界條件（5-5）即（在上）。（5-16）式表達(dá)了彈性體的最小位能原理：在滿足應(yīng)變位移關(guān)系（5-2）和位移邊界條件（5-6）的所有容許的中，實(shí)際的使彈性體的總位能取最小值。（二）余虛功原理與總余能原理余虛功原理中，可取表示彈性體內(nèi)的應(yīng)力變分，即虛應(yīng)力。另外，表示彈性體指定位移邊界上的表面邊界力的變分。與虛功方程相類似的余虛功方程可表示為 （5-19）余虛功原理是在滿足平衡方程（5-1）式及力的邊界條件（5-5）式的條件下成立，即滿足（5-1）式和（5-5）式的變分形式的條件為 （在V內(nèi)） （5-20） （在上） （5-21）現(xiàn)在定義下面的泛函為彈性體的總余能 （5-22）現(xiàn)在對(duì)（5-22）式取駐值，即，則有 (5-23)利用格林公式，上式中的體積分項(xiàng)可化為考慮到（5-21）式后，（5-23）式可寫成 (5-24)再考慮到應(yīng)滿足（5-20）式，且為獨(dú)立量，則由的駐值條件可以導(dǎo)出位移邊界上的協(xié)調(diào)條件為 （5-25）（5-22）式表達(dá)了彈性體的最小余能原理：在滿足平衡方程（5-1）和力的邊界條件（5-5）的所有容許的應(yīng)力中，實(shí)際的應(yīng)力使彈性體的總余能取最小值。上面所討論的變分原理，所提出的泛函是受一定條件約束的，如最小位能原理的泛函 應(yīng)滿足的條件是（5-2）式和（5-6）式，而最小余能原理的泛函應(yīng)滿足的條件是（5-1）式和（5-5）式。這種變分原理稱為不完全變分原理，或稱為帶約束條件的變分原理。5.2 小位移彈性理論的完全及不完全廣義變分原理5.2.1 完全廣義變分原理現(xiàn)在，讓我們利用拉格朗日乘子法，導(dǎo)出小位移彈性理論的無條件的廣義變分原理。在5.1節(jié)的討論中，不論是總位能原理或總余能原理，其能量泛函的提出是附帶一定條件的即在滿足一定條件下提出的。如果我們利用拉格朗日乘子法，將泛函提出的條件作為約束方程引入到泛函中去，則問題的性質(zhì)就發(fā)生了變化，即將帶有約束條件的泛函轉(zhuǎn)化為不帶任何約束條件的泛函。于是形成了下面的完全廣義變分原理。（1） 基于總位能原理的小位移彈性理論的完全廣義變分原理現(xiàn)在，讓我們將總位能原理的初始滿足條件即應(yīng)變位移關(guān)系式（5-2）和位移邊界條件（5-6），分別乘以定義在體積內(nèi)的和位移邊界上的拉格朗日乘子和，并與總位能泛函相加組成新的泛函， （5-26）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是，及，而不需要附加任何條件。對(duì)這些獨(dú)立量進(jìn)行變分，有引用（5-18）式及格林公式，上式第三個(gè)積分可化為將上式代入式中，得由可以導(dǎo)出以下各式，（在V內(nèi)） （5-27a,b,c）， (在上) （5-27d,e） （在上） （5-27f）顯然，（5-27c）式表示平衡方程，（5-27b）式表示應(yīng)變與位移的關(guān)系式，將（5-27a）式代入（5-27d）式中，則得，將（5-27a）式帶入（5-27f）式得，表示力邊界上的給定條件。從以上的推導(dǎo)中，清楚地看到完全廣義變分原理可導(dǎo)出平衡關(guān)系（5-1）、應(yīng)變位移關(guān)系（5-2）、力的邊界上的給定表面力（5-5）式及位移邊界上的指定位移（5-6）式。將乘子、分別用、代替，則泛函可寫成下列形式 （5-28）該式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是三類共15個(gè)，即、和，而沒有約束條件。于是，（5-28）式表示的完全廣義變分原理可敘述為：滿足（5-1）式（5-6）式的解、，必使得泛函有駐值。（5-26）式和（5-28）式表示的廣義原理，也稱為胡海昌-鷲津原理?，F(xiàn)在再討論另一種形式的完全廣義變分原理，即Hellinger-Reissner變分原理，同屬于無約束條件的廣義變分。Hellinger-Reissner泛函由下式定義，式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和拉格朗日乘子，而沒有約束條件。對(duì)上式泛函取一階變分，由駐值條件，可得 （5-29）上式等號(hào)右邊第一個(gè)積分，可以進(jìn)一步用分部積分展開，可得 （5-30）將（5-30）式代回（5-29）式，經(jīng)過整理后，可得下式 從上式中可以導(dǎo)出以下條件 （在V內(nèi)） 平衡方程 （在上） 力邊界條件 （在上） 位移邊界條件并且可以得到拉格朗日乘子的涵意，如果引入關(guān)系式（5-12），即，則還可以得到 （在V內(nèi)） 應(yīng)變位移關(guān)系從而驗(yàn)證了在泛函極值條件下，導(dǎo)出了彈性力學(xué)各類基本方程。將乘子用代替，泛函可以寫為下列形式（5-31）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量共9個(gè)，即和，而沒有約束條件。從泛函中不難看出，此種廣義變分屬于二類自變量的廣義變分，和是獨(dú)立假設(shè)的。Hellinger-Reissener泛函在構(gòu)造彎曲板有限元模型得到廣泛的應(yīng)用（參閱本書第六章6.3節(jié)）。實(shí)際上，將物理關(guān)系引入（5-28）式消去應(yīng)變分量，也可以得到（5-31）式。通過分部積分，泛函（5-31）也可以寫成另一形式如下：（5-31）（2） 基于總余能原理的小位移彈性理論的完全廣義變分原理現(xiàn)在我們從總余能泛函出發(fā)，將彈性體內(nèi)的平衡條件（5-1）及力的邊界條件（5-5）分別用定義在V內(nèi)和上的拉格朗日乘子和引入，并形成下面的泛函式中、和均作為獨(dú)立變量。對(duì)上式進(jìn)行一階變分，得 （5-32）上式中 （5-33）將（5-33）式代入（5-32）式，則由（5-32）式可以得到以下駐值條件：， (在V內(nèi)) （5-34a,b,c）， (在上) （5-34d,e） (在上) （5-34f）如果將上式得到的和代入式，則泛函可以寫為下列形式（5-35）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是三類共15個(gè)，即、和，而沒有約束條件。于是，（5-35）式表示的完全廣義變分原理可敘述為：滿足（5-1）式（5-6）式的解、，必使得泛函有駐值。如果將平衡條件（5-1）及力的邊界條件（5-5）分別用定義在V內(nèi)和上的拉格朗日乘子和引入總余能泛函，并形成下面的泛函式中經(jīng)受獨(dú)立變分的量是、和。可以證明，上述的泛函與（5-31）式的泛函是相同的，即（5-36）這是一個(gè)屬于二類自變量的廣義變分，其中的和是獨(dú)立假設(shè)的。實(shí)際上，將物理關(guān)系引入（5-35）式消去應(yīng)變分量，也可以得到（5-36）式。下面我們將進(jìn)一步證明（5-28）式與（5-35）式的等價(jià)性。將（5-28）式與（5-35）式相加，得到利用分部積分，從而得，或 （5-37）(5-37)式證明了兩種泛函的等價(jià)性。所以，完全變分原理的兩種泛函即與是等價(jià)的，只是有正、負(fù)之差，但這對(duì)取駐值沒有關(guān)系。從物理意義上也比較易于理解，由于小位移線性彈性系統(tǒng)的完全變分原理，在泛函中全部地概括了所有的條件，因此而構(gòu)成其等價(jià)性。而對(duì)于一般總位能泛函與總余能泛函，這一等價(jià)性并不成立，讀者可以自行驗(yàn)證。5.2.2 有條件的不完全廣義變分原理在5.2.1節(jié)中，我們討論了不附帶任何條件的完全變分原理，對(duì)泛函取駐值，導(dǎo)出了所有的需要滿足的條件。但實(shí)際情況也并非如此，譬如我們可以不要求完全變分原理的泛函，而只是在滿足部分的條件（即放松提出泛函的某些條件的要求），再引用拉格朗日乘子法，組成不完全變分原理的泛函。不完全變分原理較多用于有限元素法中，如混合模型、基于位能原理的位移雜交模型或基于余能原理的應(yīng)力雜交模型等。對(duì)于基于總位能原理的不完全廣義變分原理列舉幾例，概述如下。（1）在滿足位移邊界條件（5-6）的所有允許變量、中，只有當(dāng)、為真實(shí)解時(shí)，使下面的泛函為駐值， （5-38）式中、均為獨(dú)立變量。當(dāng)對(duì)（5-38）式取駐值，有 （5-39）利用格林公式，并引入，可以得到將上式代入（5-39）式，同時(shí)注意到泛函是在滿足位移邊界（5-6）的條件下提出的，故上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)中的表面S只包含力的邊界，（5-39）式變?yōu)?（5-40）因?yàn)椤⒕鶠楠?dú)立變量，由（5-40）式可導(dǎo)出在體積V內(nèi)， （5-41a,b,c）在力的邊界上 （5-41d）將（5-41a）式代入（5-41d）式中，得 （5-41d）將式（5-41a）式代入（5-38）式，則得泛函為 (5-38)（2）在滿足應(yīng)變位移關(guān)系式（5-2）的所有容許的變量中，只有真實(shí)解使下面的泛函取駐值 （5-42）現(xiàn)在對(duì)取駐值，即，有（5-43）引入（5-13）式，再利用格林公式，上式等號(hào)右邊第一個(gè)積分中的第一項(xiàng)可化為將上式代入（5-43）式，得 因?yàn)?、為?dú)立變量，故由上式可以導(dǎo)出以下條件，在體積V內(nèi)： （5-44a）在力的邊界上： （5-44b）在位移邊界上： ， （5-44c,d）現(xiàn)在將（5-44c）代入（5-42）式，可得泛函為 （5-42）（3）設(shè)位移邊界條件為。在滿足其中一個(gè)位移邊界條件如的所有容許的、中，只有當(dāng)、為真實(shí)解時(shí)，使下面的泛函有駐值 （5-45）這種不完全滿足位移邊界的泛函，可以只滿足其中一部分位移邊界條件，如式（5-45）那樣，也可以滿足其中的兩個(gè)位移邊界條件，而形成相應(yīng)的泛函。具體推導(dǎo)讀者可自行完成。（4）在滿足一個(gè)應(yīng)變位移關(guān)系的所有容許的位移、應(yīng)變及應(yīng)力中，真實(shí)的、必使下列泛函為駐值 （5-46）基于總余能原理的不完全廣義變分原理，其基本處理方法與上面類似，仍是利用拉格朗日乘子法，使一部分條件乘以拉格朗日乘子作為泛函的一部分，參與到泛函中去，而將另一部分條件作為泛函提出的條件。按泛函提出滿足不同的條件，也可以劃分為以下幾種。（1/）在滿足力的邊界條件（5-5）的所有容許的位移、應(yīng)變及應(yīng)力中，只有真實(shí)的、使下面的泛函有駐值 (5-47)式中，和拉格朗日乘子均作為獨(dú)立變量。在引用了（5-13）式和（5-3）式，即及格林公式，使后，對(duì)（5-47）式取駐值，可得到下式因?yàn)?、都是?dú)立變量，故由上式可導(dǎo)出以下駐值條件，在體積V內(nèi)：， （5-48a,b）由可知，在體積V內(nèi)， （5-48c）而在位移邊界上， （5-48d）將（5-48c）及(5-48d)代入（5-47）式中，得 （5-47）（2/）在滿足平衡方程式（5-1）的所有容許的、中，只有當(dāng)、為真實(shí)解時(shí)，使下面泛函有駐值 （5-49）式中應(yīng)力，應(yīng)變，乘子是作為獨(dú)立變量。對(duì)泛函（5-49）取駐值，推導(dǎo)上式，我們用了格林公式，使由此可導(dǎo)出以下各式 （在V內(nèi)）， （在上） （在上） （5-50a,b,c,d）現(xiàn)在將（5-50c）式代入（5-49）式中，可得出泛函為 （5-49）（3/）在滿足一個(gè)（譬如全部共有三個(gè)）給定力邊界條件如的所有容許的、中，只有真實(shí)的、使下列泛函為駐值 （5-51）同樣，如果要求的泛函滿足二個(gè)以上給定力邊界條件時(shí)，可以參考（5-51）式，也不難求出其泛函表達(dá)式。讀者可以自行推導(dǎo)。5.3 小位移彈性理論的分區(qū)變分原理傳統(tǒng)變分原理采用整體插值，而有限元素法是把整體分割為有限個(gè)元素的集合體，采用的是分區(qū)插值。將分區(qū)概念引入變分原理，用分區(qū)插值代替整體插值，并且放松各個(gè)分區(qū)交界面上的連續(xù)性要求，就得到所謂的分區(qū)變分原理。分區(qū)變分原理是變分原理與分區(qū)概念相結(jié)合的產(chǎn)物，為建立新型的有限元模型提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。設(shè)一個(gè)連續(xù)的彈性體被劃分為若干個(gè)分區(qū)或單元（如圖5-1所示），其體積分別為。任一分區(qū)的體積力為，表面為，一般由三部分組成：其中，為中包含給定位移的邊界面，為中包含給定表面力的邊界面，為與相鄰分區(qū)的交接面。圖5-1 分區(qū)示意圖在分區(qū)變分原理中，各個(gè)分區(qū)按需要可任意定為位能區(qū)（如圖5-1中的分區(qū)（, ）或余能區(qū)（如圖5-1中的分區(qū)）。各個(gè)分區(qū)中獨(dú)立變分的量可以任意定為三類變量（位移，應(yīng)力，應(yīng)變）或兩類變量（和）或一類變量（或）。相鄰分區(qū)的交接面分為、三類，表示其兩側(cè)都是位能區(qū)，的兩側(cè)都是余能區(qū)，的一側(cè)是位能區(qū)，另一側(cè)是余能區(qū)。各個(gè)分區(qū)的各類變量不僅可以獨(dú)立變分，而且在邊界面上可以要求或不要求滿足給定的位移或面力邊界條件，在分區(qū)的交接面上也可以要求或不要求滿足交接面上位移或面力的連接條件（即位移相容條件和力平衡條件）。小位移彈性理論的分區(qū)變分原理的泛函一般可寫成下面形式 （5-52）上式等式右邊各項(xiàng)的涵義為，第一項(xiàng)為各位能區(qū)的總位能或廣義的總位能之和，第二項(xiàng)為各余能區(qū)的總余能或廣義的總余能之和，第三、四、五項(xiàng)分別表示相鄰分區(qū)交接面處的附加能量之和，取決于交接面的類型。根據(jù)分區(qū)的性質(zhì)，我們可以把分區(qū)變分原理歸結(jié)為以下三類，（1）位能分區(qū)變分原理。彈性體在整體上被分割成有限個(gè)位能區(qū)的集合體，并基于最小位能原理導(dǎo)出的修正變分原理。（2）余能分區(qū)變分原理，彈性體在整體上被分割成有限個(gè)余能區(qū)的集合體，并基于最小余能原理導(dǎo)出的修正變分原理。（3）混合分區(qū)變分原理，彈性體在整體上被分割成有限個(gè)位能區(qū)和余能區(qū)的集合體，是上述兩類修正變分原理的混合。分區(qū)變分原理是基于傳統(tǒng)變分原理的一種修正變分原理，與5.2節(jié)的完全與不完全變分原理不同的是，后者可以看作是在單元水平上進(jìn)行修正與混合，而分區(qū)變分原理則是在彈性體整體水平上進(jìn)行修正與混合。下面我們將在傳統(tǒng)變分原理的基礎(chǔ)上，為有限元素的集合體進(jìn)行分區(qū)變分原理的公式推導(dǎo)。5.3.1 位能分區(qū)變分原理為了以后方便，現(xiàn)在用和表示兩個(gè)任意的相鄰元素，用表示和的交接面，如圖5-2所示。另外引用兩個(gè)符號(hào)和來區(qū)別交接面屬于的還是屬于的（這里表示的整個(gè)邊界）。（1）修正最小位能原理設(shè)每個(gè)元素的廣義位移表示為圖5-2 、，； 如果選擇的每一個(gè)元素的位移函數(shù)滿足下列要求：（）在元素內(nèi)，是連續(xù)的和單值的；（）在元素的交接面上，滿足位移相容條件，即在上， （5-53）（）如若元素的邊界包含有，則該元素的位移函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件（5-6）。則這些位移函數(shù)的集合可以作為最小位能原理泛函的容許位移函數(shù)，那么，元素集合體的最小位能原理的泛函就由下式給出 （5-54）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是，是由（5-16）式確定的元素的總位能泛函。（2）修正位能原理如果我們放松元素交接面上的位移相容條件（5-53）式，將約束條件（5-53）利用定義在上的拉格朗日乘子引入到（5-54）式的泛函表達(dá)式中，則形成下面的泛函： （5-55）式中的和是經(jīng)受變分的獨(dú)立變量，并帶有約束條件（5-6）。對(duì)（5-55）式取駐值， 由以上的駐值條件，可導(dǎo)出下列的關(guān)系式， （在內(nèi)） （5-56a） （在上） （5-56b）（在上），（在上） （5-56c） （上） （5-56d）式中與分別表示沿與上外法線方向的方向余弦，對(duì)同一點(diǎn)來說，有顯然，（5-56a）為平衡方程（5-1）式，（5-56b）為力的邊界（5-5）式，（5-56c）為乘子，（5-56d）為位移相容條件。令和分別等于及，即有 ， （5-57）（5-57）式指明了拉格朗日乘子的物理意義，即就等于上的表面力（注意是的函數(shù)，和記作）。將代入（5-55）式，得到 （5-58）而或 （5-59）（5-58）式給出的原理稱為放松連續(xù)性要求的第一修正位能原理，因?yàn)樵谥蟹潘闪耍?-53）式的要求，每一個(gè)元素的位移函數(shù)可以獨(dú)立選擇而不用考慮元素交接面上的位移相容條件的要求。這里要指出的是，這個(gè)修正原理不再是最小原理了，而僅僅保持其駐值性質(zhì)。泛函還可以作進(jìn)一步的處理。若我們引進(jìn)兩個(gè)函數(shù)與，它們分別定義在與上，且服從下列關(guān)系式： （A）由（A）式的條件，可見： ， （B）現(xiàn)在將（B）式代入（5-55）式中，等號(hào)右邊末項(xiàng)積分的被積函數(shù)就變?yōu)橐韵滦问?（C）并附帶約束條件（A）。因此，可以引入一個(gè)定義在上新的拉格朗日乘子將約束條件（A）加入到泛函（5-55）中，于是（5-55）式可改寫為下面等價(jià)形式： （5-60）而 （D）（5-60）式稱為放松連續(xù)性要求的第二修正位能原理，式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和，帶有約束條件（5-6）式。其中，在元素中的及在上的與在元素中的及在上的都可以獨(dú)立選取，但必須在元素交接面上有共同的，以保證交接面處位移的協(xié)調(diào)性。?。?-60）式的駐值，可得 （E）由此得到在上的下列駐值條件：， （5-61a,b）， （5-61c,d）及 （5-61e）（5-61）式的物理意義十分明顯。將（5-61a,b）代入（5-61e），得 （5-61f）（5-61f）表示在交接面上，力是平衡的。如果將駐值條件（5-61a,b）引入中消去和，就可以把改寫成另一形式如下 （F）并得到 （5-62）這個(gè)原理稱為放松連續(xù)性要求的第三修正位能原理，式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是和，帶有約束條件（5-6）式。在這些變分的量中，內(nèi)的與內(nèi)的都可以獨(dú)立選擇，但是對(duì)于和必須是共同的。（3）修正廣義位能原理下面我們將從出發(fā)，導(dǎo)出一種修正廣義變分原理。即滿足平衡方程（5-1）、應(yīng)變位移關(guān)系式（5-2）、物理關(guān)系式（5-3）、位移邊界條件（5-5）及力的邊界條件（5-6）及在元素交接面上滿足位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件的解，使下列泛函有駐值： （5-63）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和，而不帶約束條件?？梢宰C明，在上，的駐值條件也給出（5-61a,b,c,d,e）式表示的方程。因此，我們可以把寫成另一等價(jià)形式如下： （5-64）式中 （G）（5-64）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和，而不帶約束條件。（4）修正Hellinger-Reissner原理利用應(yīng)變位移關(guān)系式（5-2），從泛函中消去應(yīng)變分量就導(dǎo)致修正Hellinger- Reissner泛函： （5-65）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和，而不帶約束條件。利用分部積分，可以得到修正Hellinger-Reissner泛函的另一表達(dá)式如下： （5-66）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和，沒有約束條件。5.3.2 余能分區(qū)變分原理我們也可以從最小余能原理出發(fā)，導(dǎo)出有限元集合體的最小余能原理、修正余能原理以及修正廣義變分原理等。用下列記號(hào)來表示每個(gè)元素中的應(yīng)力：，； 如果選擇的每一個(gè)元素的應(yīng)力函數(shù)滿足下列要求：（）在元素中，是連續(xù)的和單值的，并且滿足平衡方程（5-1）；（）在元素的交接面上，滿足平衡條件，即在上， （5-67） 式中和是由（5-57）式定義的；（）如若元素的邊界包含有，則該元素的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足力邊界條件（5-5）。這些滿足上述條件的應(yīng)力函數(shù)的集合可以作為最小余能原理泛函的容許函數(shù)，那么，元素集合體的最小余能原理的泛函就可以由下式給出 （5-68）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是，是由（5-22）式確定的元素的總余能泛函。如果我們放松元素交接面上的平衡條件（5-67）式，將約束條件（5-67）利用定義在上的拉格朗日乘子引入到（5-68）式的泛函表達(dá)式中，則得到如下的修正余能原理的泛函： （5-69）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是和，并帶有約束條件（5-1）和（5-5）。關(guān)于泛函的原理稱為放松連續(xù)性要求的修正余能原理，因?yàn)樵谥蟹潘闪耍ǎ┑囊?，每一個(gè)元素內(nèi)關(guān)于應(yīng)力的函數(shù)可以獨(dú)立選擇而不用考慮元素交接面上的力的平衡條件的要求。這里要指出，這個(gè)修正原理不再是最小原理了，而僅僅保持其駐值性質(zhì)。對(duì)（5-69）式的泛函進(jìn)行一階變分，可得到下列駐值條件： （在上） （5-70a）（在上），（在上） （5-70b,c）將（5-70b）或（5-70c）代入（5-69）式，并將寫成以下形式 （5-71）式中由下式給出 或 （5-72）如若將（5-71）式中的替換為廣義余能泛函（即（5-35）式），同樣可以得到一種修正廣義余能原理，即滿足平衡方程（5-1）、應(yīng)變位移關(guān)系式（5-2）、物理關(guān)系式（5-3）、位移邊界條件（5-5）及力的邊界條件（5-6）及在元素交接面上滿足位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件的解，使下列泛函有駐值： （5-73）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和，而不帶約束條件?；蛳旅娴膬深愖宰兞康男拚龔V義原理 （5-74）式中經(jīng)受變分的獨(dú)立量是、和，而不帶約束條件。以上變分過程，讀者可自行進(jìn)行。5.3.3 混合分區(qū)變分原理如果彈性體在整體上被分割為位能區(qū)和余能區(qū)的混合分區(qū)（如圖5-1所示的），則形成混合分區(qū)變分原理?；旌戏謪^(qū)變分原理在解決一些特殊結(jié)構(gòu)問題（如裂紋問題）時(shí)是非常有效的。在混合分區(qū)時(shí)，我們用表示所有位能區(qū)的集合，表示所有余能區(qū)的集合，如對(duì)圖5-1所示的分區(qū)，有，同時(shí)用表示交接面兩側(cè)都是位能區(qū)，表示兩側(cè)都是余能區(qū)，表示一側(cè)是位能區(qū)另一側(cè)是余能區(qū)?？紤]兩個(gè)任意的相鄰分區(qū)和，如果和，或和，則其交接面=，或=。交接面處的附加能量已由5.3.1節(jié)給出，交接面處的附加能量已由5.3.2節(jié)給出。當(dāng)相鄰分區(qū)和，一個(gè)是位能區(qū)如，一個(gè)是余能區(qū)如時(shí)，則其交接面=。而交接面處的附加能量由下式給出： （5-75a）因?yàn)?，上式又可寫?（5-75b）證明（5-75）式是很容易的。不失一般性，假設(shè)全域由和組成，即+，且，。在內(nèi)選擇位移，并且在內(nèi)滿足應(yīng)變位移關(guān)系式（5-2），在上滿足位移邊界條件（5-6），在內(nèi)選擇應(yīng)力，并且在內(nèi)應(yīng)力滿足平衡方程（5-1），在上滿足力的邊界條件（5-5），則全域的能量泛函為 （5-76）其中 （即（5-16）式） （A1） （即（5-22）式） （A2） （A3）我們要證明的是，在所有容許的位移及所有容許的應(yīng)力中，只有真實(shí)的及真實(shí)的使（5-76）式的泛函有駐值。對(duì)（5-76）式的泛函取一階變分，注意的是所經(jīng)受變分的量是位移，所經(jīng)受變分的量是應(yīng)力，而所經(jīng)受變分的量是和。依據(jù)泛函提出的條件，則有 （B1） （B2） （B3） （B4）從而導(dǎo)出下列駐值條件： （在內(nèi)） （C1） （在上） （C2） （在上） （C3） （在上） （C4） （在上） （C5）顯然，上式中的（C4）式和（C5）式就是在交接面上的連續(xù)性要求。如果及是真實(shí)解，則（C）式的條件都成立，從而有，即使（5-76）式的泛函取駐值。（5-76）式表示的能量原理是有條件的。如果我們對(duì)位能區(qū)和余能區(qū)分別采用完全或不完全廣義變分原理的泛函形式，同樣可以得到混合分區(qū)的完全與不完全廣義變分原理。如：（1）真實(shí)解、，使下面的泛函有駐值： （5-77）式中由（5-28）式給出，由（5-35）式給出。 （2）真實(shí)解、，使下面的泛函有駐值： （5-78）式中由（5-31）式給出，由（5-36）式給出。 5.4 對(duì)應(yīng)于不同變分原理的元素剛度特性有限元素法是采用離散化的方法，借助于數(shù)值計(jì)算，以決定其近似解。當(dāng)然，隨著離散化數(shù)學(xué)模型的改善與數(shù)值計(jì)算技能的提高，計(jì)算結(jié)果更逼近于精確解。改善有限元素法計(jì)算的措施之一，是獲得性能良好的元素剛度矩陣，而變分原理是有限元素法的基礎(chǔ)。為此目的，本節(jié)準(zhǔn)備利用以上幾節(jié)所討論過的一些變分原理，進(jìn)一步說明有限元素法中的元素剛度矩陣或柔度矩陣特性及其形成的一般過程。5.4.1 基于最小位能原理的元素剛度矩陣特性最小位能原理的基本變量是位移及應(yīng)變。有限元素法是以元素節(jié)點(diǎn)上的位移自由度來表示這些分量的，如下面的我們?cè)谟邢拊胤ㄖ兴煜さ囊恍╆P(guān)系式。元素的內(nèi)位移與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式為 （A）式中為聯(lián)系節(jié)點(diǎn)位移與元素內(nèi)位移的轉(zhuǎn)換矩陣，稱為形函數(shù)矩陣。元素的廣義應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系為 （B）式中：為元素廣義應(yīng)變列陣；為節(jié)點(diǎn)位移列陣；為元素幾何矩陣。如果考慮到有初應(yīng)變的影響，則元素應(yīng)力列陣為 （C）式中為彈性矩陣。將（A）、（B）、（C）三式代入（5-16）式表示的總位能泛函中，可得 （D）其中 （5-79a,b,c）現(xiàn)在對(duì)總位能取駐值，即，得 （5-80）由（5-80）式可知，由最小位能原理可導(dǎo)出元素的剛度矩陣，所以最小位能原理導(dǎo)致“位移法”。不難證明，若我們對(duì)總位能取二次變分，即，則有 （E）對(duì)于的位移增量，能量總為正值，即。表明總位能為極小，且元素剛度矩陣是正定的。從虛功原理，也可以得出（5-80）式。假設(shè)元素的節(jié)點(diǎn)虛位移為，相應(yīng)的元素的虛應(yīng)變和虛內(nèi)位移為則由元素的虛功方程并考慮到的任意性，可得上式即為（5-80）式?！纠?-1】 試求圖5-3所示變截面桿元素的剛度矩陣。設(shè)該桿元1和2端的橫截面積分別為和，斷面沿桿軸線的變化為線性的。此桿沿軸方向的斷面面積可寫為圖5-3 變截面桿元素 （F）桿的內(nèi)位移為元素應(yīng)變?yōu)?（G）因而 （H）將（H）式代入（5-79a）式中，可得5.4.2 基于最小余能原理的元素柔度矩陣特性與基于位能原理的節(jié)點(diǎn)位移相對(duì)應(yīng)的，在基于余能原理的離散化方法中，引入節(jié)點(diǎn)力，這時(shí)元素的內(nèi)應(yīng)力應(yīng)該用節(jié)點(diǎn)力表示，并可表示為下面形式 （A）這里應(yīng)該指出的是，這些節(jié)點(diǎn)力應(yīng)去掉靜定基的支反力，以保證中各分量的獨(dú)立性。元素邊界上的邊界應(yīng)力也同樣用節(jié)點(diǎn)力表示之，就是說（A）式也適用于邊界上的應(yīng)力。為方便起見，我們這里引用下式表示邊界上的邊界力 （B）現(xiàn)在引用（5-22）式的總余能泛函，并將（A）式和（B）式代入，可得 （5-81）式中： （5-82a） （5-82b）（5-82a）式為元素柔度矩陣，（5-82b）為元素給定的位移向量。對(duì)（5-81）式取駐值，即，則得 （5-83）顯然，對(duì)總余能取駐值，將導(dǎo)出變形方程，并表現(xiàn)出元素的柔度矩陣。所以，總余能原理將導(dǎo)致“力法”的計(jì)算公式?！纠?-2】 求圖5-4所示的懸臂梁的柔度矩陣。設(shè)梁的長(zhǎng)度為，斷面面積不變。梁自由端的節(jié)點(diǎn)力為 （D）元素的節(jié)點(diǎn)位移為 （E）梁的另一端為固定端，它提供了最小數(shù)目的約束，即靜定基約束。梁的廣義應(yīng)力為 （F）顯然，式中的等于 （G）梁的廣義彈性模量矩陣，則由（5-22）式，可得其中，柔度矩陣為5.4.3 基于Reissner變分原理（5-31）式的元素剛度特性如果略去體力，（5-31）式給出的泛函可寫為 （5-84）這里我們?nèi)煞N獨(dú)立變量，即節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力，元素的內(nèi)應(yīng)力和內(nèi)應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為應(yīng)力： （B）應(yīng)變： （C）式中的節(jié)點(diǎn)力仍是指對(duì)應(yīng)于靜定基自由點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力。元素邊界上的位移與邊界力，同樣，也可以用節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力表示如下邊界上的位移： （D）邊界上的力： （E）將（B）、（C）、（D）、（E）代入（5-84）式中，可得 （5-85）式中 （5-86a） （5-86b） （5-86c） （5-86d）（5-85）式中以和為變量，對(duì)泛函取駐值，可得如下兩式 （F） （G）或?qū)憺?（5-87）顯然，（5-87）式為一混合形式的方程式，未知變量中即包含有節(jié)點(diǎn)力，也包含有節(jié)點(diǎn)位移。這種變分能量原理稱為Reissner變分原理，以上各式均基于此變分原理而求得的?！纠?-3】 圖5-5為一梁元素，節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2的受力情形如圖所示?，F(xiàn)假設(shè)元素之間位移是連續(xù)的，則（在位移表面上），因此（5-84）式等號(hào)右邊最末項(xiàng)為零，顯然，（5-86a）第二項(xiàng)及（5-86d）式均為零。節(jié)點(diǎn)位移為 （H）圖5-5 梁元素對(duì)應(yīng)于靜定基的節(jié)點(diǎn)力可取和，即 （I）梁的曲率與節(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系式為 （J）式中，（）（J）式相應(yīng)于，相當(dāng)于廣義應(yīng)變，相當(dāng)于矩陣，即 （K）沿梁的彎矩呈線性分布，即 （L）（L）式相當(dāng)于，相當(dāng)于廣義應(yīng)力，則矩陣即為 （M）邊界位移為，節(jié)點(diǎn)位移為，這里既是邊界位移也是節(jié)點(diǎn)位移，所以矩陣（為單位方陣）。邊界力為 （E）其中 （N）矩陣為 （O）將（M）式代入（5-86b）式中，取，則有 （P）將（M）及（K）式代入（5-86a）式中，有 （Q）將（N）式代入（5-86c）式，則有 （R）將（I）、（H）、（P）、（Q）、（R）各式代入（5-87）式，得 （S）由（S）式可分解為以下兩式， 于是，求出該元素剛度矩陣為5.4.4 基于位能原理的位移雜交模型（I）的元素剛度特性下面所討論的位移雜交模型是基于總位能原理。利用拉格朗日乘子法，建立的泛函能夠較好的滿足元素與元素交接面邊界上的位移協(xié)調(diào)或相互作用力之間的平衡關(guān)系。本節(jié)將說明二種位移雜交模型，其中雜交模型（I）是將元素的內(nèi)位移以廣義位移參數(shù)表示，而相鄰元素交接面上的邊界力卻用一組獨(dú)立的邊界應(yīng)力表示，這些邊界應(yīng)力又可以用節(jié)點(diǎn)力表示之，此處為對(duì)應(yīng)于靜定基的節(jié)點(diǎn)廣義力。雜交模型（II）