第06章-ARCH和GARCH估計s.ppt.ppt

1 第六章條件異方差模型 EViews中的大多數(shù)統(tǒng)計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型 本章討論的重要工具具有與以往不同的目的 建立變量的條件方差或變量波動性模型 2 6 1自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差 AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel ARCH 模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預測的 ARCH模型是1982年由恩格爾 Engle R 提出 并由博勒斯萊文 Bollerslev T 1986 發(fā)展成為GARCH GeneralizedARCH 廣義自回歸條件異方差 這些模型被廣泛的應用于經濟學的各個領域 尤其在金融時間序列分析中 3 6 1 1ARCH模型為了說得更具體 讓我們回到k 變量回歸模型 6 1 1 如果ut的均值為零 對yt取基于 t 1 時刻的信息的期望 即Et 1 yt 有如下的關系 6 1 2 由于yt的均值近似等于式 6 1 1 的估計值 所以式 6 1 1 也稱為均值方程 4 由于 6 1 7 中ut的方差依賴于前期的平方擾動項 我們稱它為ARCH 1 過程 然而 容易加以推廣 例如 一個ARCH p 過程可以寫為 6 1 8 5 如果擾動項方差中沒有自相關 就會有H0 這時從而得到擾動項方差的同方差性情形 恩格爾曾表明 容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設 其中 t表示從原始回歸模型 6 1 1 估計得到的OLS殘差 6 6 1 2GARCH 1 1 模型我們常常有理由認為ut的方差依賴于很多時刻之前的變化量 特別是在金融領域 采用日數(shù)據或周數(shù)據的應用更是如此 這里的問題在于 我們必須估計很多參數(shù) 而這一點很難精確的做到 但是如果我們能夠意識到方程 6 1 8 不過是 t2的分布滯后模型 我們就能夠用一個或兩個 t2的滯后值代替許多ut2的滯后值 這就是廣義自回歸條件異方差模型 generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel 簡記為GARCH模型 在GARCH模型中 要考慮兩個不同的設定 一個是條件均值 另一個是條件方差 7 在標準化的GARCH 1 1 模型中 6 1 11 6 1 12 其中 xt是1 k 1 維外生變量向量 是 k 1 1維系數(shù)向量 6 1 11 中給出的均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù) 由于 t2是以前面信息為基礎的一期向前預測方差 所以它被稱作條件方差 式 6 1 12 也被稱作條件方差方程 8 6 1 12 中給出的條件方差方程是下面三項的函數(shù) 1 常數(shù)項 均值 2 用均值方程 6 1 11 的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息 ut2 1 ARCH項 3 上一期的預測方差 t2 1 GARCH項 GARCH 1 1 模型中的 1 1 是指階數(shù)為1的GARCH項 括號中的第一項 和階數(shù)為1的ARCH項 括號中的第二項 一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例 即在條件方差方程中不存在滯后預測方差 t2 1的說明 9 方差方程的回歸因子方程 6 1 12 可以擴展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程 6 1 17 注意到從這個模型中得到的預測方差不能保證是正的 可以引入到這樣一些形式的回歸算子 它們總是正的 從而將產生負的預測值的可能性降到最小 例如 我們可以要求 10 高階GARCH p q 模型高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計 記作GARCH p q 其方差表示為 6 1 18 這里 p是GARCH項的階數(shù) q是ARCH項的階數(shù) 11 6 1 3ARCH的檢驗 下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有ARCH效應的兩種方法 ARCHLM檢驗和殘差平方相關圖檢驗 1 ARCHLM檢驗Engle在1982年提出檢驗殘差序列中是否存在ARCH效應的拉格朗日乘數(shù)檢驗 Lagrangemultipliertest 即ARCHLM檢驗 自回歸條件異方差性的這個特殊的設定 是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時間序列中 殘差的大小與最近的殘差值有關 ARCH本身不能使標準的OLS估計無效 但是 忽略ARCH影響可能導致有效性降低 12 ARCHLM檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算 為檢驗原假設 殘差中直到q階都沒有ARCH 運行如下回歸 式中 t是殘差 這是一個對常數(shù)和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸 這個檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量 1 F統(tǒng)計量是對所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個省略變量檢驗 2 T R2統(tǒng)計量是Engle sLM檢驗統(tǒng)計量 它是觀測值個數(shù)T乘以回歸檢驗的R2 13 2 平方殘差相關圖顯示直到所定義的滯后階數(shù)的平方殘差 t2的自相關性和偏自相關性 計算出相應滯后階數(shù)的Ljung Box統(tǒng)計量 平方殘差相關圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性 ARCH 如果殘差中不存在ARCH 在各階滯后自相關和偏自相關應為0 且Q統(tǒng)計量應不顯著 可適用于使用LS TSLS 非線性LS估計方程 顯示平方殘差相關圖和Q 統(tǒng)計量 選擇View ResidualTests CorrelogramSquaredResidual 在打開的滯后定義對話框 定義計算相關圖的滯后數(shù) 14 例6 1滬市股票價格指數(shù)波動的GARCH模型為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性 本例選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據作為樣本序列 這是因為上海股票市場不僅開市早 市值高 對于各種沖擊的反應較為敏感 因此 本例所分析的滬市股票價格波動具有一定代表性 在這個例子中 我們選擇的樣本序列 sp 是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù) 為了減少舍入誤差 在估計時 對 sp 進行自然對數(shù)處理 即將序列 log sp 作為因變量進行估計 15 由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程 隨機游動 RandomWalk 模型描述 所以本例進行估計的基本形式為 6 1 25 首先利用最小二乘法 估計了一個普通的回歸方程 結果如下 6 1 26 15517 R2 0 994對數(shù)似然值 2871AIC 5 51SC 5 51 16 可以看出 這個方程的統(tǒng)計量很顯著 而且 擬和的程度也很好 但是需要檢驗這個方程的誤差項是否存在條件異方差性 17 圖6 1股票價格指數(shù)方程回歸殘差 觀察上圖 該回歸方程的殘差 我們可以注意到波動的 成群 現(xiàn)象 波動在一些較長的時間內非常小 例如2000年 在其他一些較長的時間內非常大 例如1999年 這說明殘差序列存在高階ARCH效應 18 因此 對式 6 1 26 進行條件異方差的ARCHLM檢驗 得到了在滯后階數(shù)p 3時的ARCHLM檢驗結果 此處的P值為0 拒絕原假設 說明式 6 1 26 的殘差序列存在ARCH效應 還可以計算式 6 1 26 的殘差平方的自相關 AC 和偏自相關 PAC 系數(shù) 結果如下 19 6 1 4ARCH M模型金融理論表明具有較高可觀測到的風險的資產可以獲得更高的平均收益 其原因在于人們一般認為金融資產的收益應當與其風險成正比 風險越大 預期的收益就越高 這種利用條件方差表示預期風險的模型被稱為ARCH均值模型 ARCH in mean 或ARCH M回歸模型 在ARCH M中我們把條件方差引進到均值方程中 6 1 29 ARCH M模型的另一種不同形式是將條件方差換成條件標準差 或取對數(shù) 20 ARCH M模型通常用于關于資產的預期收益與預期風險緊密相關的金融領域 預期風險的估計系數(shù)是風險收益交易的度量 例如 我們可以認為某股票指數(shù) 如上證的股票指數(shù)的票面收益 returet 依賴于一個常數(shù)項 通貨膨脹率 t以及條件方差 風險 這種類型的模型 其中期望風險用條件方差表示 就稱為GARCH M模型 21 在EViews中估計ARCH模型 估計GARCH和ARCH模型 首先選擇Quick EstimateEquation或Object NewObject Equation 然后在Method的下拉菜單中選擇ARCH 得到如下的對話框 22 一 均值方程 Meanequation 在因變量編輯欄中輸入均值方程形式 均值方程的形式可以用回歸列表形式列出因變量及解釋變量 如果方程包含常數(shù) 可在列表中加入C 如果需要一個更復雜的均值方程 可以用公式的形式輸入均值方程 如果解釋變量的表達式中含有ARCH M項 就需要點擊對話框右上方對應的按鈕 EViews5 0中的ARCH M的下拉框中 有4個選項 1 選項None表示方程中不含有ARCH M項 2 選項Std Dev 表示在方程中加入條件標準差 3 選項Variance則表示在方程中含有條件方差 2 4 選項Log Var 表示在均值方程中加入條件方差的對數(shù)ln 2 作為解釋變量 23 二 方差設定和分布設定 Varianceanddistributionspecification EViews5的選擇模型類型列表 1 在下拉列表中選擇所要估計的ARCH模型的類型 2 在Variance欄中 可以列出包含在方差方程中的外生變量 3 可以選擇ARCH項和GARCH項的階數(shù) 4 在Threshold編輯欄中輸入非對稱項的數(shù)目 缺省的設置是不估計非對稱的模型 即該選項的個數(shù)為0 5 Error組合框是設定誤差的分布形式 缺省的形式為Normal Gaussian 24 三 估計選項 Options EViews為我們提供了可以進入許多估計方法的設置 只要點擊Options按鈕并按要求填寫對話即可 25 ARCH的估計結果利用GARCH 1 1 模型重新估計例6 1的式 6 1 25 結果如下 26 ARCH估計的結果可以分為兩部分 上半部分提供了均值方程的標準結果 下半部分 即方差方程包括系數(shù) 標準誤差 z 統(tǒng)計量和方差方程系數(shù)的P值 在方程 6 1 12 中ARCH的參數(shù)對應于 GARCH的參數(shù)對應于 在表的底部是一組標準的回歸統(tǒng)計量 使用的殘差來自于均值方程 注意如果在均值方程中不存在回歸量 那么這些標準 例如R2也就沒有意義了 27 例6 1利用GARCH 1 1 模型重新估計的方程如下 均值方程 23249 方差方程 5 27 11 49 33 38 R2 0 994D W 1 94對數(shù)似然值 3003AIC 5 76SC 5 74 28 方差方程中的ARCH項和GARCH項的系數(shù)都是統(tǒng)計顯著的 并且對數(shù)似然值有所增加 同時AIC和SC值都變小了 這說明這個模型能夠更好的擬合數(shù)據 再對這個方程進行條件異方差的ARCH LM檢驗 相伴概率為P 0 91 說明利用GARCH模型消除了原殘差序列的異方差效應 ARCH和GARCH的系數(shù)之和等于0 982 小于1 滿足參數(shù)約束條件 由于系數(shù)之和非常接近于1 表明一個條件方差所受的沖擊是持久的 即它對所有的未來預測都有重要作用 這個結果在高頻率的金融數(shù)據中經?？梢钥吹?29 例6 2估計我國股票收益率的ARCH M模型選擇的時間序列仍是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù) sp 股票的收益率是根據公式 re ln spt spt 1 即股票價格收盤指數(shù)對數(shù)的差分計算出來的 ARCH M模型 re t ut 30 31 估計出的結果寫成方程 均值方程 2 72 3 00 方差方程 5 43 12 49 29 59 對數(shù)似然值 3007AIC 5 77SC 5 74在收益率方程中包括 t的原因是為了在收益率的生成過程中融入風險測量 這是許多資產定價理論模型的基礎 均值方程假設 的含義 在這個假設下 應該是正數(shù) 結果 0 27 因此我們預期較大值的條件標準差與高收益率相聯(lián)系 估計出的方程的所有系數(shù)都很顯著 并且系數(shù)之和小于1 滿足平穩(wěn)條件 均值方程中 t的系數(shù)為0 27 表明當市場中的預期風險增加一個百分點時 就會導致收益率也相應的增加0 27個百分點 32 ARCH模型的視圖與過程 一旦模型被估計出來 EViews會提供各種視圖和過程進行推理和診斷檢驗 一 ARCH模型的視圖1 Actual Fitted Residual窗口列示了各種殘差形式 2 條件SD圖顯示了在樣本中對每個觀測值繪制向前一步的標準偏差 t t時期的觀察值是由t 1期可得到的信息得出的預測值 3 協(xié)方差矩陣4 系數(shù)檢驗5 殘差檢驗 相關圖 Q 統(tǒng)計量 33 二 ARCH模型的過程1 構造殘差序列將殘差以序列的名義保存在工作文件中 可以選擇保存普通殘差ut或標準殘差ut t 殘差將被命名為RESID1 RESID2等等 可以點擊序列窗口中的name按鈕來重新命名序列殘差 2 構造GARCH方差序列將條件方差 t2以序列的名義保存在工作文件中 條件方差序列可以被命名為GARCH1 GARCH2等等 取平方根得到如View ConditionalSDGragh所示的條件標準偏差 34 3 預測例3假設我們估計出了如下的ARCH 1 采用Marquardt方法 模型 ARCH CPI方程中加入CPI做解釋變量 留下2001年10月 2001年12月的3個月做檢驗性數(shù)據 35 使用估計的ARCH模型可以計算因變量的靜態(tài)的和動態(tài)的預測值 和它的預測標準誤差和條件方差 為了在工作文件中保存預測值 要在相應的對話欄中輸入名字 如果選擇了Dogragh選項EViews就會顯示預測值圖和兩個標準偏差的帶狀圖 36 估計期間是1 03 1998 9 28 2001 預測期間是10 02 2001 12 31 2001左圖表示了由均值方程和SP的預測值的兩個標準偏差帶 37 38 6 2非對稱ARCH模型 在資本市場中 經常可以發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象 資產的向下運動通常伴隨著比之程度更強的向上運動 為了解釋這一現(xiàn)象 Engle和Ng 1993 繪制了好消息和壞消息的非對稱信息曲線 波動性0信息 39 本節(jié)將介紹3種能夠描述這種非對稱沖擊的模型 TARCH模型 EGARCH模型和PARCH模型 估計TARCH模型 EViews5要在Threshold選項中填 1 表明有1個非對稱項 可以有多個 其他的選項與GARCH模型的選擇相似 40 6 2 1TARCH模型TARCH或者門限 Threshold ARCH模型由Zakoian 1990 和Glosten Jafanathan Runkle 1993 獨立的引入 條件方差指定為 6 2 1 其中 dt 1是虛擬變量 當ut0 和壞消息 ut0 我們說存在杠桿效應 非對稱效應的主要效果是使得波動加大 如果 0 則非對稱效應的作用是使得波動減小 41 例6 3貨幣政策對物價影響的非對稱效應分析由于貨幣政策及其它政策的實施力度以及時滯導致經濟中出現(xiàn)了不同于貨幣政策開始實施階段的條件因素 導致貨幣政策發(fā)生作用的環(huán)境發(fā)生了變化 此時 貨幣政策在產生一般的緊縮或者是擴張的政策效應基礎上 還會產生一種特殊的效應 我們稱之為 非對稱 效應 表現(xiàn)在經濟中 就是使得某些經濟變量的波動加大或者變小 本例使用1991年第一季度至2003年第一季度的數(shù)據建立了通貨膨脹率 t 的TARCH模型 均值方程 方差方程 42 變量的選取 采用居民消費物價指數(shù) CPI 上年同期 100 減去100代表通貨膨脹率 t 貨幣政策變量選用狹義貨幣供應量M1的增長率 M1Rt 銀行同業(yè)拆借利率 7天 R7t 使用銀行同業(yè)拆借利率代替存款利率 是由于目前我國基本上是一個利率管制國家 中央銀行對利率直接調控 因此名義存款利率不能夠反映市場上貨幣供需的真實情況 全國銀行間同業(yè)拆借市場于1996年1月成立 1996年7天以內的同業(yè)拆借的比重為28 78 而2001年已上升為82 23 所以用同業(yè)拆借利率代表金融市場的市場化的利率 模型中解釋變量還包括貨幣流通速度 Vt Vt GDPt M1t 通貨膨脹率的1期滯后 t 1 代表預期通貨膨脹 43 44 由TARCH模型的回歸方程和方差方程得到的估計結果為 2 62 25 53 5 068 3 4 1 64 1 152 0 94 3 08 3 9 R2 0 96D W 1 83結果表中的 RESID ARCH 1 項是 6 2 1 式的 也稱為TARCH項 在上式中 TARCH項的系數(shù)顯著不為零 說明貨幣政策的變動對物價具有非對稱效應 需要注意 方差方程中 0 399 即非對稱項的系數(shù)是負的 這就說明 貨幣政策對于通貨膨脹率的非對稱影響是使得物價的波動越來越小 45 觀察殘差圖 還可以發(fā)現(xiàn)貨幣政策的非對稱作用在不同階段對通貨膨脹率表現(xiàn)是不同的 在經濟過熱時期 如1992年 1994年期間 通過均值方程中貨幣政策變量的緊縮作用 導致了貨幣政策對通貨膨脹的減速作用非常明顯 但是由于通貨膨脹率方程的殘差非常大 由方差方程可知這一時期物價波動很大 但 t 0 則dt 1 0 所以TARCH項不存在 即不存在非對稱效應 1995年 1996年初 t 0 則TARCH項存在 且其系數(shù) 是負值 于是非對稱效應使得物價的波動迅速減小 當處于經濟增長的下滑階段 它的殘差只在零上下波動 雖然出現(xiàn)負值比較多 但這一時期的貨幣政策非對稱擴張作用非常小 46 對于高階TARCH模型的制定 EViews將其估計為 6 2 2 6 2 2EGARCH模型 EGARCH或指數(shù) Exponential GARCH模型由納爾什 Nelson 1991 提出 條件方差被指定為 6 2 5 等式左邊是條件方差的對數(shù) 這意味著杠桿影響是指數(shù)的 而不是二次的 所以條件方差的預測值一定是非負的 杠桿效應的存在能夠通過 0的假設得到檢驗 如果 0 則沖擊的影響存在著非對稱性 47 例6 4股票價格波動的TARCH模型和EGARCH模型那么在我國的股票市場運行過程當中 是否也存在股票價格波動的非對稱性呢 利用滬市的股票收盤價格指數(shù)數(shù)據 我們估計了股票價格波動的兩種非對稱模型 結果分別如下 TARCH模型 均值方程 19679 方差方程 5 55 7 63 5 31 45 24 對數(shù)似然值 3009AIC 5 77SC 5 75 48 49 杠桿效應項由結果中的RESID 1 2 RESID 1 0 描述 它是顯著為正的 所以存在非對稱影響 在TARCH模型中 杠桿效應項的系數(shù)顯著大于零 說明股票價格的波動具有 杠桿 效應 利空消息能比等量的利好消息產生更大的波動 當出現(xiàn) 利好消息 時 即當 t 0時 有一個的沖擊 而出現(xiàn) 利空消息 時 即當 t 0時 則會帶來的沖擊 50 EGARCH模型 均值方程 19897 8 方差方程 7 26 9 69 5 64 122 43 對數(shù)似然值 3020 3AIC 5 79SC 5 76 51 52 這個例子中 利空消息能比等量的利好消息產生更大的波動的結果在EGARCH模型中也能夠得到印證 在EGARCH模型中 其非對稱項 的系數(shù)小于零 當 t 0時 有一個倍的沖擊 當 t 0時 有一個倍沖擊 此例中 是負的并在統(tǒng)計上是顯著的 這表明在樣本期間滬市的股票收盤價格指數(shù)中存在杠桿效應 53 6 3成分ARCH模型 ComponentARCHModel GARCH 1 1 模型將條件方差設定為 6 3 1 令其中 是非條件方差或長期波動率 6 3 1 變?yōu)?6 3 2 表示了均值趨近于 這個 在所有時期都為常數(shù) 54 成分ARCH模型允許均值趨近于一個變動的水平qt 6 3 3 6 3 4 此處 t仍然是波動率 而qt代替了 它是隨時間變化的長期變動 6 3 3 描述了暫時成分 t2 qt 它將隨 的作用收斂到零 6 3 4 描述了長期成分qt它將在 的作用下收斂到 典型的 在0 99和1之間 所以qt緩慢的接近 55 在暫時方程中還可以引入非對稱影響 稱為非對稱的成分ARCH模型 它的條件方差方程的形式為 6 3 6 6 3 7 其中z是外生變量 d是虛擬變量 表示負的沖擊 當ut 1 0時 dt 1