阿基米德三角形與三道高考試題.docx

此文檔收集于網絡，如有侵權請聯(lián)系網站刪除阿基米德三角形與三道高考試題（山東省滕州市第一中學 邵明志 277500）題1（2005年江西卷，理22題）：OABPF如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.題2（2006全國卷II，理21題）：已知拋物線x24y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且（0）過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為（）證明為定值；（）設ABM的面積為S，寫出Sf()的表達式，并求S的最小值題3（2007江蘇卷，理19題）：ABCPQOxyl 如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點（1）若，求的值；（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由上述三道高考試題都涉及到拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，這個三角形又常被稱為阿基米德三角形，因為阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的阿基米德三角形有許多有趣的性質，上述三題都是某些性質的體現，可以預見，今后圍繞該三角形性質的高考試題還會出現，因此對該三角形的性質作進一步的研究是必要的、有益的下面給出阿基米德三角形的一些有趣性質，證明時均以拋物線為例，且稱弦AB為阿基米德三角形的底邊，M為底邊AB的中點，下不贅述性質1 阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸證明：設，M為弦AB中點，則過A的切線方程為，過B的切線方程為，聯(lián)立方程組得解得兩切線交點Q(，)，進而可知x軸.此性質即為題3考查內容性質2 若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內定點C，則另一頂點Q的軌跡為一條直線證明：設Q(x，y)，由性質1，x=，y=， 由A、B、C三點共線知，即，將y=，代入得，即為點的軌跡方程.性質3 拋物線以C點為中點的弦平行于Q點的軌跡利用兩式相減法易求得以C點為中點的弦的斜率為，因此該弦與Q點的軌跡即直線平行性質4 若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點證明：如上圖，設方程為，且，弦AB過點C，由性質2可知點的軌跡方程，該方程與表示同一條直線，對照可得，即弦AB過定點C（，）.性質5 底邊長為a的阿基米德三角形的面積的最大值為證明：|AB|=a，設Q到AB的距離為d，由性質1知=，設直線AB方程為：，則，即S=ad.性質6 若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為證明：由性質2，若底邊過焦點，則，Q點軌跡方程為即為準線；易驗證，即QAQB，故阿基米德三角形為直角三角形，且Q為直角頂點； |QM|=+=+=，而性質6即為題2所涉及性質性質7 在阿基米德三角形中，QFA=QFB證明：如圖，作AA準線，BB準線，連接 QA、QB、QF、AF、BF，則，顯然，FAQA，又|AA|=|AF|，由三角形全等可得QAA=QAF，QAAQAF， |QA|=|QF|，QAA=QFA，同理可證|QB|=|QF|，QBB=QFB，|QA|=|QB|，即QAB=QBA QAA=QAB+900=QBA+900=QBB,n. 摘要；大綱QFA=QFB，結論得證此性質即題1的結論，但原解答采用代數法相當復雜，這里給出的幾何法簡潔明了dinosaur n. 恐龍性質8 在拋物線上任取一點I（不與A、B重合），過I作拋物線切線角QA、QB于S、T，則QST的垂心在準線上證明：設、，易求得過B、I的切線交點T，過T向QA引垂線，其方程為，它和拋物線準線的交點縱坐標為y =，顯然這個縱坐標是關于對稱的，因此從S點向QB引垂線，從Q點向ST引垂線，它們與準線的交點也是上述點，故結論得證性質9 |AF|BF|=|QF|2證明：|AF|BF|=+，而|QF|2=+=|AF|BF|.scoop n. 搶先獲得的新聞、利潤等；性質10 QM的中點P在拋物線上，且P處的切線與AB平行receptionist n. 接待員；招待員證明：由性質1知Q(，)，M，易得P點坐標為，此點顯然在拋物線上；過P的切線的斜率為=，結論得證thrill vt. 使激動；使膽戰(zhàn)心驚性質11 在性質8中，連接AI、BI，則ABI的面積是QST面積的2倍great auk n. 大海雀（已滅絕）證明：如圖，這里出現了三個阿基米德三角形，即QAB、TBI、SAI；應用阿基米德三角形的性質：弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的；設BI與拋物線所圍面積為，AI與拋物線所圍面積為，AB與拋物線所圍面積為，則=，2belong to 屬于性質12 設，AQB=，則（1）（2）（3）（4）n.經典著作（5）=（6）=seed n. 種子；萌