高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用課件 文.ppt

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用 總綱目錄 教材研讀 1 幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型 考點(diǎn)突破 2 三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì) 3 解函數(shù)應(yīng)用題的步驟 四步八字 考點(diǎn)二函數(shù)y ax 的模型 考點(diǎn)一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型 考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 考點(diǎn)四分段函數(shù) 1 幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型 教材研讀 2 三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì) 3 解函數(shù)應(yīng)用題的步驟 四步八字 1 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 初步選擇數(shù)學(xué)模型 2 建模 將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言 利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 3 求模 求解數(shù)學(xué)模型 得出數(shù)學(xué)結(jié)論 4 還原 將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義 以上過(guò)程用框圖表示如下 1 下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù) 它最可能的函數(shù)模型是 a 一次函數(shù)模型b 冪函數(shù)模型c 指數(shù)函數(shù)模型d 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 答案a根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知 自變量每增加1 函數(shù)值增加2 因此函數(shù)值的增量是均勻的 故為一次函數(shù)模型 a 2 某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中 每15分鐘分裂一次 由一個(gè)分裂成兩個(gè) 這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)需經(jīng)過(guò) a 12小時(shí)b 4小時(shí)c 3小時(shí)d 2小時(shí) 答案c設(shè)需經(jīng)過(guò)t小時(shí) 由題意知24t 4096 即16t 4096 解得t 3 c 3 2015北京西城二模 某工廠更新設(shè)備 已知在未來(lái)x年內(nèi) 此設(shè)備所花費(fèi)的各種費(fèi)用總和y 萬(wàn)元 與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y 4x2 64 若欲使此設(shè)備的年平均花費(fèi)最低 則此設(shè)備的使用年限x為 a 3b 4c 5d 6 答案b設(shè)該設(shè)備的年平均花費(fèi)為z萬(wàn)元 則z 4x 32 當(dāng)且僅當(dāng)4x 即x 4時(shí) z取最小值 故選b b 4 用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地 且中間有兩道隔墻 如圖 要使矩形的面積最大 則隔墻的長(zhǎng)度為 答案3 解析設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x 矩形的面積為s 則s 12 2x x 2x2 12x 2 x 3 2 18 當(dāng)x 3時(shí) s取最大值 3 解析 1 由題意知最高點(diǎn)為 2 h 4 h 1 設(shè)拋物線方程為y a x 2 h 2 4 當(dāng)h 1時(shí) 最高點(diǎn)為 3 4 拋物線方程為y a x 3 2 4 將a 2 3 代入 得3 a 2 3 2 4 解得a 1 所以當(dāng)h 1時(shí) 跳水曲線所在的拋物線方程為y x 3 2 4 2 將點(diǎn)a 2 3 代入y a x 2 h 2 4 得ah2 1 由題意知方程a x 2 h 2 4 0在區(qū)間 5 6 內(nèi)有一解 令f x a x 2 h 2 4 x 2 h 2 4 則f 5 3 h 2 4 0 且f 6 4 h 2 4 0 解得1 h 故所求h的取值范圍是 方法技巧對(duì)于實(shí)際生活中的二次函數(shù)問(wèn)題 如面積 利潤(rùn) 產(chǎn)量問(wèn)題等 可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型 結(jié)合二次函數(shù)的圖象 單調(diào)性 零點(diǎn)解決 解題時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域 1 1 2016北京西城二模 某市家庭煤氣的使用量x m3 和煤氣費(fèi)f x 元 滿足關(guān)系f x 已知某家庭今年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表 若四月份該家庭使用了20m3煤氣 則其煤氣費(fèi)為 a 11 5元b 11元c 10 5元d 10元 a 解析a由題表知一月份 二月份 三月份煤氣費(fèi)分別為4元 14元 19元 這三個(gè)月煤氣費(fèi)的計(jì)算有以下2種情況 1 這三個(gè)月的煤氣費(fèi)均由f x c b x a x a 計(jì)算得到 故由 得b 由 得b 矛盾 故不可能為此種情況 2 一月份的煤氣費(fèi)由f x c 0 x a 計(jì)算得到 二月份 三月份的煤氣費(fèi)由f x c b x a x a 計(jì)算得到 f x 當(dāng)x 20時(shí) f 20 4 20 5 11 5 故選a 解析設(shè)該場(chǎng)x x n 天購(gòu)買一次飼料可使平均每天支付的總費(fèi)用最少 平均每天支付的總費(fèi)用為y元 因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200 0 03 6 元 所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6 x 1 6 x 2 6 3x2 3x 元 從而有y 3x2 3x 300 200 1 8 3x 357 417 當(dāng)且僅當(dāng) 3x 即x 10時(shí) y有最小值 故該場(chǎng)10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少 方法指導(dǎo)應(yīng)用函數(shù)f x ax 模型的關(guān)鍵點(diǎn) 1 明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f x ax與反比例函數(shù)f x 疊加而成的 2 解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立f x ax 的模型 有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f x ax 的形式 3 利用模型f x ax 求解最值時(shí) 要注意自變量的取值范圍 及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件 2 1利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間 年生產(chǎn)的總成本y 萬(wàn)元 與年產(chǎn)量x 噸 之間的關(guān)系可近似地表示為y 30 x 4000 則每噸的成本最低時(shí)的年產(chǎn)量為 a 240噸b 200噸c 180噸d 160噸 答案b依題意 得每噸的成本為 30 則 2 30 10 當(dāng)且僅當(dāng) 即x 200時(shí)取等號(hào) 因此 當(dāng)每噸成本最低時(shí) 年產(chǎn)量為200噸 b 考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 典例3 1 2016北京西城期末 某食品的保鮮時(shí)間t 單位 小時(shí) 與儲(chǔ)藏溫度x 恒溫 單位 滿足函數(shù)關(guān)系t 且該食品在4 的保鮮時(shí)間是16小時(shí) 該食品在8 的保鮮時(shí)間是小時(shí) 已知甲在某日上午10時(shí)購(gòu)買了該食品 并將其遺放在室外 且此日的室外溫度隨時(shí)間變化如圖所示 那么到了此日13時(shí) 甲所購(gòu)買的食品是否過(guò)了保鮮時(shí)間 填 是 或 否 答案 1 4 是 2 c 解析 1 食品在4 的保鮮時(shí)間是16小時(shí) 24k 6 16 解得k t 8 2 4 6 4 由題圖可知在12時(shí)時(shí) 溫度為12 此時(shí)該食品的保鮮時(shí)間為2 6 6 20 1小時(shí) 到13時(shí) 該食品已過(guò)保鮮時(shí)間 2 由已知得192 eb 48 e22k b e22k eb 將 代入 得e22k 則e11k 當(dāng)x 33時(shí) y e33k b e33k eb 192 24 所以該食品在33 的保鮮時(shí)間是24小時(shí) 故選c 方法技巧一般地 涉及增長(zhǎng)率問(wèn)題 存蓄利息問(wèn)題 細(xì)胞分裂問(wèn)題等 都可以考慮用指數(shù)函數(shù)的模型求解 求解時(shí)注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 指數(shù)函數(shù)的值域的影響以及實(shí)際問(wèn)題中的條件限制 3 1 2016四川 7 5分 某公司為激勵(lì)創(chuàng)新 計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入 若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元 在此基礎(chǔ)上 每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12 則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是 參考數(shù)據(jù) lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 a 2018年b 2019年c 2020年d 2021年 b 答案b設(shè)第n n n 年該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元 根據(jù)題意得130 1 12 n 1 200 則lg 130 1 12 n 1 lg200 lg130 n 1 lg1 12 lg2 2 2 lg1 3 n 1 lg1 12 lg2 2 0 11 n 1 0 05 0 30 解得n 又 n n n 5 該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2019年 故選b 典例4國(guó)慶期間 某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游 若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下 飛機(jī)票每張收費(fèi)900元 若每團(tuán)人數(shù)大于30 則給予優(yōu)惠 每多1人 機(jī)票每張減少10元 直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止 每團(tuán)乘飛機(jī) 旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元 1 寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù) 2 每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí) 旅行社可獲得最大利潤(rùn) 考點(diǎn)四分段函數(shù) 方法技巧 1 在很多實(shí)際問(wèn)題中 變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式表示 這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型 如出租車的收費(fèi)與路程的關(guān)系 2 求函數(shù)的最值常利用基本不等式 導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性等 在求分段函數(shù)的最值時(shí) 應(yīng)先求每一段上的最值 然后比較得最大值 最小值 4 1某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2019年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p x 單位 萬(wàn)人 與x的關(guān)系近似為p x x x 1 39 2x x n 且x 12 已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q x 單位 元 與x的關(guān)系近似是q x 1 寫出2019年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f x 單位 人 與x的函數(shù)關(guān)系式 2 試問(wèn)2019年第幾個(gè)月的旅游消費(fèi)總額最大 最大月旅游消費(fèi)總額為多少元 解析 1 當(dāng)x 1時(shí) f 1 p 1 37 當(dāng)2 x 12 且x n 時(shí) f x p x p x 1 x x 1 39 2x x 1 x 41 2x 3x2 40 x 經(jīng)驗(yàn)證x 1時(shí)也滿足此式 所以f x 3x2 40 x x n 且1 x 12 2 由題意知第x個(gè)月的旅游消費(fèi)總額為g x 即g x 當(dāng)1 x 6