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2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第44講 立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直實(shí)戰(zhàn)演練 理1(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BCCACC1,則BM與AN所成角的余弦值為(C)ABCD解析:以C1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BCCACC12,則A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),(1,0,2),(1,1,2),cos,.故選C2在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn),O為底面正方形ABCD的中心,M,N分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn),線段D1Q與OP互相平分,則滿(mǎn)足M的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)是(B)A1B2C3D4解析:建立如圖的坐標(biāo)系,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,則P(x,y,2),O(1,1,0),OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,又知D1(0,0,2),Q(x1,y1,0),而Q在MN上,xQyQ3,xy1,即點(diǎn)P坐標(biāo)滿(mǎn)足xy1.有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P,即對(duì)應(yīng)有2個(gè).3(2017遼寧模擬)如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)(1)求證:ACSD.(2)若SD平面PAC,則側(cè)棱SC上的是否存在一點(diǎn)E,使得BE平面PAC若存在,求SEEC的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解析:連接BD,設(shè)AC交BD于O,則ACBD.由題意知SO平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高SOa.于是S,D,B,C.(1)證明:,則0.故OCSD,從而ACSD.(2)棱SC上存在一點(diǎn)E使BE平面PAC理由如下:由已知條件知是平面PAC的一個(gè)法向量,且,.設(shè)t,則t,而0,所以0,解得t,即當(dāng)SEEC21時(shí),.而B(niǎo)E不在平面PAC內(nèi),故BE平面PAC4(2016北京卷)如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD.(1)求證:PD平面PAB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由解析:(1)證明:因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因?yàn)镻APD,所以PD平面PAB.(2)取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻APD,所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD,所以POCO.因?yàn)锳CCD,所以COAD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)設(shè)平面PCD的法向量為n(x,y,z),則即令z2,則x1,y2.所以n(1,2,2)又(1,1,1),所以cosn,.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在0,1使得.因此點(diǎn)M(0,1,),(1,)因
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