高等數(shù)學(xué)常用概念及公式

高等數(shù)學(xué)常用概念及公式 極限的概念 當(dāng) x 無限增大 x 或 x 無限的趨近于 x0 x x0 時 函數(shù) f x 無限的趨近于常數(shù) A 則稱函數(shù) f x 當(dāng) x 或 x x0時 以常數(shù) A 為極限 記作 f x A 或 f x A lim x lim 0 xx 導(dǎo)數(shù)的概念 設(shè)函數(shù) y f x 在點 x0某鄰域內(nèi)有定義 對自變量的增量 x x x0 函數(shù)有增量 y f x f x0 如果增量比當(dāng) x 0 時有極限 x y 則稱函數(shù) f x 在點 x0可導(dǎo) 并把該極限值叫函數(shù) y f x 在點 x0的導(dǎo) 數(shù) 記為 f x0 即 f x0 lim 0 x x y lim 0 xx 0 0 xx xfxf 也可以記為 y x x0 x x0或 x x0 dx dy dx xdf 函數(shù)的微分概念 設(shè)函數(shù) y f x 在某區(qū)間內(nèi)有定義 x 及 x x 都在此區(qū)間內(nèi) 如 果函數(shù)的增量 y f x x f x 可表示成 y A x x 其中 A 是常數(shù)或只是 x 的函數(shù) 而與 x 無關(guān) 當(dāng) x 0 時是 無窮小量 即 x 這一項是個比 x 更高階的無窮小 那么稱函 數(shù) y f x 在點 x 可微 而 A x 叫函數(shù) y f x 在點 x 的微分 記作 dy 即 dy A x f x dx 不定積分的概念 原函數(shù) 設(shè) f x 是定義在某個區(qū)間上的已知函數(shù) 如果存在一個函 數(shù) F x 對于該區(qū)間上每一點都滿足 F x f x 或 d F x f x dx 則稱函數(shù) F x 是已知函數(shù) f x 在該區(qū)間上的一個原函數(shù) 不定積分 設(shè) F x 是函數(shù) f x 的任意一個原函數(shù) 則所有原函數(shù) F x c c 為任意常數(shù) 叫做函數(shù) f x 的不定積分 記作 dxxf 求已知函數(shù)的原函數(shù)的方法 叫不定積分法 簡稱積分法 其中 是不定積分的記號 f x 稱為被積函數(shù) f x dx 稱為被積 表達式 x 稱為積分變量 c 為任意實數(shù) 稱為積分常數(shù) 定積分的概念 設(shè)函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 用分點 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn b 把區(qū)間 a b 任意分成 n 個小 區(qū)間 xi 1 xi i 1 2 n 每個小區(qū)間的長度為 xi xi xi 1 i 1 2 n 在每個小區(qū)間 xi 1 xi 上任取一點 i 作和式 In n i ii xf 1 當(dāng)分點無限增加 n 且所有小區(qū)間長度中的最大值 max xi 0 時 和式 In的極限 叫做函數(shù) f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記 作 即 b a dxxf b a dxxf n i ii n xf 1 0 lim 其中 f x 稱為被積函數(shù) b 和 a 分別稱為定積分的上限和下限 區(qū)間 a b 叫積分區(qū)間 x 為積分變量 極限的性質(zhì)及運算法則 無窮小的概念 若函數(shù) f x 當(dāng) x x0 或 x 時的極限為零 則稱 f x 當(dāng) x x0 或 x 時為無窮小量 簡稱無窮小 須要注意的是 無窮小是變量 不能與一個很小的數(shù)混為一談 無窮小的性質(zhì) 性質(zhì) 1 有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮小 性質(zhì) 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小 推論 1 常數(shù)與無窮小的 乘積也是無窮小 推論 2 有限個無窮小的乘積也是無窮小 無窮大的概念 若當(dāng) x x0 或 x 時 函數(shù) f x 的絕對值無限增 大 則稱函數(shù) f x 當(dāng) x x0 或 x 時為無窮大量 簡稱無窮大 注意無窮大是變量 不能與一個絕對值很大的數(shù)混為一談 另外 一個變量是無窮大 也不能脫離開自變量的變化過程 無窮大與無窮小的關(guān)系 定理 在同一變化過程中 若 f x 為無窮 大 則為無窮小 反之 若 f x 為無窮小 且 f x 0 則 1 xf 就為無窮大 1 xf 極限運算法則 法則 1 lim f x g x lim f x lim g x A B 法則 2 lim f x g x lim f x lim g x A B 特別的 lim cf x c lim f x c A c 為常數(shù) 法則 3 lim 其中 B 0 xg xf lim lim xg xf B A 注意用法則 3 求極限時 如果分子 分母均為無窮大 可先將其變 成無窮小 如果均為無窮小 就用約分及分子分母有理化來解 以 上情況均可用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的羅必塔法則求解 兩個重要極限 重要極限 1 1 1 x x x sin lim 0 sin lim 0 重要極限 2 1 x e 1 e 或 e lim x x 1 lim 1 lim 0 1 1 等價無窮小 x 0 在求極限過程中經(jīng)常使用等價無窮小互相代替 sin xxtan xxarcsin xxarctan xxln 1 x x1 x e x 1 cos x 2 1 2 x11 x 1 2 x1 x a lnxa 導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 求導(dǎo)法則及常用求導(dǎo)公式 連續(xù)的概念 若函數(shù) f x 在 x0的某鄰域內(nèi)有定義 當(dāng) x x0時 函 數(shù)的極限存在 且極限值等于函數(shù)在 x0處的函數(shù)值 f x0 即f x lim 0 x x f x0 則稱函數(shù)在 x0處是連續(xù)的 連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系 定理 若函數(shù) f x 在點 x0處可導(dǎo) 則函數(shù)在點 x0處連續(xù) 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件 其逆命題不成立 即函數(shù)在某 一點連續(xù) 但在該點不一定可導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)的計算步驟 按定義計算 第一步 求增量 在 x 處給自變量增量 x 計算函數(shù)增量 y 即 y f x x f x 第二步 算比值 寫出并化簡比式 化簡比式的 x y x xxf f x 關(guān)鍵是使分式中僅分母或分子中含有 x 項 避免出現(xiàn)或 0 0 第三步 取極限 計算極限 f x lim 0 x x y 常用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 x 1 x x a ln x aa x e x e logax 1 lnxa ln x 1 x sin x cosx cosx sin x tan x 2 sec x cot x 2 csc x secx sec tanxx cscx csc cotxx arcsin x 2 1 1x arccosx 2 1 1x arctan x 2 1 1x arccot x 2 1 1x 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 設(shè) u u x v v x 則 u v u v cu cu uv u v uv v u 2 v uvvu 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y f x 是 x y 的反函數(shù) 則 y 即 f x 1 x 1 y 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè) y f u u x 則復(fù)合函數(shù) y f x 的導(dǎo)數(shù)為 或 y x f u x dx dy du dy dx du 隱函數(shù)求導(dǎo)方法 隱函數(shù)的概念 針對因變量 y 寫成自變量 x 的明顯 表達式的函數(shù) y f x 這種函數(shù)叫顯函數(shù) 而兩個變量 x 和 y 的對 應(yīng)關(guān)系是由一個方程 F x y 0 所確定 函數(shù)關(guān)系隱含在這個方程中 這種函數(shù)稱為由方程所確定的隱函數(shù) 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 并不需要先化為顯函數(shù) 事實上也很難都顯 化 只需把 y 看成中間變量 y y x 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 即可 求出隱函數(shù) y 對 x 的導(dǎo)數(shù) 例 求方程 x2 y2 1 所確定的函數(shù)的導(dǎo) 數(shù) 解 在方程的兩端對 x 求導(dǎo) 并將 y2看作 x 的復(fù)合函數(shù) 則 x2 y2 1 即 2x 2yy 0 y y x 得 y y x 參數(shù)方程所表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如下方程組 其中 t 為參數(shù) x t y t 設(shè)函數(shù) t 和 t 都可導(dǎo) 且函數(shù) t 存在連續(xù)反函數(shù) t 1 t 當(dāng) 1 t 0 時 這個反函數(shù)也可導(dǎo) 這時 y 是 x 的復(fù)合函數(shù) y 1 t f x 它可導(dǎo) 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知 y x dx dy dt dy dx dt dt dx dt dy x x 羅必塔法則 當(dāng) x x0 或 x 時 函數(shù) f x g x 同時趨向于零或 同時趨向于無窮大 這時分式的極限可能存在 也可能不存在 xg xf 我們稱其為未定式 并記作型或 這類極限將無法用 商的極 0 0 限等于極限的商 這一極限法則求出 未定式未定式 羅必塔法則一羅必塔法則一 A 或無窮大 0 0 lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 若其中 x 時 結(jié)論仍然成立 使用羅必塔法則時 分子分母分 別求導(dǎo)之后 應(yīng)該整理化簡 如果化簡后的分式還是未定式 可以 繼續(xù)使用這個法則 未定式未定式 羅必塔法則二羅必塔法則二 A 或無窮大 lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 若其中 x 時 結(jié)論也成立 未定式未定式 0 型及型及 型 型 這兩類未定式可轉(zhuǎn)化為型或型 0 0 未定式未定式 00 0 1 型 型 該類未定式可以通過對數(shù)轉(zhuǎn)化為前面的未定式 微分的運算及法則 由微分的的概念 dy f x dx 可知 求一個函數(shù)的微分 只要求出導(dǎo) 數(shù) f x 再乘以 dx 就得到微分 dy 因此不難由導(dǎo)數(shù)公式做出相應(yīng)的 微分公式 例 對于 y sinx 有 y cosx 從而 dy cosxdx 微分的法則 設(shè) u u x v v x 則 d cu cdu d u v du dv d uv udv vdu d v u 2 v udvvdu 不定積分的性質(zhì) 基本公式及計算方法 由不定積分定義及微分知識 可直接推出不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)一 性質(zhì)一 f x 或 d f x dx dxxf dxxf 性質(zhì)二 性質(zhì)二 F x c dxxF 性質(zhì)三 性質(zhì)三 k k 是不為 0 的常數(shù) dxxkf dxxf 性質(zhì)四 性質(zhì)四 dxxgxf dxxf dxxg 不定積分的基本公式 均應(yīng)加上常數(shù) C c dx0kdx kxx dx 1 1 x dx x ln x x e dx x e x a dx ln x a a cosxdx sin xsin xdx cosx tan xdx ln cosx cot xdx ln sin xsecxdx ln sectanxx cscxdx ln csccotxx 2 sec xdx tan x 2 ccsxdx cot x sec tanxxdx secx csc cotxxdx cscx 2 1 dx x arctan x 2 1 dx x arcsin x 22 1 dx xa 1 arctan x aa 22 1 dx xa 1 ln 2 xa axa 22 1 dx xa 22 ln xxa 22 1 dx ax arcsin x a 第一換元積分法 設(shè)函數(shù) u x 且 f u 有原函數(shù) F u du x dx 即 dx du x 參見微分概念及計算 F u c F x c dxxxf duuf 注意 該公式有一個隱含的條件 即要求原積分公式中已含有 x 方可在換元時代入 dx du x 并約去 x 提示 該積分法的步驟是先找出適當(dāng)?shù)?u x 將函數(shù)轉(zhuǎn)化為 關(guān)于 u 的積分公式 再求出關(guān)于 u 原函數(shù) 最后根據(jù) u 與 x 的關(guān)系代入 x 第二換元積分法 設(shè)函數(shù) x t 單調(diào)可微且 t 0 dx t dt 參見微分概念及計算 F t c F 1 x c dxxf dtttf 提示 該積分法的步驟是先找出適當(dāng)?shù)?x t 將函數(shù)轉(zhuǎn)化為 關(guān)于 t 的積分公式 再求出關(guān)于 t 原函數(shù) 最后根據(jù) x 與 t 的關(guān)系代入 x 分部積分法 設(shè)函數(shù) u u x v v x 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則 uv 解題時這個為 u 不行就換那個為 u dxuv dxvu 提示 運用此公式有時可以使難求的不定積分轉(zhuǎn)化為易 dxuv 求的不定積分 從而得所求結(jié)果 dxvu 定積分的性質(zhì)及計算方法 性質(zhì)一 k k 為常數(shù) b a dxxkf b a dxxf 性質(zhì)二 b a b a dx 性質(zhì)三 b a dxxgxf b a dxxf b a dxxg 性質(zhì)四 若把區(qū)間 a b 分為兩個區(qū)間 a c 與 c b 則 b a dxxf c a dxxf b c dxxf 注意 c 有任意性 可在 a b 之外 性質(zhì)五 若 f x 與 g x 在 a b 上有 f x g x 則 b a dxxf b a dxxg 性質(zhì)六 若 M m 分別是 f x 在 a b 上的最大值和最小值 則 m b a M b a 估值定理 b a dxxf 性質(zhì)七 若 f x 在 a b 上連續(xù) 則至少有一點 a b 使得 f b a 定積分中值定理 求平均值 b a dxxf 牛頓 萊布尼茲公式 若 f x 在 a b 上連續(xù) F x 是 f x 的一個原 函數(shù) 則 F x F b F a b a dxxf b a 可見 計算定積分 先用不定積分的方法求出一個原函數(shù) 然后把 上 下限