浙江省嘉興市2015-2016學年高一上期末數學試卷含答案解析

2015）期末數學試卷 一、選擇題（本大題有 10小題，每小題 4分，共 40分請從 A， B， C， 出一個符合題意的正確選項，填入答題卷，不選，多選，錯選均得零分） 1已知集合 M=1， 2， 3， N=2， 3， 4，則（ ） A MN B NM C MN=2， 3 D M N=1， 4 2已知函數 ，則 的值是（ ） A B 9 C 9 D 3若非零向量 ， 滿足 ，則 與 的夾角為（ ） A B C D 4下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（ ） A y=x+ C D 5函數 f（ x） =x 3+零點所在的區(qū)間是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 3） C（ 3， 4） D（ 4， +） 6在 ，已知 D 是 長線上一點，若 ，點 E 為線段 中點， ，則 =（ ） A B C D 7函數 f（ x） =（ 1 x） |x 3|在（ ， a上取得最小值 1，則實數 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2 B C D 2， +） 8設奇函數 f（ x）在（ 0， +）上為增函數，且 ，則不等式 xf（ x） f（ x） 0的解集為（ ） A BC D 9如圖，在等腰直角三角形 ， ， D， E 是線段 的點，且 ，則的取值范圍是（ ） A B C D 10設函數 ，則滿足 f（ f（ a） =2f（ a） 的 a 取值范圍是（ ） A B C D 二、填空題（本大題有 8小題，每小題 3分，共 24分，請將答案寫在答題卷上） 11 = 12已知定義在 R 上的偶函數 f（ x），當 x 0 時， f（ x） = = 13已知不論 a 為何正實數， y= 3 的圖象恒過定點，則這個定點的坐標是 14設向量 不平行，向量 與 平行，則實數 = 15若方程 |2x 1|=a 有唯一實數解，則 a 的取值范圍是 16如圖，定圓 C 的半徑為 4， A 為圓 C 上的一個定點， B 為圓 C 上的動點，若點 A， B， C 不共線，且 對任意的 t（ 0， +）恒成立，則 = 17設非空集合 S=x|mxl對任意的 xS，都有 ，若 ，則 l 的取值范圍 18已知關于 x 的函數 y= （ tR）的定義域為 D，存在區(qū)間 a， bD， f（ x）的值域也是 a， b當 t 變化時， b a 的最大值 = 三、解答題（本大題有 4小題，共 36分，請將解答過程寫在答題卷上） 19已知函數 f（ x） =x 2）的定義域為集合 A，函數 ， x0， 9的值域為集合B， （ 1）求 AB； （ 2）若 C=x|3x 2m 1，且（ AB） C，求實數 m 的 取值范圍 20已知向量 是同一平面內的三個向量，其中 （ 1）若 ，且向量 與向量 反向，求 的坐標； （ 2）若 ，且 ，求 與 的夾角 21已知函數 （ 1）判斷 f（ x）的奇偶性； （ 2）當 x 1， 1時， f（ x） m 恒成立，求 m 的取值范圍 22已知函數 f（ x） =bx+c（ a， b， cR 且 a0），若對任意實數 x，不等式 2xf（ x） （ x+1）2 恒成立 （ 1）求 f（ 1）的值； （ 2）求 a 的取值范圍； （ 3）若函數 g（ x） =f（ x） +2a|x 1|， x 2， 2的最小值為 1，求 a 的值 2015）期末數學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（ 本大題有 10小題，每小題 4分，共 40分請從 A， B， C， 出一個符合題意的正確選項，填入答題卷，不選，多選，錯選均得零分） 1已知集合 M=1， 2， 3， N=2， 3， 4，則（ ） A MN B NM C MN=2， 3 D M N=1， 4 【考點】 交集及其運算 【專題】 計算題 【分析】 利用直接法求解，分別求出兩個集合的交集與并 集，觀察兩個集合的包含關系即可 【解答】 解： MN =1， 2， 32， 3， 4 =2， 3 故選 C 【點評】 本題主要考查了集合的交集與子集的運算，屬于容易題 2已知函數 ，則 的值是（ ） A B 9 C 9 D 【考點】 函數的值 【分析】 由已知條件利用分段函數的性質求解 【解答】 解： ， f（ ） = = 2， =3 2= 故答案為： 故選： A 【點評】 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用 3若非零向量 ， 滿足 ，則 與 的夾角為（ ） A B C D 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 計算題；對應思想；綜合法；平面向量及應用 【分析】 對 兩邊平方求出數量積與模長的關系，代入夾角公式計算 【解答】 解：設 =t，則 2 = = ， = = = 故選 D 【點評】 本題考查了平面向量的數量積運算，夾角計算，屬于基礎題 4下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（ ） A y=x+ C D 【考點】 函數奇偶性的判 斷 【專題】 計算題；函數思想；綜合法；函數的性質及應用 【分析】 先求函數的定義域，看是否關于原點對稱，再計算 f（ x）與 f（ x）的關系，即可判斷出奇偶性 【解答】 解： A其定義域為 R，關于原點對稱，但是 f（ x） = x+e xf（ x），因此為非奇非偶函數； B定義域為 x|x0，關于原點對稱，又 f（ x） = x = f（ x），因此為奇函數； C定義域為 xR，關于原點對稱，又 f（ x） = = f（ x），因此為奇函數； D定義域為 xR，關于原點對稱，又 f（ x） = =f（ x），因此為 偶函數； 故選： A 【點評】 本題考查了函數的定義域求法、函數奇偶性的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 5函數 f（ x） =x 3+零點 所在的區(qū)間是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 3） C（ 3， 4） D（ 4， +） 【考點】 函數零點的判定定理 【專題】 計算題 【分析】 根據零點的性質，依次驗證每個選項即可得解 【解答】 解： y1=x 單調遞增， y2=調遞增 f（ x） =x 3+調遞增 又 f（ 1） =1 3+0 0， f（ 3） =3 3+1=1 0 當 x（ 0， 1）時， f（ x） f（ 1） 0， 當 x（ 3， 4）或 x（ 4， +）時， f（ x） f（ 3） 0 函數 f（ x） =x 3+零點在（ 1， 3）內 故選 B 【點評】 本題考查函數的零點，要求熟練掌握零點的性質屬簡單題 6在 ，已知 D 是 長線上一點，若 ，點 E 為線段 中點， ，則 =（ ） A B C D 【考點】 平面向量的基本定理及其意義 【專題】 計算題；數形結合；轉化思想；平面向量及應用 【分析】 由 = ， = ， ， ，代入化簡即可得出 【解答】 解： = ， = ， ， ， 代入可得： = + = + ， 與 ，比較， 可得： = 故選： B 【點評】 本題考查了向量共線定理、向量的三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 7函數 f（ x） =（ 1 x） |x 3|在（ ， a上取得最小值 1，則實數 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2 B C D 2， +） 【考點】 函數的最值及其幾何意義；分段函數的應用 【專題】 計算題；函數思想；數形結合法；函數的性質及應用 【分析】 由零點分段法，我們可將函數 f（ x） =（ 1 x） |x 3|的解析式化為分段函數的形式，然后根據分段函數分段處理的原則，畫出函數的圖象，進而結合圖象數形結合，可得實數 a 的集合 【解答】 解： 函數 f（ x） =（ 1 x） |x 3|= ， 其函數圖象如下圖所示： 由函數圖象可得： 函數 f（ x） =（ 1 x） |x 3|在（ ， a上取得最小值 1， 當 x3 時， f（ x） = x 3= 1，解得 x=2+ ， 當 x 3 時， f（ x） =4x+3= 1，解得 x=2， 實數 a 須滿足 2a2+ 故實數 a 的集合是 2， 2+ 故選： C 【點評】 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，其中根據分段函數圖象分段畫的原則，畫出函數的圖象是解答本題的關鍵 8設奇函數 f（ x）在（ 0， +）上為增函數，且 ，則不等式 xf（ x） f（ x） 0的解集為（ ） A BC D 【考點】 奇偶性與單調性的綜合 【專題】 計算題；函數思想；綜合法；函數的性質及應用 【分析】 根據條件可以得到 f（ x）在（ ， 0）上為增函數，且 ， f（ x）為奇函數，便有 f（ x） = f（ x），從而不等式 xf（ x） f（ x） 0 可變成 x） 0，從而可得到，或 ，根據 f（ x）的單調性便可解出這兩個不等式組，從而便求出原不等式的解集 【解答】 解： f（ x）為奇函數，在（ 0， +）上為增函數； f（ x）在（ ， 0）上為增函數； f（ ） =0， ； 由 xf（ x） f（ x） 0 得， 2x） 0； x） 0； ，或 ； 即 ，或 ； 根據 f（ x）的單調性解得 ，或 ； 原不等式的解集為 故選： B 【點評】 考查奇函數的定義，奇函數在對稱區(qū)間上的單調性特點，兩個因式乘積的不等式轉化成不等式組求解的方法，根據增函數的 定義解不等式的方法 9如圖，在等腰直角三角形 ， ， D， E 是線段 的點，且 ，則的取值范圍是（ ） A B C D 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 函數思想；數形結合法；平面向量及應用 【分析】 建立平面直角坐標系，設 D（ x， 0）則 E（ x+ ， 0），則 可表示為關于 x 的函數，根據 x 的范圍求出函數的值域 【解答】 解：以 在直線為 x 軸，以 中垂線為 y 軸建立平面直角坐標系， 則 A（ 0， 1）， B（ 1， 0）， C（ 1， 0），設 D（ x， 0），則 E（ x+ ， 0） ， 1x =（ x， 1）， =（ x+ ， 1）， =x+1=（ x+ ） 2+ 當 x= 時， 取得最小值 ，當 x= 1 或 時， 取得最大值 故選： A 【點評】 本題考查了平面向量的數量積運算，建立坐標系是常用解題方法，屬于中檔題 10設函數 ，則滿足 f（ f（ a） =2f（ a） 的 a 取值范圍是（ ） A B C D 【考點】 分段函數的應用； 函數的值 【專題】 計算題；分類討論；綜合法；函數的性質及應用 【分析】 根據分段函數的表達式進行討論進行求解即 可 【解答】 解：當 a3 時， f（ f（ a） =f（ 2a） = ，所以 a3 符合題意； 當 時， f（ a） =3a 13，所以 f（ f（ a） =f（ 3a 1） =23a 1=2f（ a） ， 所以 符合題意； 當 時， f（ a） =3a 1 3，所以 f（ f（ a） =f（ 3a 1） =9a 4=23a 1， 結合圖象知：只 有當 時符合題意； 綜上所述， a 的取值范圍為 故選： D 【點評】 本題主要考查分段函數的應用，根據條件進行分類討論是解決本題的關鍵 二、填空題（本大題有 8小題，每小題 3分，共 24分，請將答案寫在答題卷上） 11 = 0 【考點】 對數的運算性質 【專題】 計算題；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用 【分析】 利用對數運算法則求解 【解答】 解： = =0 故答案為： 0 【點評】 本題考查對數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數性質、運算法則的合理運用 12已知定義在 R 上的偶函數 f（ x），當 x 0 時， f（ x） = = 【考點】 函數奇偶性的性質 【專題】 計算題；函數思想；綜合 法；函數的性質及應用 【分析】 先由函數是偶函數得 f（ x） =f（ x），再利用 x 0 時， f（ x） =可求出 【解答】 解： 函數 y=f（ x）是偶函數， f（ x） =f（ x）， x 0 時， f（ x） = =f（ ） = 故答案為： 【點評】 本題考查了函數奇偶性的性質，以及將未知轉化為已知的轉化化歸思想，是個基礎題 13已知不論 a 為何正實數， y= 3 的圖象恒過定點，則這個定點的坐標是 （ 2， 2） 【考點】 指數函數的圖象變換 【專題】 函數思想；數 學模型法；函數的性質及應用 【分析】 令 x+2=0，則由 恒成立可得答案 【解答】 解：令 x+2=0，則 x= 2， y= 2， 故 y= 3 的圖象恒過定點（ 2， 2）， 故答案為：（ 2， 2） 【點評】 本題考查的知識點是指數函數的圖象和性質，熟練掌握不論 a 為何正實數， 恒成立，是解答的關鍵 14設向量 不平行，向量 與 平行，則實數 = 【考點】 平行向量與共線向量 【專題】 計算題；方程思想；定義法；平面向量及應用 【分析】 根據向量平行的共線定理，列出方程求出 的值 【解答】 解： 向量 與 平行， 存在 R，使 + =（ 3 +2 ）， ， 解得 = ， = 故答案為： 【點評】 本題考查了平面向量共線定理的應用問題，是基礎題目 15若方程 |2x 1|=a 有唯一實數解，則 a 的取值范圍是 a1 或 a=0 【考點】 根的存在性及根的個數判斷 【專題】 計算題；作圖題；轉化思想；數形結合法；函數的性質及應用 【分析】 作函數 y=|2x 1|的圖象，從而結合圖象討論方程的根的個數即可 【解答】 解：作函數 y=|2x 1|的圖象如下， ， 結合圖象可知 ， 當 a=0 時，方程 |2x 1|=a 有唯一實數解， 當 0 a 1 時，方程 |2x 1|=a 有兩個實數解， 當 a1 時，方程 |2x 1|=a 有唯一實數解， 故答案為： a1 或 a=0 【點評】 本題考查了函數的圖象與方程的根的關系應用及數形結合方法的應用 16如圖，定圓 C 的半徑為 4， A 為圓 C 上的一個定點， B 為圓 C 上的動點，若點 A， B， C 不共線，且 對任意的 t（ 0， +）恒成立，則 = 16 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 函數思想；綜合法；平面向量及應用 【分析】 對 =| |兩邊平方， 得到關于 t 的二次不等式在（ 0， +）上恒成立，討論判別式和根的范圍列出不等式解出 【解答】 解： =| |， 2t + 2 + ， 8t + 80 在（ 0， +）上恒成立， =（ ） 2 32（ 8） =（ 16） 20， 若 =0， =16，則 8t + 80 在 R 上恒成立，符合題意； 若 0， 16，則 8t + 8=0 的最大解 0 當 16 時， 0，解得 =8（舍去） 當 16 時， ，不符合題意 綜上， =16 故答案為 16 【點評】 本題考查了平面向量的數量積運算，二次函數恒成立問題，屬于中檔題 17設非空集合 S=x|mxl對任意的 xS，都有 ，若 ，則 l 的取值范圍 【考點】 元素與集合關系的判斷 【專題】 計算題；轉化思想；集合思想；不等式的解法及應用；集合 【分析】 由 m 的范圍求得 S，再由題意列關于 l 的不等式組 ，解該不等式組即得 【解答】 解：由 m= 時，得 S，則 ， 解得： l1； l 的范圍是 ， 1 故答案為： 【點評】 本題考查元素與集 合的關系的判斷，正確理解題意是關鍵，是基礎題 18已知關于 x 的函數 y= （ tR）的定義域為 D，存在區(qū)間 a， bD， f（ x）的值域也是 a， b當 t 變化時， b a 的最大值 = 【考點】 函數的定義域及其求法；函數的值域 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 由函數的單調性可得 a=f（ a），且 b=f（ b），故 a、 b 是方程 t 1） x+ 的兩個同號的實數根由判別式大于 0，容易求得 t（ 1， ）由韋達定理可得 ba= = ，利用二次函數的性質求得 b a 的最大值 【解答】 解： 關于 x 的函數 y=f（ x） = =（ 1 t） 的定義域為（ ， 0） （ 0，+）， 且函數在（ ， 0）、（ 0， +）上都是增函數 故有 a=f（ a），且 b=f（ b），即 a= ， b= 即 t 1） a+，且 t 1） b+， 故 a、 b 是方程 t 1） x+ 的兩個同號的實數根 由判別式大于 0，容易求得 t（ 1， ） 而當 t=0 時，函數為 y=1，不滿足條件，故 t（ 1， ）且 t0 由韋達定理可得 b a= = ，故當 t= 時， b a 取得最大值為， 故答 案為： 【點評】 本題主要考查求函數的定義域， 以及二次函數的性質，求函數的最值，屬于中檔題 三、解答題（本大題有 4小題，共 36分，請將解答過程寫在答題卷上） 19已知函數 f（ x） =x 2）的定義域為集合 A，函數 ， x0， 9的值域為集合B， （ 1）求 AB； （ 2）若 C=x|3x 2m 1，且（ AB） C，求實數 m 的取值范圍 【考點】 集合的包含關系判斷及應用；交集及其運算 【專題】 計算題；集合思想；不等式的解法及應用；集合 【分析】 （ 1）由對數函數的定義域求出集合 A， 由函數 ， x0， 9的值域求出集合 B，則 AB 可求； （ 2）由集合 C 化為 且（ AB） C 得到不等式 ，求解不等式即可得到實數 m 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）已知函數 f（ x） =x 2）的定義域為集合 A，函數 ， x0，9的值域為集合 B， 則 A=x|x 2 0=x|x 1 或 x 2， B=x|0x3， AB=x|x 1 或 x 2x|0x3=x|2 x3； （ 2） 且（ AB） C， ，即 m 5 【點評】 本題考查了集合的包含關系判斷及應用 ，考查了函數的定義域及值域的求法，考查了交集及其運算，是中檔題 20已知向量 是同一平面內的三個向量，其中 （ 1）若 ，且向量 與向量 反向，求 的坐標； （ 2）若 ，且 ，求 與 的夾角 【考點】 平面向量數量積的運算；平面向量的坐標運算 【專題】 計算題；對應思想；綜合法；平面向量及應用 【分析】 （ 1）令 ，根據模長關系列方程解出 ； （ 2）將 展開求出 ，代入夾角公式計算 【解答】 解：（ 1）設 ， （ 2） | |= ， ， 2=5， 2= ， 2 2+3 2 2= +3 = ， ， 【點評】 本題考查了平面向量的數量積運算，模長計算，屬于基礎題 21已知函數 （ 1）判斷 f（ x）的奇偶性； （ 2）當 x 1， 1時， f（ x） m 恒成立，求 m 的取值范圍 【考點】 函數恒成立問題；函數奇偶性的判斷 【專題】 綜合題；函數思想；綜合法；簡易邏輯 【分析】 （ 1）根據函數奇偶性的定義判斷即可；（ 2）根據函數單調性的定義判斷其單調性，從而求出函數的最小值，求出 m 的范圍 【解答】 解：（ 1）在函數 f（ x）的定義域 R 上任取 一自變量 x 因為 = f（ x）， 所以函數 f（ x）為奇函數； （ 3 分） （ 2）當 a 1 時，在 1， 1上任取 = ， 0， f（ f（ 0 所以函數 f（ x）在 x 1， 1時為增函數， （ 4 分） 當 0 a 1 時，同理可證函數 f（ x）在 x 1， 1時為增函數， ， 所以 m1 （ 3 分） 【點評】 本題考查了函數恒成立問題，考查函數的單調性、奇偶性問題，是一道基礎題 22已知函數 f（ x） =bx+c（ a， b， cR 且 a0），若對任意實數 x，不等式 2xf（ x） （ x+1）2 恒成立 （ 1）求 f（ 1）的值； （ 2）求 a 的取值范圍； （ 3）若函數 g（ x） =f（ x） +2a|x 1|， x 2， 2的最小值為 1，求 a 的值 【考點】 二次函數的性質 【專題】 分類討論；分析法；函數的性質及應用；不等式的解法及應用 【分析】 （ 1）在給出的不等式中，令 x=1，根據這個條件可求