高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（整合考點(diǎn)+典例精析+深化理解）第三章 第一節(jié)角的概念與弧度制及任意角的三角函數(shù)精講課件 文.ppt

第一節(jié)角的概念與弧度制及任意角的三角函數(shù) 第三章 例1 已知角 45 1 在區(qū)間 720 0 內(nèi)找出所有與角 終邊相同的角 2 設(shè)集合m n 那么兩集合的關(guān)系是什么 終邊相同的角的表示 思路點(diǎn)撥 1 從終邊相同的角的表示入手分析問題 先表示出所有與角 終邊相同的角 然后列出一個(gè)關(guān)于k的不等式 找出相應(yīng)的整數(shù)k 代回求出所有角 2 可對(duì)整數(shù)k的奇 偶數(shù)情況展開討論 自主解答 解析 1 所有與角 終邊相同的角可表示為45 k 360 k z 則令 720 45 k 360 0 解得 k 由于k z 從而k 2或k 1 代回得角 675 或角 315 2 因?yàn)閙 x x 2k 1 45 k z 表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合 集合n x x k 1 45 k z 表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合 因此m n 點(diǎn)評(píng) 與角 終邊相同的角可以表示為 2k k z 的形式 應(yīng)注意 1 是任意角 2 相等的角終邊一定相同 終邊相同的角不一定相等 3 角度制與弧度制不能混用 1 若角 和角 的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱 則角 可以用角 表示為 a 2k k z b 2k k z c k k z d k k z 變式探究 解析 因?yàn)榻?和角 的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱 所以 2k k z 所以 2k k z 答案 b 例2 1 若角 是第二象限角 則 是第幾象限角 2 是第幾象限角 2 已知 是第三象限角 則是第幾象限角 思路點(diǎn)撥 對(duì)于 1 由角 是第二象限角 可得到角 的范圍 即k 360 90 k 360 180 k z 進(jìn)而可得到 2 的取值范圍 再根據(jù)范圍確定其象限 對(duì)于 2 同理由角 是第三象限角 可得到角 的范圍 進(jìn)而可得到的取值范圍 再根據(jù)范圍確定其所在象限 此外本題也可用幾何法來確定 所在的象限 象限角的確定 自主解答 解析 1 因?yàn)榻?是第二象限角 所以k 360 90 k 360 180 k z 則k 180 45 k 180 90 k z 當(dāng)k是偶數(shù)時(shí) 設(shè)k 2n n z 則n 360 45 n 360 90 n z 可知在第一象限 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí) 設(shè)k 2n 1 n z 則n 360 225 n 360 270 n z 可知在第三象限 綜上所述 若角 是第二象限角 則是第一象限角或第三象限角 因?yàn)?k 360 180 2 2k 360 360 可知角2 的終邊應(yīng)在第三象限或第四象限或y軸的非正半軸上 2 法一 是第三象限角 2k 2k 當(dāng)k 3m m z 時(shí) 為第一象限角 當(dāng)k 3m 1 m z 時(shí) 為第三象限角 當(dāng)k 3m 2 m z 時(shí) 為第四象限角 故為第一象限角或第三象限角或第四象限角 法二 把各象限均分3等份 再從x軸的正向的上方起 依次將各區(qū)域標(biāo)上 并依次循環(huán)一周 則 原來是第 象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域 由圖可知 是第一或第三或第四象限角 點(diǎn)評(píng) 1 已知角 的范圍或所在的象限 求所在的象限是?？碱}型之一 一般解法有直接法和幾何法 若 是第k k取1 2 3 4之一 象限的角 利用單位圓判斷 n n 是第幾象限角的方法 把單位圓上每個(gè)象限的圓弧n等分 并從x軸正半軸開始 沿逆時(shí)針方向依次在每個(gè)區(qū)域標(biāo)上1 2 3 4 再循環(huán) 直到填滿為止 則有標(biāo)號(hào)k的區(qū)域就是角 n n 終邊所在的范圍 如 k 2 則角是第一或第二或第四象限角 上圖中標(biāo)有號(hào)碼2的區(qū)域就是終邊所在位置 2 確定角所在的象限是確定函數(shù)值符號(hào)的關(guān)鍵 故必須掌握已知角 的范圍 求與 有運(yùn)算關(guān)系的角的范圍這一類問題的解法 變式探究2 2014 黑龍江雙鴨山一中第一次月考 若 k 180 45 k z 則 的終邊在 a 第一或第三象限b 第一或第二象限c 第二或第四象限d 第三或第四象限 解析 k為偶數(shù)時(shí) 角 的終邊在第一象限 k為奇數(shù)時(shí) 角 的終邊在第三象限 故選a 答案 a 扇形弧長 面積的計(jì)算 例3 已知一扇形的中心角是 所在圓的半徑是r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積 2 若扇形的周長是一定值c c 0 當(dāng) 為多少弧度時(shí) 該扇形的面積有最大值 并求出這個(gè)最大值 解析 1 設(shè)弧長為l 弓形面積為s弓 因?yàn)?60 r 10cm 所以l cm s弓 s扇 s 10 100 sin60 50cm2 2 因?yàn)閏 2r l 2r r 所以r s扇 r2 2 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 即 2 2舍去 時(shí) 扇形的面積有最大值為 點(diǎn)評(píng) 1 弧長公式l r 面積公式s lr r2 其中 必須是弧度制單位 而s lr類似于三角形的面積公式 弧長相當(dāng)于三角形的底 半徑相當(dāng)于三角形的高 2 扇形的圓心角 半徑r 弧長l 面積s之間有下列比例關(guān)系 變式探究 3 已知一扇形的面積為定值s 當(dāng)圓心角 為多少弧度時(shí) 該扇形的周長c有最小值 并求出最小值 解析 因?yàn)閟 rl 所以rl 2s 所以周長c l 2r 當(dāng)且僅當(dāng)l 2r時(shí) c 所以當(dāng) 2時(shí) 周長c有最小值 利用定義求三角函數(shù)值 例4 1 已知角 的終邊過點(diǎn) a 2a a 0 求 的三角函數(shù)值sin cos tan 2 已知角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 終邊為射線4x 3y 0 x 0 求sin cos2 的值 解析 1 因?yàn)榻?的終邊過點(diǎn) a 2a a 0 所以x a y 2a r a 當(dāng)a 0時(shí) sin cos tan 2 當(dāng)a 0時(shí) sin cos 2 綜上所述 sin cos tan 2 2 在射線4x 3y 0上取一點(diǎn)p 3 4 則r 5 依三角函數(shù)的定義有sin cos tan 法一 sin cos2 法二 sin cos2 sin2 sin cos2 1 cos 點(diǎn)評(píng) 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 1 已知角的終邊上一點(diǎn)p的坐標(biāo) 則可先求出點(diǎn)p到原點(diǎn)的距離 然后用三角函數(shù)定義求解 2 已知角的終邊所在的直線方程 則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo) 求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題 若直線的傾斜角為特殊角 則可直接寫出角的三角函數(shù)值 注意 若角 的終邊落在某條直線上 一般要分類討論 變式探究 4 已知角 的終邊上一點(diǎn)p m m 0 且sin 求cos tan 的值 解析 由題設(shè)知x y m r2 op 2 2 m2 o為原點(diǎn) 得r 從而sin r 于是3 m2 8 解得m 當(dāng)m 時(shí) r 2 x cos tan 當(dāng)m 時(shí) r 2 x cos tan 根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定角所處象限取值范圍 例5 若sin cos 0 試確定角 所在的象限 思路點(diǎn)撥 1 首先確定sin 與cos 的符號(hào) 再判斷 所在的象限 2 先化簡關(guān)系式再確定 的范圍 3 因判斷 所在的象限 故本題可以用特殊值 各個(gè)象限各取一個(gè) 來判斷 解析 法一 由sin cos 0知或由上可知 在第一或第三象限 法二 由sin cos 0有sin2 0 即sin2 0 所以2k 2 2k k k 當(dāng)k 2n n z 時(shí) 在第一象限 當(dāng)k 2n 1 n z 時(shí) 在第三象限 故 在第一或第三象限 法三 若令 代入sin cos 0 可以驗(yàn)證知 只有 滿足條件 所以 在第一或第三象限 點(diǎn)評(píng) 1 單位圓中的三角函數(shù)線是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要工具 利用單位圓中的三角函數(shù)線可以研究同角三角函數(shù)關(guān)系 誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的圖象 要注意三角函數(shù)線是有向線段 2 三角函數(shù)在各象限的符號(hào)可用一口訣記憶 一象限全是正 二象限正弦正 三象限正切正 四象限余弦正 變式探究 5 1 2013 海口模擬 已知點(diǎn)p sin cos tan 在第