高中數(shù)學 9.5幾何概型配套課件 蘇教版.pptVIP

第五節(jié)幾何概型 高考指數(shù) 隨機 都一樣 指定區(qū)域中的點 線段 平面圖形 立體圖形 即時應用 1 思考 古典概型與幾何概型有何區(qū)別 提示 古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的 但古典概型要求基本事件有有限個 幾何概型要求基本事件有無限個 2 判斷下列概率模型 是否是幾何概型 請在括號中填寫 是 或 否 在區(qū)間 10 10 內任取一個數(shù) 求取到1的概率 在區(qū)間 10 10 內任取一個數(shù) 求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率 在區(qū)間 10 10 內任取一個整數(shù) 求取到大于1而小于2的數(shù)的概率 向一個邊長為4cm的正方形abcd內投一點p 求點p離中心不超過1cm的概率 解析 中概率模型不是幾何概型 雖然區(qū)間 10 10 有無限多個點 但取到 1 只是一個數(shù)字 不能構成區(qū)域長度 中概率模型是幾何概型 因為區(qū)間 10 10 和 1 1 上有無限多個數(shù)可取 滿足無限性 且在這兩個區(qū)間內每個數(shù)被取到的機會是相等的 滿足等可能性 中概率模型不是幾何概型 因為在區(qū)間 10 10 內的整數(shù)只有21個 是有限的 不滿足無限性特征 中概率模型是幾何概型 因為在邊長為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內均有無數(shù)多個點 且這兩個區(qū)域內的任何一個點都有可能被投到 故滿足無限性和等可能性 答案 否 是 否 是 3 有一杯2升的水 其中含一個細菌 用一個小杯從水中取0 1升水 則此小杯中含有這個細菌的概率是 解析 答案 0 05 4 在平面直角坐標系xoy中 設f是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域 e是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域 向f中隨機投一點 則所投的點落在e中的概率是 解析 如圖 區(qū)域f表示邊長為4的正方形abcd的內部 含邊界 區(qū)域e表示單位圓及其內部 因此p 答案 a b c d 5 在集合a m 關于x的方程無實根 中隨機地取一元素m 恰使式子lgm有意義的概率為 解析 由于得 10 在數(shù)軸上表示為 故所求概率為 答案 與長度 角度 有關的幾何概型 方法點睛 1 與長度有關的幾何概型如果試驗的結果構成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示 則其概率的計算公式為 2 與角度有關的幾何概型當涉及射線的轉動 扇形中有關落點區(qū)域問題時 應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率 且不可用線段代替 這是兩種不同的度量手段 提醒 有時與長度或角度有關的幾何概型 題干并不直接給出 而是將條件隱藏 與其他知識綜合考查 例1 1 在半徑為1的圓內的一條直徑上任取一點 過這個點作垂直于直徑的弦 則弦長超過圓內接等邊三角形邊長的概率為 2 在等腰rt abc中 過直角頂點c在 acb內作一條射線cd與線段ab交于點d 則ad ac的概率為 解題指南 1 問題可轉化為 直徑上到圓心o的距離小于的點構成的線段長與直徑長之比 2 要使ad ac 可先找到ad ac時 acd的度數(shù) 再求出相應區(qū)域的角 利用幾何概型的概率公式求解即可 規(guī)范解答 1 記事件a為 弦長超過圓內接等邊三角形的邊長 如圖 不妨在過等邊三角形bcd的頂點b的直徑be上任取一點f作垂直于直徑的弦 當弦為cd時 就是等邊三角形的邊長 弦長大于cd的充要條件是圓心o到弦的距離小于of 此時f為oe的中點 由幾何概型概率公式得 答案 2 射線cd在 acb內是均勻分布的 故 acb 90 可看成試驗的所有結果構成的區(qū)域 在線段ab上取一點e 使ae ac 則可看成事件構成的區(qū)域 所以滿足條件的概率為答案 互動探究 1 若將本例 1 中條件改為 從圓周上任取兩點 連結兩點成一條弦 其他條件不變 求弦長超過此圓內接正三角形邊長的概率 2 若將本例 2 中條件改為 在斜邊ab上任取一點d 其他條件不變 求ad ac的概率 解析 1 記事件a為 弦長超過圓內接正三角形邊長 如圖 取圓內接正三角形的頂點b作為弦的一個端點 當另一個端點e在劣弧上時 be bc 而劣弧的長恰為圓周長的由幾何概型概率公式有 2 在ab上截取ae ac 且記事件m ad的長小于ac的長 則所以ad的長小于ac的長的概率是 反思 感悟 將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點 該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣 而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點 這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解 變式備選 1 在長為12cm的線段ab上任取一點m 并以線段am為一邊作正方形 則此正方形的面積介于36cm2到81cm2之間的概率為 解析 正方形的面積介于36cm2到81cm2之間 所以正方形的邊長介于6cm到9cm之間 線段ab的長度為12cm 則所求概率為答案 2 在區(qū)間 1 1 上隨機取一個數(shù)x 的值介于0到之間的概率為 解析 在區(qū)間 1 1 上隨機取一個數(shù)x 即x 1 1 要使的值介于0到之間 需使或 或區(qū)間長度為由幾何概型知的值介于0到之間的概率為答案 與面積有關的幾何概型問題 方法點睛 1 與面積有關的幾何概型問題如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示 則其概率的計算公式為 2 與體積有關的幾何概型問題如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示 則其概率的計算公式為 例2 1 設有一個等邊三角形網(wǎng)格 其中各個最小等邊三角形的邊長都是現(xiàn)用直徑為2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上 則硬幣落下后與格線沒有公共點的概率為 2 正方體abcd a1b1c1d1的棱長為1 在正方體內隨機取點m 則使四棱錐m abcd的體積小于的概率為 解題指南 1 硬幣落下后與格線沒有公共點即表示硬幣中心到三角形各邊 格線 的距離都大于1 在等邊三角形內作三條與等邊三角形三邊距離均為1的直線構成小等邊三角形 當硬幣的中心在小三角形內時 硬幣與三邊都無交點 所以硬幣與格線沒有公共點就轉化為硬幣中心落在小等邊三角形內的問題 2 先根據(jù)四棱錐m abcd體積等于時m的位置 再找出體積小于時m的位置 規(guī)范解答 1 記e 硬幣落下后與格線沒有公共點 如圖所示 小三角形的邊長為答案 2 正方體abcd a1b1c1d1中 設m abcd的高為h 則又s四邊形abcd 1 h 若體積小于則h 即點m在正方體的下半部分 答案 互動探究 本例 2 中條件不變 求m落在三棱柱abc a1b1c1內的概率 求m落在三棱錐b a1b1c1內的概率 解析 v正方體 1 所求概率 所求概率 反思 感悟 幾何圖形類的幾何概型問題對于幾何圖形中的幾何概型問題 尋求事件構成區(qū)域的關鍵是先找出符合題意的臨界位置 如本例 1 中 在等邊三角形內作三條與等邊三角形三邊距離均為1的直線構成小等邊三角形 2 中先找出滿足條件時臨界值m的位置 再尋求事件構成的區(qū)域 變式備選 設 1 a 1 1 b 1 則關于x的方程x2 ax b2 0有實根的概率是 解析 由題知該方程有實根滿足條件作平面區(qū)域如圖 由圖知陰影面積為1 總的事件對應的面積為正方形的面積 故概率為答案 生活中的幾何概型問題 方法點睛 生活中的幾何概型度量區(qū)域的構造將實際問題轉化為幾何概型中的長度 角度 面積 體積等常見幾何概型的求解問題 構造出隨機事件a對應的幾何圖形 利用幾何圖形的度量來求隨機事件的概率 根據(jù)實際問題的具體情況 合理設置參數(shù) 建立適當?shù)淖鴺讼?在此基礎上將試驗的每一個結果一一對應于該坐標系的點 便可構造出度量區(qū)域 提醒 當基本事件受兩個連續(xù)變量控制時 一般是把兩個連續(xù)變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標 這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域 即可借助平面區(qū)域解決 例3 甲 乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭 它們在一晝夜內到達該碼頭的時刻是等可能的 如果甲船停泊時間為1h 乙船停泊時間為2h 求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率 解題指南 要使兩船都不需要等待碼頭空出 當且僅當甲比乙早到達1h以上或乙比甲早到達2h以上 規(guī)范解答 這是一個幾何概型問題 設甲 乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y a為 兩船都不需要等待碼頭空出 則0 x 24 0 y 24 要使兩船都不需要等待碼頭空出 當且僅當甲比乙早到達1h以上或乙比甲早到達2h以上 即y x 1或x y 2 故所求事件構成集合a x y y x 1或x y 2 x 0 24 y 0 24 a為圖中陰影部分 全部結果構成集合 為邊長是24的正方形 所求概率為 x y o 1 2 24 24 y x 1 x y 2 反思 感悟 解答本題的關鍵是把兩個時間分別用x y兩個坐標表示 構成平面內的點 x y 從而把時間是一段長度問題轉化為平面圖形的二維面積問題 進而轉化成面積型幾何概型的問題 變式訓練 甲 乙兩人約定上午7 00至8 00之間到某站乘公共汽車 在這段時間內有3班公共汽車 它們開車時刻分別為7 20 7 40 8 00 如果他們約定 見車就乘 求甲 乙乘同一車的概率 解析 設甲到達汽車站的時刻為x 乙到達汽車站的時刻為y 則7 x 8 7 y 8 x y o 8 00 7 40 7 20 7 00 7 20 7 40 8 00 即甲 乙兩人到達汽車站的時刻 x y 所對應的區(qū)域在平面直角坐標系中畫出 如圖所示 是大正方形 將三班車到站的時刻在圖形中畫出 則甲 乙兩人要想乘同一班車 必須滿足即 x y 必須落在圖形中的三個帶陰影的小正方形內 所以由幾何概型的計算公式得 即甲 乙乘同一車的概率為 易錯誤區(qū) 對幾何圖形認識不清致誤 典例 2011 江西高考 小波通過做游戲的方式來確定周末活動 他隨機地往單位圓內投擲一點 若此點到圓心的距離大于則周末去看電影 若此點到圓心的距離小于則去打籃球 否則 在家看書 則小波周末不在家看書的概率為 解題指南 根據(jù)條件先求出小波周末去看電影的概率 再求出他去打籃球的概率 易得周末不在家看書的概率 規(guī)范解答 記 看電影 為事件a 打籃球 為事件b 不在家看書 為事件c 答案 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 福建高考改編 如圖 矩形abcd中 點e為邊cd的中點 若在矩形abcd內部隨機取一個點q 則點q取自 abe內部的概率等于 解析 由題意知 答案 2 2011 湖南高考 已知圓c x2 y2 12 直線l 4x 3y 25 1 圓c的圓心到直線l的距離為 2 圓c上任