2017_18學年高中數(shù)學第一講一2基本不等式同步配套教學案.docx

2基本不等式 對應學生用書P41基本不等式的理解重要不等式a2b22ab和基本不等式，成立的條件是不同的前者成立的條件是 a與b都為實數(shù)，并且a與b都為實數(shù)是不等式成立的充要條件；而后者成立的條件是a與b都為正實數(shù)，并且a與b都為正實數(shù)是不等式成立的充分不必要條件，如a0，b0仍然能使成立兩個不等式中等號成立的充要條件都是ab.2由基本不等式可推出以下幾種常見的變形形式(1)a2b2；(2)ab；(3)ab()2；(4)()2；(5)(ab)24ab. 對應學生用書P5利用基本不等式證明不等式例1已知a，b，cR，且abc1.求證：9.思路點撥解答本題可先利用1進行代換，再用基本不等式來證明證明法一：a，b，cR，且abc1，3332229.當且僅當abc時，等號成立即9.法二：a，b，cR，且abc1，(abc)()111332229.當且僅當abc時，等號成立9.用基本不等式證明不等式時，應首先依據(jù)不等式兩邊式子的結構特點進行恒等變形，使之具備基本不等式的結構和條件，然后合理地選擇基本不等式進行證明1已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證：(abcd)(acbd)4abcd.證明：因為a，b，c，d都是正數(shù)，所以0，0，所以abcd，即(abcd)(acbd)4abcd.當且僅當abcd，acbd，即ad，bc時，等號成立2已知a，b，c0，求證：abc.證明：a，b，c，均大于0，又b2 2a，c2 2b.a2 2c.(b)(c)(a)2(abc)即abc.當且僅當b，c，a，即abc時取等號.利用基本不等式求最值例2(1)求當x0時，f(x)的值域；(2)設0x0，y0，且1，求xy的最小值思路點撥根據(jù)題設條件，合理變形，創(chuàng)造能用基本不等式的條件，求最值解(1)x0，f(x).x2，0.0f(x)1，當且僅當x1時取“”即f(x)值域為(0,1(2)0x0.y4x(32x)22x(32x)22.當且僅當2x32x，即x時，等號成立y4x(32x)的最大值為.(3)x0，y0，1，xy(xy)1061016.當且僅當，又1，即x4，y12時，上式取等號故當x4，y12時，有(xy)min16.在應用基本不等式求最值時， 分以下三步進行：(1)首先看式子能否出現(xiàn)和(或積)的定值，若不具備，需對式子變形，湊出需要的定值；(2)其次，看所用的兩項是否同正，若不滿足，通過分類解決，同負時，可提取(1)變?yōu)橥?3)利用已知條件對取等號的情況進行驗證若滿足，則可取最值，若不滿足，則可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決3已知x0，則2x的最小值和取得最小值時的x值分別是()A8,2 B8,4C16,2 D16,4解析：2x28，當且僅當2x，即x2時，取“”號，故選A.答案：A4設x，yR，且滿足x4y40，則lgxlgy的最大值是()A40 B10C4 D2解析：x，yR，.10.xy100.lg xlg ylg(xy)lg 1002.答案：D5(浙江高考)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. BC5 D6解析：x3y5xy，5，x0，y0，(3x4y)942 1325，5(3x4y)25，3x4y5，當且僅當x2y時取等號3x4y的最小值是5.答案：C利用基本不等式解決實際問題例3某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2014年巴西世界杯期間進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3x與t1成反比例的關系，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2014年生產(chǎn)化妝品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需要投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完(1)將2014年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù)(2)該企業(yè)2014年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？思路點撥(1)兩個基本關系式是解答關鍵，即利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費；生產(chǎn)成本固定費用生產(chǎn)費用；(2)表示出題中的所有已知量和未知量，利用它們之間的關系式列出函數(shù)表達式解(1)由題意可設3x，將t0，x1代入，得k2.x3.當年生產(chǎn)x萬件時，年生產(chǎn)成本年生產(chǎn)費用固定費用，年生產(chǎn)成本為32x3323.當銷售x萬件時，年銷售收入為150%t.由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完，由年利潤年銷售收入年生產(chǎn)成本促銷費，得年利潤y(t0)(2)y50502 502 42，當且僅當，即t7時，等號成立，ymax42，當促銷費定在7萬元時，年利潤最大利用不等式解決實際應用問題時，首先要仔細閱讀題目，弄清要解決的實際問題，確定是求什么量的最值；其次，分析題目中給出的條件，建立y的函數(shù)表達式y(tǒng)f(x)(x一般為題目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有關知識解題求解過程中要注意實際問題對變量x的范圍制約6一商店經(jīng)銷某種貨物，根據(jù)銷售情況，年進貨量為5萬件，分若干次等量進貨(設每次進貨x件)，每進一次貨運費50元，且在銷售完該貨物時，立即進貨，現(xiàn)以年平均件貨儲存在倉庫里，庫存費以每件20元計算，要使一年的運費和庫存費最省，每次進貨量x應是多少？解：設一年的運費和庫存費共y元，由題意知：y502010x2104，當且僅當10x即x500時，ymin10 000，即每次進貨500件時，一年的運費和庫存費最省7.圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2 m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x(單位：元)(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用解：(1)如題圖所示，設矩形的另一邊長為a m.則y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x0)(2)x0，225x210 800.y225x36010 440，當且僅當225 x時，等號成立即當x24 m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10 440元 對應學生用書P71下列不等式中，正確的個數(shù)是()若a，bR，則若xR，則x222若xR，則x212若a，b為正實數(shù)，則A0B1C2 D3解析：顯然不正確；正確；對雖然x22無解，但x222成立，故正確；不正確，如a1，b4.答案：C2已知a0，b0，a，b的等差中項是，且a，b，則的最小值是()A3 B4C5 D6解析：ab21，a0，b0，ab115，當且僅當ab時取“”號答案：C3. “a1”是“對任意正數(shù)x,2x1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件解析：當a1時，2x2x2(當且僅當x時取等號)，所以a12x1(x0)，反過來，對任意正數(shù)x，如當a2時，2x1恒成立，所以2x1/a1.答案：A4某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站()A5千米處 B4千米處C3千米處 D2千米處解析：由已知：y1，y20.8x(x為倉庫到車站的距離)費用之和yy1y20.8x2 8.當且僅當0.8x，即x5時等號成立答案：A5若x0，則f(x)23x2的最大值是_，取得最值時x的值是_解析：f(x)23(x2)23410，當且僅當x2即x時取等號答案：106當x時，函數(shù)yx的最小值為_解析：因為x，所以x0，所以yx4，當且僅當x，即x時，取“”答案：7y(x0)的最小值是_解析：x0，yx1121.當且僅當x1時取等號答案：218已知a0，b0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明：(1)ab1，a0，b0，22244 48(當且僅當ab時，等號成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.9設x0，y0且xy4，要使不等式m恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍解：由x0，y0且xy4.得1，.當且僅當 時等號成立即y2x(x0，y0，y2x舍去)此時，結合xy4，解得x，y.的最小值為.m.m的取值范圍為.10某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示)(1)若設休閑區(qū)的長和寬的比x，求公園ABCD所占面積S關于x的函數(shù)S(x)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬應如