數(shù)學人教版八年級下冊數(shù)學活動——折紙做60度30度15度的角.docx

第十八章 數(shù)學活動 折紙做60，30，15的角 學校： 廈門集美中學 授課人： 秦沖 1、 教學目標 知識與技能：1、能折出60，30，15等特殊度數(shù)的角； 2、通過折紙活動，進一步加深對軸對稱、等腰三角形、等邊三角形性質(zhì)的理解； 過程與方法：探索折60、30、15的角，經(jīng)歷折疊、觀察、猜想、論證、交流、反思等數(shù)學活動過程，發(fā)展學生對幾何圖形的認識，引導學生從不同角度尋找解決問題的策略，培養(yǎng)學生動手能力、創(chuàng)新能力、合作意識； 情感與態(tài)度：在折紙活動中感受數(shù)學活動的樂趣，提高學生學習數(shù)學的興趣，發(fā)展學生對幾何圖形的認知能力、演繹推理能力，進一步提升數(shù)學活動經(jīng)驗。二、教學重難點 重點：讓學生學會折紙做60，30，15等特殊角，培養(yǎng)學生的動手能力，并在動手過程中培養(yǎng)學生思考探究的習慣，養(yǎng)成合作交流意識 ；難點：讓學生通過自己的嘗試和思考折出特殊度數(shù)的角。 3、 學情分析 學生經(jīng)過之前的學習，已經(jīng)初步掌握了平行四邊形相關的性質(zhì)和推理論證方法。本節(jié)內(nèi)容圍繞特殊的平行四邊形展開，通過折紙做特殊度數(shù)的角，再得到與之相應的一系列角度。本節(jié)課既有動手操作，又有一定的趣味性，還可以鞏固學生對矩形性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)等知識的理解運用，有效鍛煉學生的動手操作能力、觀察發(fā)現(xiàn)能力以及推理論證能力。四、教學過程（1） 創(chuàng)設情境，引入新課 折紙是一門藝術形式，動物、花、船和人等都是折紙的創(chuàng)作題材，在折的過程里要用到軸對稱等數(shù)學知識。怎么樣把生活中的折紙和數(shù)學結合起來呢？今天讓我們一起探究，走進折紙的世界。 （2） 提出問題，深度思考 課題引入：在沒有圓規(guī)、三角尺、量角器的情況下，又需要作60、30、15的角，怎么得到呢？本節(jié)課就來進行折紙活動，探索解決這一問題的途徑。 問題1 利用一張矩形的紙片，怎么折出一個45的角？ （學生分組折疊，學生很快會折出來，引導學生分析，得出結論：對折可以平分一個角。） 問題2 用矩形紙片還能折出哪些度數(shù)的角？ （從簡單的折紙游戲出發(fā)，提高學生課堂參與度，經(jīng)過學生的互相補充得出22.5、67.5、112.5等度數(shù)的角。由此引導學生發(fā)現(xiàn)上面的結論。此過程也讓學生感受折紙可以得到角的倍分關系。） 小結： 在折紙過程中，怎樣得到不同度數(shù)的角？ 1、通過對折平分一個角； 2、通過尋找余角或補角； 3、通過角與角的組合； 4、通過三角形或者四邊形內(nèi)角和。 （三）動手操作，實驗探究 問題3 你能試著用矩形紙片折出30角嗎？ （學生先折疊，交流、討論，再由各小組代表展示本小組折疊方法。） （1）方法引導： 直接折30角有難度，可以考慮間接獲得。 學生答：可以先用矩形紙片折60角，通過互余關系得到30角。 如何折60角？ 引導學生思考：等邊三角形中含有60角。 學生答：可以先折等邊三角形! （2）方法窺探 也就是如果折一個等邊三角形，問題就解決了，怎樣得到等邊三角形呢？（3）突破重難點MCDABN 引導學生發(fā)現(xiàn)可以先折等腰三角形：折疊紙片，使點A落在矩形紙片內(nèi)部某點N，折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM。 由折疊的軸對稱性可得AB=BN.因此ABN是等腰三角形。 由得到的等腰三角形，怎樣進一步折出等邊三角形呢？ （4）解決問題 （安排小組交流，利用幾何畫板進行動態(tài)演示。） 方法如右圖所示：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，D使點A 落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時，得到線段BN. 問題4 在右圖中，ABN是等邊三角形，（1）操作的依據(jù)是什么？ （請學生作答：垂直平分線的性質(zhì)定理） （2）觀察所得的ABM，MBN和NBC， 這三個角有什么關系？ （請學生思考并作答： ABM=NBM=NBC=30）（4） 引發(fā)猜想，理論驗證 （學生自主寫出證明過程） 已知：將矩形ABCD沿EF對折，折疊AB使點A落在折痕EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM.同時，得到了線段BN.證明：ABM=NBM=NBC=30. 證明：連接AN. 經(jīng)折疊，AB=BN，ABM=NBM， 且 EF垂直平分AB.D 點N 在線段EF上，AN=BN. AB=BN=AN， ABN是等邊三角形 ABN=60， NBC=30， ABM=NBM=30， ABM=NBM=NBC=30 思考：還能用什么樣的方法證明？（問題設計的目的在于讓學生對所學知識的清晰，能對知識間的練習融會貫通，體現(xiàn)數(shù)學學習的靈活性。）D（5） 繼續(xù)實踐，探索新知 （1）你能用矩形紙片折出15角嗎？ （學生自主折疊，請同學回答折疊方法并展示。） （2）60，120以及150角呢？ （請學生作答，其實答案就在折好圖紙中。） （3）還可以得到多少度的角？ （引導學生小組討論，得出結果） 小結：發(fā)現(xiàn)通過折30角的過程，可以同時產(chǎn)生15，45,60,75,105,120,135,150,165角，這些角都是15的倍數(shù)。 （6） 知識運用，解決問題（通過補充練習，鍛煉學生對所學知識的靈活運用能力）練1：如圖，面積為1的正方形ABCD中，M，N分別為AD、BC的中點，將C點折至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ那么，以PQ為邊長的正方形的面積等于多少？ 解：連接BP，PC. 正方形ABCD面積為1，則BC=1. 經(jīng)折疊，BP=BC=1，BPQ=C=90,PBQ=CBQ. 點M，N分別為AD、BC的中點， MN垂直平分BC. 點P在MN上，PB=PC. PB=PC=BP，BCP是等邊三角形 PBC=60，PBQ=CBQ=30. 在RtPBQ中，設PQ=,則BQ=，則， 得，以PQ為邊長的正方形的面積等于. FE練2：如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將ADM沿直線AM對折，得到ANMO（1）當AN平分MAB時，求DM的長；（2）連接BN，當DM=1時，求ABN的面積； 解：（1）經(jīng)折疊，DAM=MAN, 當AN平分MAB時，MAN=NAB， DAM=MAN=NAB， 又DAM+MAN+NAB=90， DAM=MAN=NAB=30. 在RtADM中，設DM=，則AM=，則 ，DM= . （2） 過點N作NECD于點E，過點N作NFAB于點F， 連接DN，交AM于點O. 經(jīng)折疊，AD=AN，MD=MN， 故AM垂直平分DN. 在RtADM中，ADDM=AMDO， 又AM=， DO=，DN=， 在RtAOD中，MO=， 在MND中，DNMO=DMEN， EN=，NF=3-=， . . H練3：如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把矩形紙片折疊，使點B剛好落在CD邊的中點E處，折痕為AF，若CD=6，求AF.解：經(jīng)折疊，AE=AB，AEF=B=90，BAF=EAF.CD=6，E為CD中點，ED=3，AE=AB=CD=6.在RtADE，中取AE中點H，連接DH. 則DH=AH=EH=3.DH=EH=ED，DEH是等邊三角形，DHE=60.D