詳解：2013年上海市新知杯試題.doc

詳解：2013年上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(新知杯)試題（考試時(shí)間：2013年12月8日9：00-11：00 滿分150分）大罕(王方漢)一、填空題：（每題10分）1.已知,，則= .分析：結(jié)果式子是對(duì)稱式，因此需要計(jì)算兩數(shù)之和與兩數(shù)之積+=，=，=.ABCDEFGHLJm1KIm2m3m4l1l 2l 3l 42.已知直線，直線，則 .分析：用割補(bǔ)法，把EHGF四條“邊”上的三角形移到ABCD四個(gè)“角”上，它們的面積相等 =，=，=，=，2+=120，60.3.已知A90 ，AB=6，AC=8，E,F在AB上，且AE=2，BF=3，過(guò)E作AC的平行線交BC于D，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于G，則GF= .ABCDEFG分析：GF在直角三角形AFG中，AF的長(zhǎng)已知，關(guān)鍵是求AG圖中有平行線，所以要用到平行線截得成比例線段定理解：在ABC中， ，=，而AC=8，,在AFG中， ，=，而，.在RtAFG中，=.4. 已知凸五邊形的邊長(zhǎng)為,，為二次三項(xiàng)式，當(dāng)或者x=+時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則= .分析： 為二次三項(xiàng)式，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，,是（凸）五邊形的邊長(zhǎng)，不妨把這條拋物線畫(huà)成開(kāi)口向上的，如圖不妨設(shè)+，依題有：+（=5是沒(méi)有作用的），這說(shuō)明拋物線的對(duì)稱軸是直線：,又，a1a2+a3+a4+a5x=(a1+a2+a3+a4+a5)/2xOyp(q)在x軸上，點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，即，=05. 已知一個(gè)三位數(shù)是35的倍數(shù)，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為15，則這個(gè)三位數(shù)是 .分析：數(shù)字之和為15，這說(shuō)明該三位數(shù)一定是3的倍數(shù)，又因?yàn)樵摂?shù)是35的位數(shù)，所以它一定是105的倍數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)735是唯一解6. 已知關(guān)于x的一元二次方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)a都有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 .分析:原方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)a都有實(shí)數(shù)根即對(duì)于任意實(shí)數(shù)a都成立，注意到要求的是m的取值范圍，而右邊有最小值0，故只須，7. 已知四邊形ABCD的面積為2013，E為AD上一點(diǎn)，BCE,ABE,CDE的重心分別是G1,G2,G3，那么G1G2G3的面積為分析：三角形三條中線的交點(diǎn)稱為重心重心的基本性質(zhì)是：重心到一邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)等于所在中線的據(jù)此，過(guò)點(diǎn)G1作BC的平行線，交BA于M，G1是BCE的重心，BM=BA，過(guò)點(diǎn)G2作BC的平行線，交BA于N，G2是ABE的重心，NA=BA，過(guò)點(diǎn)G2作BA的平行線，交AD于P，G2是ABE的重心，AP=AE，過(guò)點(diǎn)G3作BA的平行線，交AD于Q，G2是CDE的重心，DQ=DE，而G1G2G3的G2G3邊上的高=,ABCDG3G2G1ABCDG3G2G1EEMNPQG1G2G3的面積=四邊形ABCD的面積=.8.直角三角形斜邊AB上的高CD=3，延長(zhǎng)DC到P，使得CP=2，過(guò)B作BFAP，交CD于E，交AP于F，則DE= .ABCDEFP分析：本題涉及到直角三角形斜邊上的高，就要考慮射影定理，即，直角邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)；本題涉及到兩個(gè)角的兩邊分別垂直，就要考慮到這兩個(gè)角相等；既然有角相等，就要考慮相似三角形DBE=P，DBE =PAD，ADPEDB，二、解答題：（第9題、第10題15分，第11題、第12題20分）9已知BAC=90，四邊形ADEF是正方形且邊長(zhǎng)為1，求+的最大值分析：本題需從結(jié)論入手，如果按常規(guī)通分，那是死路一條于是考慮用特殊變形注意到正方形邊長(zhǎng)為1，即DE=EF=1，代入到前兩項(xiàng)的分子中，就成為比例式不妨一試：+=+=+=1+，因此，欲求+的最大值只需求BC的最小值而=這里需要用基本不等式和()嗎？ABCDEF試一試：(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)取得)，(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)取得)，等號(hào)取得的條件是一致的！只需要證實(shí)是常數(shù)即可考查含有和的兩個(gè)三角形，即BDE和EFC，它們是相似的！于是，BDEEFC，+=8， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)+，+的最大值是10.已知是不為0的實(shí)數(shù),求解方程組: 分析：可考慮兩式相減，得：，似乎越走越遠(yuǎn)可考慮兩式直接相乘，仍然得不到有益結(jié)果將兩式化成如下形式： 再將兩式相乘，得，注意到，立即可得：，代入（1）得：，這是很漂亮的結(jié)果！乘勝前進(jìn)：由可得，或11已知，,為整數(shù)且+=2013，求的最小值分析：既然且,為整數(shù)，那么我們就從試起，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)適合的當(dāng)時(shí)，取=-1,=1,，則有 +=-1+(-1)+1+1+2013=2013, =（-1）(-1) 112013=2013,以下證明時(shí)沒(méi)有適合條件的不妨設(shè),分兩種情況：當(dāng),均為正整數(shù)時(shí)：由=2013知，,均為2013的正約數(shù)，注意到2013=31161，欲+=2013且，則671，所以=671或2013，經(jīng)驗(yàn)算，n=2,3,4均不可能；當(dāng),中有負(fù)整數(shù)時(shí)：由=2013且可知，其中有且只有兩個(gè)負(fù)數(shù)，即0若n=4時(shí)，且= 2013，則2013=+=+2013，所以= -(+)這時(shí)2013的正約數(shù)是另外兩個(gè)負(fù)約數(shù)的和的絕對(duì)值，經(jīng)檢驗(yàn)是不可能的；若n=4，且2013，即0671，則無(wú)法使得+=2013成立；若，則由0和+=2013知，2013，這時(shí)2013的正約數(shù)是另外兩個(gè)負(fù)約數(shù)的和的絕對(duì)值，經(jīng)檢驗(yàn)是不可能的；若，由0知+02013，也是不合要求的綜上可知，的最小值為512已知