臨沂市中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)材料(十)全等三角形.doc

九年級二輪專題復(fù)習(xí)材料專題四：全等三角形、相似三角形【近3年臨沂市中考試題】1.（2016臨沂T25）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE=BF連接DE，過點(diǎn)E作EGDE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C（1）請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；（3）如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷2（2015臨沂T18）如圖，在ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，則_OBCDEA3.（2015臨沂T25）25（本小題滿分11分）如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.（1）請判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚€等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明；（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結(jié)論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷.4.（2014臨沂T25）DA問題情境：如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是EBC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分.探究展示：（1）證明：；MCB（2）是否成立？ABM圖2DEC（第25題圖）圖1若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.拓展延伸：（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明.【知識點(diǎn)】全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。全等三角形對應(yīng)邊上的高，中線相等，對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。1. 一般三角形全等的判定（1）邊邊 邊公理：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（“邊邊邊”或“SSS”）。（2）邊角公理：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“SAS”)。（3）角邊角公理： 兩個角和它們的夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角邊角”或“ASA”)。（4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角角邊”或“AAS”)。2.直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等（2）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(“斜邊、直角邊”或“HL”)相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的判定方法有：1.平行與三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似。3.如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相似。4.如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似。直角三角形相似判定定理1斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。2直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似?！疽?guī)律方法】證明兩三角形全等或相似基本方法步驟：1.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；2證明三角形全等首先找邊，然后再看三角形滿足怎樣的條件，還需要證明什么條件；3從題目中分析每個條件能導(dǎo)出什么新的條件，或者能組合成什么有幫助的條件。4從問題倒著思考，考慮回答這個問題需要什么條件，而這個條件是否在題目中出現(xiàn)，或者是否可以重新推理出來、或者是否運(yùn)用到什么定理、推論、公理、規(guī)律等。5.當(dāng)求兩線段之比時，通常構(gòu)造相似三角形得出對應(yīng)邊之比；6.當(dāng)出現(xiàn)如右圖形時，要考慮三角形相似和三角形全等； 7當(dāng)出現(xiàn)“中點(diǎn)+中點(diǎn)”時，要聯(lián)想到三角形中位線.【中考集錦】一、選擇題1.（2013貴州安順，5,3分）如圖，已知AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定ADFCBE的是：（ ）BDECA第3題AA=CBAD=CBCBE=DFDADBC 2. （2013河北，11，,3分）如圖4，菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，MEAD， NFAB. 若NF = NM = 2，ME = 3，則AN =A3B4C5 D63. （2013湖南湘潭，8，3分）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC上，連結(jié)AD、 AE.如果只添加一個條件使DAB=EAC，則添加的條件不能為ABD=CE BAD=AE CDA=DE DBE=CD4.（2013山東東營，10，3分）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值（ ）5.（2013西寧市，6，3分）使兩個直角三角形全等的條件是（ ）A一銳角對應(yīng)相等B兩銳角對應(yīng)相等ABCMC一條邊對應(yīng)相等D兩條邊對應(yīng)相等 6.（2013貴州貴陽，8，3分）如右圖，M是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一定點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，這樣的直線共有（ ）A1條 B2條 C3條 D4條7.（2013浙江臺州,10,3分）已知A1B1C1與A2B2C2的周長相等,現(xiàn)有兩個判斷：若A1B1= A2B2，A1C1=A2C2 則A1B1C1A2B2C2若A1=A2,B1=B2，則A1B1C1A2B2C2對于上述的連個判斷,下列說法正確的是（ ）A.正確錯誤 B. .錯誤正確 C. .,都錯誤 D. .,都正確8.（2013重慶A卷，9，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（ ）A5cm B6cm C7cm D8cm9. （2013哈爾濱，9，3分）如圖，在ABC中，M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則AMN的面積與四邊形MBCN的面積比為()BACDPEABCD10（2013廣西桂林，12，3分）如圖，已知邊長為4的正方形ABCD，P是BC邊上一動點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AP，作PEAP交BCD的外角平分線于E，設(shè)BP=x，PCE面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（ ）Ay=2x+1 By=x2x2 Cy=2xx2 Dy=2 x二、填空題1. （2013湖南婁底，12，3分）如圖，AB=AC，要使ABEACD，應(yīng)添加的條件是_.（添加一個條件即可） 第1題 第2題2. （2013天津，14，3分）如圖，已知C=D,ABC=BAD,AC與BD相交于點(diǎn)O，請寫出圖中一組相等的線段 .3. （2013黑龍江綏化，3，3分）如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，AC90，ABCD，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件 ，使得EABBCD。4 . （2013黑龍江農(nóng)墾牡丹江，13，3分）如圖，在ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件 使ABCACD.（只填一個即可）ABCED5. （2013浙江臺州,8,4分）如圖,在ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且,則的值為（ ）A.1B. 12C. 13D. 14 第4題 第5題6. （2013寧夏回族自治區(qū)寧，14，3分）ABC中，D、E分別是邊AB與AC的中點(diǎn)，BC4，下面四個結(jié)論：DE2；ADEABC；ADE的面積與ABC的面積之比為 14；ADE的周長與ABC的周長之比為 14；其中正確的有.（只填序號）7（2013浙江寧波，18，3分）如圖，等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)A，C在x軸上，BCA=90，AC=BC=，反比例函數(shù)的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D,E.當(dāng)時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為 8. （2011山西，11，2分）如圖，ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形若DE2，則AC的長為（ ）9.（2011貴州遵義，10，3分）如圖，在直角三角形ABC中（C900）,放置邊長分別3,4,的三個正方形，則x的值為（）10.(2013山東菏澤，14，3分)如圖所示，在ABC中，BC6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQCE時，EPBP_三、解答題ECABD1. （2013吉林，20，7分）如圖，在ABC中，ACB=90.延長AB至點(diǎn)D，使DB=AB，連接CD，以CD為直角作等腰三角形CDE，其中DCE=90，連接BE.（1）求證：ACDBCE；（2）若AC=3cm,則BE= cm. 2. 如圖，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90，D為AC邊上中點(diǎn)，過D點(diǎn)DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長3（2011陜西，18，6分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為BC上任意一點(diǎn)，連接AG，過B、D兩點(diǎn)分別作BEAG，DFAG，垂足分別為E、F兩點(diǎn)求證：ADFBAE4（2011山東煙臺，24，10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2（1）求證：ABBC；ABCDE（2）當(dāng)BEAD于E時，試證明：BEAECD5. （2013貴州銅仁，24，12分）如圖，AC是O的直徑，P是O外一點(diǎn)，連結(jié)PC交O于B，連結(jié)PA、AB，且滿足PC=50，PA=30，PB=18.（1）求證：PABPCA；（2）求證：AP是O的切線.【特別提醒】（1）根據(jù)相似三角形找對應(yīng)邊時，出現(xiàn)失誤找錯對應(yīng)邊，因此在寫比例式時出錯，導(dǎo)致解題錯誤信息；（2）在定理的實(shí)際應(yīng)用中，常常忽視“夾角相等”這個重條件，錯誤認(rèn)為有兩邊對應(yīng)比相等，再有一組角相等，就能得到兩個三角形相似。（3） 兩邊一對角(SSA)和三角(AAA)對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。答案：1、【答案】 B【考點(diǎn)解剖】本題考查了全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形常見判定方法是解題的關(guān)鍵。【解題思路】已知AE=CF，可知AF=CE；又AFD=CEB，即知道一組對應(yīng)邊相等，一組對應(yīng)角相等，因此添加的條件可以是任意一組對應(yīng)角，或是加一組對應(yīng)邊且保證已知的對應(yīng)角是夾角。2、【答案】B.【考點(diǎn)解剖】本題考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，找出與所求線段有關(guān)的相似三角形是解答本題的關(guān)鍵【解題思路】由菱形對角線平分一組對角可得到FAN=EAM，由“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”可得RtFANRtEAM，由“相似三角形對應(yīng)邊成比例”列出含有AN的比例式，解之即可.3、【答案】C【考點(diǎn)解剖】本題考查全等三角形的判定.，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【解題思路】本題主要是轉(zhuǎn)化為證明ABDACE，因?yàn)锳B=AC，所以BC，此時對四個選項(xiàng)逐一判斷，能否證明得到ABDACE即可.4、【答案】B【考點(diǎn)解剖】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理、正確運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例式是解題的關(guān)鍵5、【答案】D【考點(diǎn)解剖】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解答本題的關(guān)鍵6、【答案】C【考點(diǎn)解剖】本題考查相似三角形判斷，熟練運(yùn)用兩對角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判斷方法是解答此題的關(guān)鍵【解題思路】分兩種可能，（1）過點(diǎn)M作直線截AC，以M為頂點(diǎn)的角等于A=90或等于B，（2）過點(diǎn)M作直線截AB，以M為頂點(diǎn)的角等于A=90或等于C，因?yàn)檫^一點(diǎn)只有一條直線垂直于已知直線，所以以M為頂點(diǎn)的角等于A=90時的兩直線重合【解答過程】如圖，分別過點(diǎn)M作ABC三邊的垂線l1、l2、l3，易證此時分別形成的三角形均與原三角形相似，所以共3條7、【答案】D【考點(diǎn)解剖】考察全等三角形的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等量減等量差相等，證邊相等，及相似比等于周長比靈活應(yīng)用.【解題思路】由周長相等，A1B1= A2B2,A1C1=A2C2，得出第三邊也相等，從而得出三角形全等。由兩角對應(yīng)相等，證明三角形相似，由三角形的相似比等于周長比，得出相似比為1:1，證出三角形全等.【解答過程】A1B1= A2B2,A1C1=A2C2，A1B1+,A1C1+B1C1=A2C2+A2B2+ B2C2;B1C1= B2C2 A1B1C1A2B2C2（SSS）; A1=A2,B1=B2, A1B1C1A2B2C2 ， 由周長相等，得相似比為1，故A1B1C1A2B2C2.8、【答案】 B.【考點(diǎn)解剖】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到與已知線段和所求線段有關(guān)的相似三角形【解題思路】由平行四邊形的性質(zhì)可知ABCD，由此可證得AFEDCE，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解.9、【答案】 B【考點(diǎn)解剖】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，充分利用中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【解題思路】先由M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，確定出MN是ABC的中位線，從而得到MNAB，因此AMNABC，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，從而求出AMNC與ABC的面積比，再根據(jù)比例性質(zhì)可求得AMN的面積與四邊形MBCN的面積比.10、【答案】C【考點(diǎn)解剖】本題是一道立足正方形的動點(diǎn)問題，綜合考查了相似三角形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是“動中取靜”、抓住相似三角形的不變性建立PCE 的面積為y與BP長度的函數(shù)關(guān)系式【解題思路】過點(diǎn)E作EFBC，垂足為F，結(jié)合正方形的性質(zhì)可證BAP+APB=90，F(xiàn)PE+APB=90，得BAP=FPE，又B=PFE，可證ABPPFE，得關(guān)系式，由于CE為BCD的外角平分線，且EFBC，得ECF為等腰直角三角形，CF=EF，PF=PC+CF=PC+EF=4 x +EF，所以，得EF= x，從而得PCE面積為y=2xx2 二、填空題1、【答案】答案不唯一，如：C=BC=B或AEB=ADCAEB=ADC或CEB=BDCCEB=BDC或AE=ADAC=AB或CE=BE.【考點(diǎn)解剖】本題考查了一般三角形全等的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA.【解題思路】根據(jù)已知可知兩個三角形已經(jīng)具備S、A對應(yīng)相等，所以根據(jù)全等三角形的判定方法，可以添加一邊或一角都可以全等.2、【答案】AC=BD或BC=AD或OD=OC或OA=OB.【考點(diǎn)解剖】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握全等的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵【解題思路】先推ADBBCA，根據(jù)全等的性質(zhì)得AC=BD、BC=AD的關(guān)系，再推OA=OB，OC=OD.3、【答案】AECB（或EBBD或EBD90或EDBC等）【考點(diǎn)解剖】本題是一個條件開放性的問題，考查的是全等三角形的判定和分類的數(shù)學(xué)思想掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵【解題思路】按SAS、ASA、AAS、HL判定，添加缺少的邊和角即可4、【答案】本題答案不唯一，如ACDB或ADCACB或【考點(diǎn)解剖】本題主要考查相似三角形的判定方法，兩個相似三角形的判定方法有：（1）有個角相等的三角形；（2）兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等；（3）三邊對應(yīng)成比例【解題思路】從圖形可知，ABC和ACD有公共角A，因此運(yùn)用判定方法（1）（2），即只要在添加一對角相等或者添加兩夾邊對應(yīng)成比例即可5、【答案】13【考點(diǎn)解剖】本題考查了相似三角形的判斷定理及相似三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證相似以及相似比與面積比的關(guān)系?！窘忸}思路】根據(jù)比例式判定三角形哪兩組邊對應(yīng)成比例，觀察夾角是否相等？證出兩三角形相似，再由相似三角形面積比等于相似比的平方算出兩三角形的面積比，繼而推出三角形和四邊形的比.6、【答案】.【考點(diǎn)解剖】本題既考查了三角形的中位線，又考查了相似三角形，關(guān)鍵是要從三角形的中位線入手.【解題思路】由D、E分別是邊AB與AC的中點(diǎn)，知道DEBC，且DEBC，從而有ADEABC.7、【答案】（，）【考點(diǎn)解剖】本題將一次函數(shù)與反比例函數(shù)和相似結(jié)合在一起考查，屬于綜合題，難度適中【解題思路】由相似三角形的對應(yīng)角相等推知BDE的等腰直角三角形；根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)E（a，），D（b，），由雙曲線的對稱性可以求得ab=3；最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值【解答過程】解：如圖，BCA=90，AC=BC=2，反比例函數(shù)y=（x0）的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D，E，BAC=ABC=45，且可設(shè)E（a，），D（b，），C（a，0），B（a，2），A（2a，0），易求直線AB的解析式是：y=x+2a又BDEBCA，BDE=BCA=90，直線y=x與直線DE垂直，點(diǎn)D、E關(guān)于直線y=x對稱，則=，即ab=3又點(diǎn)D在直線AB上，=b+2a，即2a22a3=0，解得，a=，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，）8、分析：由題意知DE是等腰ABC的中位線，所以DEBC，DEBC， 因?yàn)镈E2，所以BC4又DEBC， 所以ADEABC，且相似比為過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M則MC2， 由點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，EFAM，所以FC1在EFC中， 因?yàn)檎叫蜠EFG的邊長是2，所以根據(jù)勾股定理得EC，所以AC9、x=7解：在直角三角形ABC中（C=90），放置邊長分別3，4，x的三個正方形，CEFOMEPFN，OE：PN=OM：PF，EF=x，MO=3，PN=4，OE=x-3，PF=x-4，（x-3）（x-4）=12，x=0（不符合題意，舍去），x=710、【答案】12【解答過程】如圖，當(dāng)CQCE時，延