1411立體幾何中的數量運算.doc

高中數學專題教學研習本資源由專人彭劍平整理，未經允許不得復制影印，資源僅供教師研習，歡迎批評指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（常考規(guī)律總結），Level C為競賽（拓展的課外知識）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 郵箱：anson_專題： 立體幾何中的數量運算考綱要求：內容ABC141 柱、錐、臺、球及其簡單組合體 142 柱、錐、臺、球的表面積和體積 基本框架：空間幾何體柱體棱柱圓柱正棱柱、長方體、正方體臺體棱臺圓臺錐體棱錐圓錐球三棱錐、四面體、正四面體直觀圖側面積、表面積三視圖體積長對正高平齊寬相等& 基本知識點（Level A）【1】多面體有關概念（1）多面體：由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面。多面體的相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱（2）多面體的對角線：多面體中連結不在同一面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線（3）凸多面體：把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側，這樣的多面體叫做凸多面體【2】棱柱（1）棱柱的分類： 按側棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側棱不垂直于底面）和直棱柱（側棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱 按底面邊數的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，（2）棱柱的性質： 棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等，直棱柱的各個側面都是矩形，正棱柱的各個側面都是全等的矩形 與底面平行的截面是與底面對應邊互相平行的全等多邊形 過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形【3】平行六面體（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體（2）幾類特殊的平行六面體：平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體（3）性質： 平行六面體的任何一個面都可以作為底面； 平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分； 平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和； 長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和【4】棱錐的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點至截面距離與棱錐高的立方比【5】正棱錐（1）定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐特別地，側棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體（2）性質： 正棱錐的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側高）也相等 正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內切圓的半徑）、側棱、側棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形【6】正多面體：（1）定義：每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數的凸多面體，叫做正多面體（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個面都是正三角形，正六面體的每個面都是正方形，正十二面體的每個面都是正五形邊【7】柱、錐、臺、球的結構特征1棱柱（1）掌握棱柱的定義、分類，理解直棱柱、正棱柱的性質（2）掌握長方體的對角線的性質（3）平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體這些幾何體之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及它們的特有性質（4）各側面的面積和思考：對于特殊的棱柱，又如何計算？（5），特殊的棱柱的體積如何計算？2棱錐（1）棱錐的定義、正棱錐的定義（底面是正多邊形，頂點在底面上的射影是底面的中心）（2）相關計算：各側面的面積和，3球的相關概念球的截面性質（重點），球面距離4正多面體掌握定義和正多面體的種數（是哪幾個？）【8】空間幾何體的三視圖和直觀圖（1）三視圖：正視圖：從前往后； 側視圖：從左往右；俯視圖：從上往下（2）畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等（3）直觀圖：斜二測畫法，使，所確定的平面表示水平平面（4）斜二測畫法的步驟： 平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸； 平行于軸的線長度變半，平行于，軸的線長度不變（5）用斜二測畫法畫出長方體的步驟： 畫軸； 畫底面； 畫側棱； 成圖（6）利用斜二測畫法畫出直觀圖與實際圖形面積比成關系_ 經典案例 有疑問隨時mail例：已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為 答案：【9】作截面的依據三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行【10】棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的立方比；相應小棱錐的的側面積與原棱錐的的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比【11】空間幾何體的表面積與體積名稱表面積（也稱全面積） 側面積體積棱柱棱錐各個面面積之和圓柱（柱體）圓錐（錐體）圓臺（臺體）球& 拓展知識點（Level B）【1】幾何體中數量運算導出結論數量運算結論涉及到幾何體的棱、側面、對角面、截面等數量關系及幾何性質1在長方體中體對角線長為，外接球直徑；棱長總和為；全(表)面積為，體積；體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則有，體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為，則有，2在正三棱錐中側棱長相等（側棱與底面所成角相等）頂點在底上射影為底面外心；側棱兩兩垂直（兩對對棱垂直） 頂點在底上射影為底面垂心；斜高長相等（側面與底面所成角相等）且頂點在底上在底面內頂點在底上射影為底面內心3在正四面體中設棱長為，則正四面體中的一些數量關系：全面積；體積；對棱間的距離；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內切球半徑；正四面體內任一點到各面距離之和為定值CBAA4在立方體中設正方體的棱長為，則體對角線長為，全面積為，體積，內切球半徑為，外接球半徑為，與十二條棱均相切的球半徑為，則：，且S 小結：立方體承載著諸多幾何體的位置關系特征，只要作適當變形，如切割、組合、扭轉等處理，便可產生新幾何體貌似新面孔，但其本原沒變所以，在求解三棱椎、三棱柱、球體等問題時，如果一般識圖角度受阻，不妨嘗試根據幾何體的結構特征，構造相應的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會有意想不到的效果5在球體中球是一種常見的簡單幾何體球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大小球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內的所有的點球面是到球心的距離等于定長（半徑）的點的集合球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面球面上兩點間的距離，是過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧長，計算球面距離的關鍵是“根據已知經緯度等條件，先尋求球面上兩點間的弦長”，因為此弦長既是球面上兩點間的弦長，又是大圓上兩點間的弦長球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關系是掌握球面上兩點、間的距離求法：（1）計算線段的長；（2）計算球心角的弧度數；（3）用弧長公式計算劣弧的長S 注意：“經度是小小半徑所成角，緯度是大小半徑的夾角” & 深化知識點（Level C）【1】幾個基本公式 （1）弧長公式：（是圓心角的弧度數，0）； 扇形面積公式：； （2）圓錐側面展開圖（扇形）的圓心角公式： （3）圓臺側面展開圖（扇環(huán)）的圓心角公式： 經過圓錐頂點的最大截面的面積為（圓錐的母線長為，軸截面頂角是）：【2】歐拉定理（歐拉公式） （簡單多面體的頂點數、棱數和面數)（1）各面多邊形邊數和的一半特別地，若每個面的邊數為的多邊形，則面數與棱數的關系：（2）若每個頂點引出的棱數為，則頂點數與棱數的關系：【3】四面體的相關性質1立體幾何中的四面體的類似性質對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質：四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內接球的球心；四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為；個面角之和為，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為2直角四面體有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形（在直角四面體中，記、分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內切球半徑及側面上的高）在直角四面體中，、兩兩垂直，令，則：（1）底面三角形為銳角三角形； （2）直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；（3）； （4）空間勾股定理：；（5）；（6）外接球半徑3等腰四面體對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形根據定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體（在等腰四面體中，記，體積為，外接球半徑為，內接球半徑為，高為），則有等腰四面體的體積可表示為；等腰四面體的外接球半徑可表示為；等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；4球的組合體（1）球與長方體的組合體長方體的外接球的直徑是長方體的體對