高三數(shù)學抽屜原理教案.doc

抽屜原理把八個蘋果任意地放進七個抽屜里，不論怎樣放，至少有一個抽屜放有兩個或兩個以上的蘋果抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則它是組合數(shù)學中一個重要的原理把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式形式一：證明：設把n1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于2（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ai2，則因為ai是整數(shù)，應有ai1，于是有：a1a2an111nn1這與題設矛盾所以，至少有一個ai2，即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素形式二：設把nm1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于m1（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有aim1，則因為ai是整數(shù)，應有aim，于是有：a1a2anmmmnm n個mnm1這與題設相矛盾 所以，至少有存在一個aim1高斯函數(shù)：對任意的實數(shù)x，x表示“不大于x的最大整數(shù)”例如：353，292，253，77，一般地，我們有：xxx1形式三：證明：設把n個元素分為k個集合A1，A2，Ak，用a1，a2，ak表示這k個集合里相應的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于n/k（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ain/k，于是有：a1a2akn/k+n/k+n/k k個n/kkn/kk(n/k)n a1a2akn這與題設相矛盾 所以，必有一個集合中元素個數(shù)大于或等于n/k形式四：證明：設把q1q2qnn1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個i，使得ai大于或等于qi（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有aiqi，因為ai為整數(shù)，應有aiqi1，于是有：a1a2anq1q2qnn q1q2qnn1這與題設矛盾所以，假設不成立，故必有一個i，在第i個集合中元素個數(shù)aiqi形式五： 證明：（用反證法）將無窮多個元素分為有限個集合，假設這有限個集合中的元素的個數(shù)都是有限個，則有限個有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設產生矛盾，所以，假設不成立，故必有一個集合含有無窮多個元素例題：400人中至少有兩個人的生日相同分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個不相同的生日，我們把366個不同的生日看作366個抽屜，400人視為400個蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同例題：邊長為1的正方形中，任意放入9個點，求證這9個點中任取3個點組成的三角形中，至少有一個的面積不超過1/8解：將邊長為1的正方形等分成邊長為的四個小正方形，視這四個正方形為抽屜，9個點任意放入這四個正方形中，據形式2，必有三點落入同一個正方形內現(xiàn)特別取出這個正方形來加以討論EFGD把落在這個正方形中的三點記為D、E、F通過這三點中的任意一點（如E）作平行線，如圖可知：SDEFSDEGSEFGh例題3：任取5個整數(shù)，必然能夠從中選出三個，使它們的和能夠被3整除證明：任意給一個整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r，r1，r2至少有一類包含所給個數(shù)中的至少兩個因此可能出現(xiàn)兩種情況：1某一類至少包含三個數(shù)；2某兩類各含兩個數(shù)，第三類包含一個數(shù)若是第一種情況，就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個數(shù)，其和也能被3整除綜上所述，原命題正確例題4：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為23的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經過同一點證明：如圖，設PQ是一條這樣的直線，作這兩個梯形的中位線MN這兩個梯形的高相等，它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|NH|點H有確定的位置（它在正方形一對對邊中點的連線上，并且|MH|NH|23）由幾何上的對稱性，這種點共有四個，即，圖中的H、J、I、K已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經過H、J、I、K這四點中的一點把H、J、I、K看成四個抽屜，九條直線當成9個蘋果，即可得出必定有3條分割線經過同一點例題5：某校派出學生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同證明：按植樹的多少，從50到100株可以構造51個抽屜，則個問題就轉化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里(用反證法)假設無5人或5人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有5人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(5051100)41530015301得出矛盾因此，至少有5人植樹的株數(shù)相同練習：1邊長為1的等邊三角形內有5個點，那么這5個點中一定有距離小于0.5的兩點2邊長為1的等邊三角形內，若有n21個點，則至少存在2點