數(shù)分第一章總練習(xí)答案.doc

總練習(xí)1、設(shè)為實數(shù),證明:(1)(2) 證 因為 所以2、設(shè)和都是上的初等函數(shù),定義,.試問和是否為初等函數(shù)?解:因為所以是由初等函數(shù)和經(jīng)四則運算和有限次復(fù)合而成的函數(shù),故是初等函數(shù).又因為所以也是由初等函數(shù)和經(jīng)四則運算和有限次復(fù)合而成的函數(shù),從而是初等函數(shù).3、 設(shè)函數(shù),求:.4、 已知,求.解: .5、 利用函數(shù)求解:a) 某系各班級推選學(xué)生代表,每5人推選一名代表,余額滿3人可增選1名,寫出可推選代表人數(shù)與班級學(xué)生數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系(假設(shè)每班學(xué)生數(shù)為人);b) 正數(shù)經(jīng)四舍五入后得正數(shù),寫出與之間的函數(shù)關(guān)系.解: (1) 因余額滿3人可增選1名,也就是說可在原來基礎(chǔ)上增加2人后取整,于是(2)由定義知.6、 已知函數(shù)的圖形,試作出下列各函數(shù)的圖形:(1);(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7)解:(1) 和的圖形關(guān)于軸對稱(2)和的圖形關(guān)于軸對稱(3) 和的圖形關(guān)于原點對稱(4) (5) =(6) (7) 它們的圖象如圖1-14-圖1-167、 已知函數(shù)f和g的圖象,試作出下列函數(shù)的圖形:(1)(2) 解 (1),(2)的圖形如圖1-17和圖1-188、 設(shè)f、g和h為遞增函數(shù)，證明：若，則.證 由題設(shè)條件，有，因而.9.設(shè)f、g為區(qū)間上遞增函數(shù),證明和都是上的遞增函數(shù).證 對任意的，由f、g在上遞增知，因之，.從而,即在上是遞增函數(shù).同理可證在上是遞增函數(shù).10.設(shè)為上的奇(偶)函數(shù),證明:若在上遞增,則在上遞增(減).證: 當(dāng)為奇函數(shù)時,對任意的,有,且.而,從而有,即,所以在上是遞增的.當(dāng)為偶函數(shù)時,類似地可以證明結(jié)論成立.11.證明:(1) 奇函數(shù)與奇函數(shù)之和仍為奇函數(shù);(2)偶函數(shù)與偶函數(shù)之和仍為偶函數(shù);(3)奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù);(4) 奇函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);(5) 偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù).證:只證(1)、(3)，其余可以類似地證明.設(shè),為上的奇函數(shù), ,為上的偶函數(shù).(1) 令,則對任意的,所以是上的奇函數(shù).(3) 令,則對任意的,所以是上的奇函數(shù).12.設(shè),為上有界函數(shù),證明:.證: 對任意,由于,所以,故 (1)由不等式(1)又有所以同理有對任意,由于,所以故 (2)由不等式(2)知所以即同理有13. 設(shè),為上有界函數(shù),且證明: 證: (1) 只證第一個和第三個不等式.由且,所以故同理可以證明(2) 第二個不等式顯然成立14.延拓定義在上的函數(shù)到整個實數(shù)軸上,使所得的函數(shù)為()奇函數(shù)()偶函數(shù).設(shè)(1)(2)解: (1)令則是奇函數(shù), 是偶函數(shù), 且都是延拓.(2)令則是奇函數(shù), 是偶函數(shù), 且都是延拓.注:一般地令,則是上的奇函數(shù), 是上的偶函數(shù), 且都是的延拓.15.設(shè)為定義在上以為周期的函數(shù).證明:若在上有界,則在上有界.證:因為在上有界,從而存在,對任意的,有.對任意的,