數(shù)學(xué)三年高考解析幾何匯編-答案.doc

2007-2009各地高考解析幾何解答題匯編（文科）（一） 以幾何度量立意弦長(zhǎng)、三角形面積、四邊形面積問題2008北京文19已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程(另見最值問題)解：（）因?yàn)?，且邊通過點(diǎn)，所以所在直線的方程為設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為由 得所以又因?yàn)檫吷系母叩扔谠c(diǎn)到直線的距離所以，（）設(shè)所在直線的方程為，由得因?yàn)樵跈E圓上，所以設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以又因?yàn)榈拈L(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即所以所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)，（這時(shí)）此時(shí)所在直線的方程為2007浙江文21如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記的面積為（I）求在，的條件下，的最大值；（第21題）（II）當(dāng)，時(shí)，求直線的方程（I）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為由，解得所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，S取到最大值1（）解：由得AB 又因?yàn)镺到AB的距離所以代入并整理，得解得，代入式檢驗(yàn)，0 故直線AB的方程是 或或或（二） 以點(diǎn)、線的位置關(guān)系立意垂直、中點(diǎn)、中垂線、對(duì)稱1. 垂直2. 線段中點(diǎn)（中點(diǎn)弦）3. 中垂線問題（三） 以符號(hào)化的形式立意向量問題2009全國(guó)II文22已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線L與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)L的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為.() 求a，b的值；() C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與L的方程；若不存在，說明理由 2008遼寧文21在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為（）寫出C的方程；（）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？解：（）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為 4分（）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故6分，即而，于是所以時(shí)，故8分當(dāng)時(shí)，而，所以2007海南寧夏文21在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心為，過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)（）求的取值范圍；（）是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由（四） 以直線與橢圓位置關(guān)系立意取值范圍問題2007海南寧夏文21在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心為，過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)（）求的取值范圍；（）是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解：（）圓的方程可寫成，所以圓心為，過且斜率為的直線方程為代入圓方程得，整理得直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)等價(jià)于，解得，即的取值范圍為（）設(shè)，則，由方程，又而所以與共線等價(jià)于，將代入上式，解得由（）知，故沒有符合題意的常數(shù)2007全國(guó)II文21在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線相切（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)使成等比數(shù)列，求的取值范圍解：（1）依題設(shè)，圓的半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，即得圓的方程為（2）不妨設(shè)由即得設(shè)，由成等比數(shù)列，得，即 由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故由此得所以的取值范圍為2007四川文21設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)（）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的作標(biāo)；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為作標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍解：（）易知，設(shè)則，又，聯(lián)立，解得，（）顯然不滿足題設(shè)條件可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，由，得又為銳角，又綜可知，的取值范圍是（五） 以函數(shù)性質(zhì)研究立意最值問題2009福建文22已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。（I）求橢圓的方程；（）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；（）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由. (另見存在性問題)解：（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又由得故又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值（）由（）可知，當(dāng)取最小值時(shí)， 此時(shí)的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線則由解得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2008北京文19已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程(另見最值問題)2008福建文22如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，且過點(diǎn).（）求橢圓C的方程；（）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M. （）求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；（）求面積的最大值.（）由題設(shè)，從而，所以橢圓C的方程為。（）（）解法一：由題意得。設(shè)則，。 與的方程分別為：。設(shè)，則有由，得。所以點(diǎn)M恒在橢圓C上。（）設(shè)AM的方程為，代入得。設(shè)，則有：。令，則，因?yàn)?，有最大?，此時(shí)AM過點(diǎn)F。AMN的面積有最大值。解法二：（）由題意得。設(shè)則，。 與的方程分別為： 由，得：當(dāng)時(shí)，。 由代入，得。當(dāng)時(shí)，由，得：解得 與矛盾。所以點(diǎn)M的軌跡方程為即點(diǎn)M恒在橢圓C上。2007陜西文22已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當(dāng)軸時(shí)，（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值2007全國(guó)I文22已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于B，D兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，C兩點(diǎn)，且，垂足為P（）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（）求四邊形ABCD的面積的最小值解：（）橢圓的半焦距，由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，故，所以，（）（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得設(shè)，則，；因?yàn)榕c相交于點(diǎn)，且的斜率為所以，四邊形的面積2008全國(guó)II文22設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)（）若，求的值；（）求四邊形面積的最大值 解：（）依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡(jiǎn)得，解得或6分（）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為， 9分又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分（六） 以推理方式立意存在性問題2009遼寧文22已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）.（1）求橢圓C的方程；（2）E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值解：（）由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 4分（）設(shè)直線方程：得，代入得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設(shè)（，），（，）因?yàn)辄c(diǎn)（1，）在橢圓上，所以。8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得，w.w.w.k。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值，其值為。 2008福建文22如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，且過點(diǎn).（）求橢圓C的方程；（）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M.（）求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；（）求面積的最大值.（另見最值問題）2007山東文22已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圖過橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)聯(lián)立得，則又因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)，即解得：，且均滿足當(dāng)時(shí)，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（七） 以研究手法立意圓的相關(guān)問題2009廣東文19已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).（1）求橢圓G的方程（2）求的面積（3）問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.解：（1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外， 若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.2008遼寧文20已知mR，直線l：和圓C：.（）求直線l斜率的取值范圍；（）直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓??？為什么？解：（）直線的方程可化為，此時(shí)斜率因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，斜率k的取值范圍是；（）不能.由（）知的方程為，其中；圓的圓心為，半徑；圓心到直線的距離由，得，即。從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對(duì)的圓心角小于。所以不能將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩端??；2007北京文19如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為點(diǎn)在邊所在直線上（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外接圓的方程；（III）若動(dòng)圓過點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程解：（I）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為整理得，（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，所以，即故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距所以虛半軸長(zhǎng)從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為2006北京文19橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程.解：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.() 解法一：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以 解得， 所以直線l的方程為即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)解法二：已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)G2009江西文22如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點(diǎn).（1）求圓的半徑;（2）過點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線與圓相切解: （1）設(shè)，過圓心作于,交長(zhǎng)軸于由得,即 (1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而點(diǎn)在橢圓上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為: (3)則,即 (4),解得將(3)代入得,則異于零的解為設(shè),，則則直線的斜率為：于是直線的方程為: 即則圓心到直線的距離 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故結(jié)論成立.2009天津文22已知橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且（）求橢圓的離心率（）直線AB的斜率；（）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)H(m,n)()在的外接圓上，求的值.解：（I）由，得,從而，整理得，故離心率 （II）解：由（1）知，所以橢圓的方程可以寫為設(shè)直線AB的方程為即由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得依題意， 而，由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得 (III)由（2）知，當(dāng)時(shí)，得A由已知得線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為直線的方程為，于是點(diǎn)滿足方程組由，解得，故當(dāng)時(shí)，同理可得 （八） 以結(jié)果形式立意軌跡問題2009福建文20已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1(I)求橢圓的方程;(II)若為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，（e為