小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何.doc

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何話題一吳正憲（北京教育科學(xué)研究院）王彥偉（北京東城區(qū)教師研修中心）張 杰（北京東城區(qū)教育研修學(xué)院）2011 版課標終于要公布了，新課標 修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何”這個領(lǐng)域的變化。 新課標在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個核心概念。主要有 空間觀念、 幾何直觀、 推理能力 等 。 空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。 更直觀的理解如下圖： 幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，探索思路預(yù)測結(jié)果。 案例：打電話 如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知 1 人，給你 3 分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜測一下。 下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設(shè)計方案。 通過這個數(shù)圖就把這個復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，很簡明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個圖本身，就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。 通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。 推理能力 的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。 通過對一線教師的訪談，查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個大話題。 討論話題： 1如何在觀察、操作中“認識圖形” 抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念？ 2如何以“圖形的測量”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，了解掌握測量的基本方法，并在具體問題中進行恰當?shù)墓罍y？從而發(fā)展 學(xué)生的空間觀念與推理能力？ 3如何通過“圖形的運動”探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質(zhì)的不同方法，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣？ 4如何通過學(xué)習(xí)“確定圖形位置”的方法，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力？ 話題一、圖形的認識抽象圖形特征，發(fā)展空間觀念 問題一、新的課程標準在圖形的認識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？ 這次新課標修訂后圖形的認識部分都包括哪些內(nèi)容？有什么新的變化？ 課標修訂前后立體圖形的認識部分內(nèi)容的對比： 修訂前 修訂后 第一 學(xué)段 （ 1 ）通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等 立體圖形 。 （ 2 ） 辨認從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡單物體的形狀。 參見例 1 （ 3 ）辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。 （ 4 ）通過觀察、操作， 能用自己的語言描述 長方形、正方形的特征。 （ 5 ）會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。 （ 6 ）結(jié)合生活情境認識角，會辨認直角、銳角和鈍角。 （ 7 ）能對簡單幾何體和圖形進行分類。 1. 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等 幾何體 。 2. 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體 （參見例 11 ）。 3. 能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。 4. 通過觀察、操作， 初步認識 長方形、正方形的特征。 5. 會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。 6. 結(jié)合生活情境認識角，了解直角、銳角和鈍角。 7. 能對簡單幾何體和圖形進行分類（參見例 20 ）。 第二 學(xué)段 （ 1 ） 了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點。 （ 2 ） 能區(qū)分直線、線段和射線。 （ 3 ）體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。 （ 4 ）知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。 （ 5 ）結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。 （ 6 ）通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，會用圓規(guī)畫圓。 （ 7 ）認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是 180 。 （ 8 ）認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。 （ 9 ）通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的 展開圖。 （ 10 ）能辨認 從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。 參見例 1 1 結(jié)合實例了解線段、射線和直線。 2體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。 3知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。 4結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。 5通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓 ，知道扇形， 會用圓規(guī)畫圓。 6認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是 180 。 7認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。 8能辨認 從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖 （參見例 32 ）。 9通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。 從這個表中可以看到，課表修訂前后在圖形的認識部分只有一些細小的變化，圖形與幾何這一模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形”為“圖形與幾何”；重提幾何直觀、推理能力、運算能力、邏輯思維能力，用詞更加規(guī)范，體現(xiàn)了課標的嚴肅。 的”圖形與幾何”第一、二學(xué)段仍分為四部分，具體表示有所變動，（ 1 ）圖形的認識，（ 2 ）測量，（ 3 ）圖形的運動（修改稿：圖形與變換），（ 4 ）圖形與位置。圖形的運動”強調(diào)了圖形的運動是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。運動也是一種基本的數(shù)學(xué)思想。第二學(xué)段的內(nèi)容標準刪除“兩點確定一條直線”和“兩條直線確定一個點”。 “圖形與幾何”領(lǐng)域，將幾何學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生生活的空間，強調(diào)空間和圖形知識的現(xiàn)實背景，從第一學(xué)段開始使學(xué)生接觸豐富的幾何世界。新標準突出用觀察、描述、制作、從不同的角度觀察物體、認識方向、制作模型等活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和圖形設(shè)計與推理（合情推理與演繹推理）的能力。 新標準在第二學(xué)段還增加了知道扇形這一內(nèi)容。扇形的認識，大綱（修訂版）教材作為選學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程標準中沒有認識扇形的要求。 認識扇形在課標修改稿中確實沒有做要求，但在 “ 統(tǒng)計與概率 ” 部分卻明確提出了通過實例認識扇形統(tǒng)計圖的內(nèi)容標準，考慮到知識的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學(xué)生認識扇形統(tǒng)計圖的需要，課標修訂稿在認識圓的基礎(chǔ)上，增加了初步認識扇形。 簡單說對圖形認識的要求主要包括兩個方面： 一是對圖形自身特征的認識。 二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認識。 在三個學(xué)段中，認識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從 “ 辨認 ” 到 “ 初步認識 ” ，再從 “ 認識 ” 到 “ 探索并證明 ” 。例如，對于長方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學(xué)段要求 “ 辨認 ” ；第二學(xué)段要求 “ 認識 ” ；第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開圖。 又如，對于平行四邊形，第一學(xué)段要求 “ 辨認 ” ；第二學(xué)段要求 “ 認識 ” ；第三學(xué)段要求 “ 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理 ” 。 再如，三角形內(nèi)角和的例子： 關(guān)于 “ 視圖 ” ，第一學(xué)段要求 “ 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體 ” ；第二學(xué)段要求 “ 能辨認從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖 ” ；第三學(xué)段要求 “ 會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體 ” 。 這種要求的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認識過程；也符合學(xué)生的認知特點，逐漸深入、循序漸進。 對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認識，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認識。第一學(xué)段的 “ 了解直角、銳角和鈍角 ” ；第二學(xué)段的 “ 體會兩點間所有連線中線段最短 ” ； “ 了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系 ” ； “ 了解 三角形兩邊之和大 于第三邊 ” ；第三學(xué)段的 “ 會比較線段的長短 ” ， “ 能比較角的大小 ” 等，都是對圖形大小關(guān)系的研究 。 點與直線的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等，是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；軸對稱、中心對稱、平移也反映了圖形與圖形之間的位置關(guān)系。 圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程內(nèi)容，全等研究的是圖形的形狀、大小關(guān)系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系；而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關(guān)系。 在兒童的不同學(xué)段上，形象思維的發(fā)展是有層次的，荷蘭范 . 希爾夫婦對學(xué)生幾何思維水平的研究說明了從直觀辨認到探索特征是兒童的對圖形的形象思維規(guī)律。他們將學(xué)生的圖形認知水平主要分為五級：水平 1 ：直觀化；水平 2 ：描述 / 分析；水平 3 ：抽象 / 關(guān)聯(lián)；水平 4 ：演繹 / 形式化推理；水平 5 ：嚴密 / 元數(shù)學(xué)。一二三水平在小學(xué)體現(xiàn)，四五水平是在中學(xué)體現(xiàn)的。這和我們課標的要求也是一致。 圖形認識的教學(xué)先明確兩點： 一是這部分內(nèi)容屬于圖形認識的哪個水平，前后繼知識各是什么； 二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個什么階段，要通過你的教學(xué)達到什么階段。 問題二、 小學(xué)階段對于 “ 圖形的認識 ” 這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個編排體系的？ 第一， 現(xiàn)在的教材，在圖形的認識當中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發(fā)展過程上看，實際上我們中國小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上個世紀 90 年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當時要改？因為當時很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力比較低，認識起來比較困難。這部分是個難點，分階段安排可以分散難點。 第二，實際上一個人是生活在三維空間當中，一個嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到的東西，實際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實物的模型的。那在這種情況之下，低年級孩子，剛開始初步的認識立體圖形是有可能的。 所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個長期的反復(fù)的積累的過程，不能一次到位。所以當時的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形?，F(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認，到第二學(xué)段要求是認識。 也就是 現(xiàn)在教材是 “ 體形體 ” 的混合螺旋編排結(jié)構(gòu) 問題三、 怎樣通過圖形的認識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？ 第一、通過對實物的觀察與操作認識圖形 第一學(xué)段要求 “ 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 、 “ 通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征 ” ；第二學(xué)段要求 “ 結(jié)合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系 ” 等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認識圖形，直觀地、整體地認識立體圖形和平面圖形。從對實物的觀察與操作過程中來認識圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)課程的目標要求。這樣的過程有助于學(xué)生發(fā)展能力，初步體會數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展積極的情感與態(tài)度。 人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球 都給我們以長方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗，學(xué)生可以從認識立體圖形開始， “ 通過實物和模型等辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 。 “ 辨認 ” 是認識的低級階段，但與以往的經(jīng)驗有所不同，它要經(jīng)歷從實物到幾何圖形的抽象過程。 從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球的表面，抽象出長方形、正方形、圓等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學(xué)生的認知特點。 第二學(xué)段要求 “ 結(jié)合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系 ” 。射線和直線涉及到了無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實中沒有 “ 直線 ” 的實物原型，這就需要學(xué)生進行抽象與想象。認識線段要容易一些，因為現(xiàn)實生活中有 “ 線段 ” 的實物原型。 類似的，學(xué)生理解兩條直線平行的位置關(guān)系也比較困難，可以利用兩根鐵軌作為實物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生發(fā)展抽象能力和空間觀念。 第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念 新教材內(nèi)容編排上增加了 “ 視圖和投影、展開與折疊 ” 等內(nèi)容。 視圖和投影，過去小學(xué)沒有，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何和圖形當中，增加了觀察物體，這部分在課標上有兩個要求。 第一個學(xué)段的要求是根據(jù)具體事物照片或直觀圖，辨認從不同角度觀察到的簡單物體的形狀，這是辨認。很多教材里面是這樣，有的是拿個實物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。 第二個學(xué)段的要求能辨認從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到物體的形狀圖，這個形狀圖實際上就是一個平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個投影，也就是拍照。 例如 拍照的結(jié)果，雖然不是真正意義上的視圖，但是它的確實現(xiàn)了，把三維空間向二維空間的一個轉(zhuǎn)化的過程，這是過去小學(xué)沒有的，現(xiàn)在有了，這兩個階段的目標要達到，就為第三學(xué)段的正式的視圖和投影打下比較好的基礎(chǔ)。 “折疊”和“展開”，過去教材也有，長方體、正方體、圓柱體的展開圖。但是這個做法現(xiàn)在要加強，而且在進行折疊和展開當中，操作過程，必須要通過兒童的想象，這個過程本有什么實際意義呢？這是讓孩子們認識到，立體圖形的結(jié)構(gòu)和展開圖之間的這種對應(yīng)關(guān)系。怎么讓他來認識這個對應(yīng)關(guān)系呢？ 例如，“正方體展開圖”課例。 通過課例可以看到，孩子可以折一折，通過操作找到結(jié)果；也可以不折，先想一想，我們提倡先想象，再動手驗證，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的空間想象力，促進空間觀念的形成。 讓學(xué)生操作的時候，它不是一個簡單的操作，首先得想象一下，可能會是什么樣子，然后再通過操作，去驗證自己的想法，而這個過程，學(xué)生參與這個想象，包括動手操作，包括把這個過程表現(xiàn)出來，是非常重要的。 讓學(xué)生的這種想象也好，操作也好，實際上進一步理解，我們講三維和兩維之間的這樣一種關(guān)系，就是你講的對應(yīng)關(guān)系，是經(jīng)歷了下面過程。 “ 認識長方體、正方體和圓柱的展開圖 ” ，體現(xiàn)了三維圖形與二維圖形之間相互轉(zhuǎn)換的具體要求，目標是在圖形轉(zhuǎn)換中引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、想象，發(fā)展空間觀念。教學(xué)中應(yīng)注重展開與折疊的操作過程，通過想象實現(xiàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生記憶展開圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。 認識圖形過程中大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生空間觀念教學(xué)中應(yīng)當予以充分的重視。 話題二、 圖形的測量滲透度量意識，掌握測量方法 一、如何以“圖形的測量”為載體，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，滲透度量意識。 （一） 使學(xué)生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性 在教學(xué)長度單位的認識時，經(jīng)常有老師問為什么要講統(tǒng)一單位？原來的教學(xué)中學(xué)生就是直接認識長度單位，學(xué)習(xí)度量單位有什么價值？下面以人教版教材為例談一談：二年級學(xué)生第一次學(xué)習(xí)長度單位，教材呈現(xiàn)的例 1 ，并沒有上來就認識厘米，而是創(chuàng)設(shè)了一個活動的情境：讓學(xué)生測量數(shù)學(xué)書封面，有的學(xué)生用兩個硬幣或者兩個三角形，兩個曲別針進行測量。這個活動使學(xué)生感受用不同的測量工具，測量出不同的物體長度。然后例 2 是開始學(xué)習(xí)厘米的認識。 標準在第一學(xué)段要求“結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性?！?這種要求對面積、體積的單位也同樣適用。 度量單位是度量的核心，度量單位的統(tǒng)一是使度量從個別的、特殊的測量活動成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應(yīng)用和交流的前提。因此，在課程的實施過程中，應(yīng)該為學(xué)生提供必要的機會，鼓勵學(xué)生選擇不同的方法進行測量，并在相互交流的過程中發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)不同的方法，不同單位的選擇對測量結(jié)果的影響，進而體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。 例如， 海淀區(qū)中關(guān)村三小 鮑海影 老師執(zhí)教的厘米的認識一課，學(xué)生在活動中充分體會了統(tǒng)一度量單位的重要性。 鮑 老師創(chuàng)設(shè)了一個情境，先鼓勵學(xué)生采用不同的辦法去測量相同的長度，有的學(xué)生用手量，有的用自己的鉛筆量，還有可能用自己桌上的橡皮去量，由于采用了不同的測量工具，所得的結(jié)論，當然是不同的了。比如說，有的同學(xué)測量的是三扎長，有的同學(xué)可能測量的是五根鉛筆這么長，還有的同學(xué)測量的是 15 塊橡皮那么長。 學(xué)生通過交流發(fā)現(xiàn)，當同學(xué)們你說你的結(jié)果，我說我的結(jié)果，彼此間就無法交流。通過這個活動讓學(xué)生深刻地體會到度量單位需要統(tǒng)一，否則它會給生活帶來不便。 這時，學(xué)生有一個共同的心里需求，即要使測量結(jié)果讓大家都接受，就必須要有一個公認的標準單位。學(xué)生產(chǎn)生了這種需求，然后再來學(xué)習(xí)長度單位。 建立標準度量單位，有助于學(xué)生從知識本身的邏輯體系出發(fā)，對建立標準單位的意義有客觀地認識。教材這樣編排，不僅突出了統(tǒng)一單位的重要性，也體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，揭示了度量單位是怎么發(fā)生發(fā)展，又是怎么推動社會的前進的。 2011 版數(shù)學(xué)課程標準特別強調(diào)，要結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式，測量物體長度的過程，讓學(xué)生去體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。所以教師在教學(xué)實踐中，應(yīng)該堅持把讓學(xué)生體會了統(tǒng)一度量單位的重要性這個環(huán)節(jié)設(shè)計好，讓學(xué)生經(jīng)歷完整“度量單位”的從形成到產(chǎn)生的過程。 由此看來， 關(guān)于讓學(xué)生體會建立統(tǒng)一的度量單位的重要性，不僅要在長度的測量中給予關(guān)注，在面積和體積的測量中，仍要讓學(xué)生去感受。 （二）使學(xué)生理解與把握度量單位的實際意義，對測量結(jié)果有很好的感悟 標準在第一學(xué)段要求“在實踐活動中，體會并認識長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進行簡單的單位換算，能恰當?shù)剡x擇長度單位”。 進行單位之間的換算，不能靠機械地記憶換算公式和反復(fù)操練，而是要能夠體會單位之間的實際關(guān)系，這就涉及到了對單位的理解。長度（類似的，面積、體積） 單位不僅僅是一個抽象的概念，對它的體會和認識應(yīng)當通過實踐活動，體驗它的 實際意義。 例如，生活中哪些物體的長度大約為 1 米 ， 1 厘米 的長度可以用什么熟悉的 物體來估計，哪些物體的重量大約是 1 千克 ，哪些物體的體積大約是 1 立方米等。 對單位的實際意義的理解，還體現(xiàn)在對測量結(jié)果、對量的大小或關(guān)系的感悟。關(guān)于對度量單位的認識，要結(jié)合實際例子體會度量單位的大小，比如，一個成人的身高為 175 （ ），應(yīng)當選擇 cm 而不是 mm 作為單位，這是對認識長度單位地深化理解。 再如“北京到南京的鐵路長約 1000 （ ）”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會選擇合適的度量單位；要用實物感知度量單位的大小，如“ 一米 約相當于（ ）根鉛筆長”，強化學(xué)生對度量單位地感知；還應(yīng)關(guān)注不同維度度量單位之間的聯(lián)系，例如，理解 1 平方分米 =100 平方厘米，可以借助圖形（ 10 10 的方格，每個方格為 1 平方厘米），也可以借助等式 1 平方分米 =1 分米 1 分米 = 10 厘米 10 厘米 =100 平方厘米，避免學(xué)生死記硬背單位之間的換算關(guān)系。 總之，在具體的問題情境中恰當?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進行測量測量是從人類的生產(chǎn)、生活實際需要中產(chǎn)生的，學(xué)習(xí)測量的目的是為了實際的應(yīng)用。在明確實際測量的對象后，選擇恰當?shù)亩攘繂挝?、測量工具及方法關(guān)系到測量能否方便、可操作地進行、影響著測量結(jié)果的準確程度。比如，用直尺測量黑板的長度是不錯的選擇，用它測量一棟大樓的長度就不是上策了學(xué)生只有在親身實踐中才能積累選擇度量單位、測量工具和具體方法的經(jīng)驗。 二、 如何幫助學(xué)生在圖形測量過程中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法 ， 積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗， 培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念 。 關(guān)于規(guī)則圖形的度量公式， 標準要求探索并掌握長方形、正方形的周長公式；探索并掌握長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題；探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法，并能解決簡單的實際問題。 標準還要求探索不規(guī)則圖形的周長、面積、體積。例如，測量簡單圖形的周長、會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積、體驗?zāi)承嵨铮ㄈ缤炼沟龋w積的測量方法等，通過這樣的測量，學(xué)生不僅能進一步加深對度量意義的理解，而且能在運用所學(xué)知識解決問題的過程中，體會學(xué)科之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思想（如微積分的思想）。 同時，課程內(nèi)容要反映數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法。 數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是基礎(chǔ)知識的靈魂，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。 那么，在教學(xué)圖形測量這部分內(nèi)容時，如何滲透數(shù)學(xué)思想呢？下面結(jié)合一些具體案例來闡述。 1. 以圖形測量公式推導(dǎo)為載體，讓學(xué)生在操作、實踐中感悟“轉(zhuǎn)化”、 “極限”、“函數(shù)”和“積分”的數(shù)學(xué)思想。 在直邊圖形公式的推導(dǎo)過程中，教師經(jīng)常讓學(xué)生利用學(xué)具進行操作活動，將新圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的已知圖形，從而找到新舊兩個圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，推導(dǎo)出計算公式，在這個過程中巧妙地滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 圓是第一、二學(xué)段學(xué)習(xí)的平面圖形中唯一的一個曲線圖形，是學(xué)生第一次了解這個無理數(shù) , 是學(xué)生第一次正式接觸并運用極限的數(shù)學(xué)思想來解決曲線的長度和圓形的面積等問題，因此對圓的周長以及面積的探索具有一定的挑戰(zhàn)性，這個過程的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會 ” 轉(zhuǎn)化 ” 、“極限”和“函數(shù)”的思想。 案例 1 ：圓的周長公式的推導(dǎo) 化曲為直 - 轉(zhuǎn)化思想 我們只需得到圓的周長和直徑有什么關(guān)系就可以了，那么我們又該怎樣研究周長與直徑的關(guān)系呢？ 老師給每組同學(xué)準備了不同的實物：有圓紙片、紙杯或硬幣。 拿出來，就你們小組的實驗材料，誰來說說怎樣得到我們所需要的數(shù)據(jù)（尤其是周長的數(shù)據(jù)）？（討論）為什么要繞線？為什么要滾動？（化曲為直） 活動二： 在圓的周長教學(xué)中，向?qū)W生介紹 “ 割圓術(shù) ” ，讓學(xué)生經(jīng)歷正多邊形到圓的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察體驗，隨著邊數(shù)越來越多，正多邊形越來越像圓，感受極限思想。 然后又化曲為直： 割之彌補，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。 活動三： 測量尋找周長與直徑的關(guān)系 - 函數(shù)思想 在測量圓的周長和直徑填寫數(shù)據(jù)的過程中，感受直徑變，圓的大小變，周長也隨之變化，而它們的倍數(shù)關(guān)系不變，從而讓學(xué)生體會到函數(shù)思想。 通過課件形象直觀的演示周長和直徑的關(guān)系，體會函數(shù)思想。 案例 2 ：圓的面積公式的推導(dǎo) 圓面積的探究活動 活動設(shè)計 : 學(xué)生利用手中學(xué)具，獨立探究，小組合作，探索圓面積的計算方法。 核心問題：給學(xué)生提供幾張圓形的紙片，小組合作探究，如何計算圓的面積？ 這一活動的設(shè)計，給了學(xué)生充分的探究空間。通過對學(xué)生情況的把握，以及學(xué)生所經(jīng)歷的前面一系列認識和周長的教學(xué)活動，可以充分相信學(xué)生有自主探究的能力。通過 圓面積的探究活動，使學(xué)生在親身經(jīng)歷中體會轉(zhuǎn)化的研究方法和極限的重要數(shù)學(xué)思想。 圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形 - 轉(zhuǎn)化思想 ( 課件演示 ) 通過以上案例地分析，可以看出，數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是基礎(chǔ)知識的靈魂，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。同時在度量圖形的過程中組織學(xué)生進行大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。 掌握規(guī)則圖形的周長、面積和體積公式，仍然是圖形測量內(nèi)容的重要方面，以往我們的教學(xué)將主要精力放在套用公式進行計算上，以至于將這部分內(nèi)容簡單地處理為計算問題。實際上，對于規(guī)則圖形周長、面積和體積公式的探索和應(yīng)用，不僅有利于學(xué)生靈活運用多種策略和方法解決實際問題，并且對于學(xué)生認識圖形的特征和圖形間的相互關(guān)系，發(fā)展空間觀念也是大有好處的。 學(xué)生在操作活動中，經(jīng)歷探索從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，在體驗解決問題方法多樣性的過程中創(chuàng)新意識也得到發(fā)展。 三、如何在圖形測量的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的估測意識和能力，體驗解決問題方法的多樣性。 估測或估計是標準突出強調(diào)的內(nèi)容。估測或估計，既是一種意識的體現(xiàn)，也是一種能力的表現(xiàn)；不僅具有現(xiàn)實的意義，而且也有助于學(xué)生感受度量單位的大小。 估測與精確測量之間有著密切的關(guān)系。生活中精確測量的結(jié)果有時需要用估計的辦法來感受，對事物進行估計時則需要對度量單位很好的認識與把握、對圖形度量知識的掌握，以及需要具有一定的空間觀念。 估測的意識和能力是在實踐中發(fā)展起來的。 標準要求“能估測一些物體的長度，并進行測量”， 并給出具體的實踐任務(wù) “測量并計算一張給定正方形紙的面積，利用結(jié)果估計課桌面的面積；測量步長，利用步長估計教室的面積”。 這樣，把測量與面積計算有機地結(jié)合起來，有利于學(xué)生體會估測的作用以及估測的方法。 標準還要求探索不規(guī)則圖形的周長、面積、體積。例如，測量簡單圖形的周長、會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積、體驗?zāi)承嵨铮ㄈ缤炼沟龋w積的測量方法等。 教材在學(xué)生積累了足夠的實際測量經(jīng)驗后，為學(xué)生提供了先估測再實測的練習(xí)，讓學(xué)生比較估測與實際測量所得結(jié)果的差別，從而修正自己的估測策略。 案例 : 測量不規(guī)則圖形的面積 圖中每個小方格為 1 個面積單位，試估計曲線所圍成的面積。 如圖一 : 教師們對此題目并不陌生，解決這個問題通常的做法是數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個整格，再數(shù)一數(shù)有幾個半格，把不滿整格的進行整合 , 最后累加起來 , 用此方法估計不規(guī)則圖形的面積。這是我們常用的方法。但是這種估算不規(guī)則圖形面積的方法并沒能體現(xiàn)估算的價值，此題還可以挖掘更豐富、更深刻的內(nèi)涵。充分體現(xiàn)該題的數(shù)學(xué)教育價值。 教學(xué)時教師可以幫助學(xué)生事先做好規(guī)劃，鼓勵學(xué)生運用不同的方法估計圖形的面積。例如，教學(xué)中教師可以啟發(fā)學(xué)生首先觀察圖形，再進行思考“你認為曲線所圍成的面積結(jié)果可能會在那個范圍之間呢？你能用已有的經(jīng)驗來解決這個問題嗎？” 教師可以引導(dǎo)學(xué)生試一試。首先選擇好用來估計的“單位”即：以圖形中的一個小方格為一個單位。再找出曲線圍成圖形面積的上界和下界。學(xué)生可以這樣操作，先數(shù)出曲線圍成圖形內(nèi)包含的完整小方格數(shù)，用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的下界（有 75 個這樣的單位）；然后再數(shù)出曲線圍成圖形邊緣接觸到的所有的小方格數(shù)，也用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的上界（有 113 個這樣的單位）。進一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第一種方法估計的比實際面積小，第二種方法估計的比實際面積大，實際的面積是在這兩個數(shù)之間。 由此確定曲線圍成圖形面積可能的取值范圍。 如圖二： 在此基礎(chǔ)上教師可以鼓勵引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法進行估計，通過記錄、計算、比較的探究過程，體會估算的意義和方法。 教師繼續(xù)追問“那么還有什么方法能使估算的結(jié)果更接近實際面積的嗎？ 試一試！ ” 對學(xué)有余力的學(xué)生無疑是提出了更富有挑戰(zhàn)性的問題。引導(dǎo)學(xué)生將所有的方格等分成更小的方格，繼續(xù)利用上面的經(jīng)驗，探索出更接近實際面積的估計值，同時巧妙地滲透極限思想。 如圖三 : 以往我們在教授“數(shù)方格”時，沒能充分體現(xiàn)估算的學(xué)習(xí)價值，只是把估算當成一個操作技能數(shù)方格（知識點）去教了，為了教估算而估算。上面“尋找區(qū)間”的設(shè)計則注重了學(xué)生估算意識和方法的培養(yǎng)，特別是選擇合適的估計“單位”是引導(dǎo)學(xué)生進行有效估算的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生體驗逐漸逼近的極限思想。教學(xué)過程中教師要注重幫 助學(xué)生養(yǎng)成事先做好規(guī)劃的習(xí)慣，啟發(fā)學(xué)生運用不同的方法估計圖形的面積。 通過對 上界、下界的確定，幫助學(xué)生尋求取值范圍，找到合適的區(qū)間。這個上界、下界的確定，對學(xué)生體驗估算是很有意義的。這是真正意義上估算價值的體現(xiàn)。 特別是通過教師引導(dǎo)學(xué)生將 方格等分成更小的方格，使估計值更 逼近準確值，從中滲透“極限”的數(shù)學(xué)思想。這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有意義的。 最后回顧一下“圖形的測量”中的幾個核心理念： 1. 使學(xué)生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性； 2. 使學(xué)生理解與把握度量單位的實際意義，對測量結(jié)果有很好的感悟； 3. 在具體的問題情境中恰當?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進行測量； 4. 重視估測及其簡單應(yīng)用； 5. 幫助學(xué)生在圖形測量活動中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)空間觀念。 話題三、圖形的運動體會研究方法，增加直觀能力 一、為什么要在小學(xué)階段增加“ 圖形的運動 ” 這個內(nèi)容？ 2011 版數(shù)學(xué)課程標準在“圖形與幾何” 領(lǐng)域仍然增加了“平移，旋轉(zhuǎn)，放大與縮小這些內(nèi)容”，只是把“圖形與變換”改為“圖形的運動”。為什么仍然保留這個內(nèi)容，學(xué)習(xí)它的價值是什么？ 運動是世間萬物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式。所謂圖形的運動，在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化（合同運動）；二是形狀不變而大小變化（相似運動）。 1. 從學(xué)生角度來看 現(xiàn)實生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗，例如，電梯、地鐵列車在平行移動；鐘面指針、自行車輪、電風(fēng)扇葉片在旋轉(zhuǎn)運動；許多年畫、卡通動物、建筑物的形狀具有對稱性。這些現(xiàn)象為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實背景。我們希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認識和把握這些現(xiàn)象。通過圖形的運動探索發(fā)現(xiàn)并確認圖形的一些性質(zhì)，有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的興趣、體會研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法。 2從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看 1872 年，德國大數(shù)學(xué)家克萊茵發(fā)表 “愛爾蘭根綱領(lǐng)”的演說，這個里程碑式的論斷，改變了近兩千年來人們用靜止的觀點研究幾何的傳統(tǒng)方法。與靜態(tài)地研究圖形與幾何的性質(zhì)不同，圖形的變換是從運動變化的角度去探索和認識圖形與幾何的性質(zhì)，欣賞與設(shè)計圖案。是發(fā)展學(xué)生空間觀念和思維能力的重要內(nèi)容。 二、 第一、二學(xué)段關(guān)于“圖形的運動”相關(guān)知識內(nèi)容有哪些？ 教學(xué)目標分別是什么？ 按照標準的要求，小學(xué) 1-6 年級圖形的運動主要涉及平移、旋轉(zhuǎn)、對稱及簡單的圖形相似這樣一些內(nèi)容。在第一、二學(xué)段中圖形的運動主要是合同運動，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱。 第一學(xué)段中，學(xué)生借助日常生活中對圖形運動現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱；并認識兩個圖形具有平移或 軸對稱的關(guān)系。提供大量的豐富的圖形運動現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生充分地觀察、想象，運用日常生活中已經(jīng)積累的有關(guān)經(jīng)驗，歸納、發(fā)現(xiàn)各種運動的特點，是達成這個課程目標的有效途徑。 2011 版數(shù)學(xué)課程標準提倡我們組織學(xué)生分組收集日常生活中常見的圖形（如案例 21 ）生活中的軸對稱圖形。 引導(dǎo)學(xué)生觀察它們是否有對稱軸，若有對稱軸，數(shù)出或說出有幾條對稱軸。嘗試畫出它們的對稱軸。在課堂中展示交流大家的發(fā)現(xiàn)，并嘗試設(shè)計出一些軸對稱圖形。 這個活動可以鼓勵學(xué)生主動觀察，設(shè)法收集（如可以使用數(shù)碼相機或現(xiàn)場素描等）。學(xué)生可以結(jié)合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找到他們熟悉的圖形對象中隱藏的對稱軸，并在交流過程中豐富自己的經(jīng)驗。在交流大家收集到的圖形的基礎(chǔ)上，教師進一步鼓勵學(xué)生自己設(shè)計軸對稱圖形，并交流自己圖形所表達的意思。 第二學(xué)段中，圖形的運動的課程內(nèi)容及要求主要有以下幾個方面： （ 1 ）按要求在方格紙上畫出一個圖形經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，會補全一個軸對稱圖形。 圖形的運動對小學(xué)生的認識來說，是比較抽象的，有一定難度。如果把抽象的空間意識轉(zhuǎn)化為具體的、容易操作的教與學(xué)的過程，方格紙起到很好的作用。在第一、二 學(xué) 段，方格 紙 是 學(xué) 生 認識圖形運動很好的平臺，利用它可以準確地描述圖形位置、定量刻畫圖形的運動，這樣的描述和刻畫又能加深學(xué)生對圖形運動的認識和理解。 標 準只要求圖形沿水平或豎直方向平移、圖形繞著一點旋轉(zhuǎn) 90 。如，“在方格紙上認識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90 ”。標準不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點旋轉(zhuǎn)任意角度。方格紙能幫助學(xué)生更準確地認識和理解圖形基本特征，能更好地使學(xué)生認識和描述空間圖形的變換過程，可以有效地促進學(xué)生對空間概念的建立。這也就回答了老師們的問題在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中方格紙的作用。 （ 2 ） 研究圖形的相似運動 ，即將圖形放大或縮小。 第二學(xué)段要求“能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小”，這里的“放大與縮小”不是嚴格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小的不同。 這將為第三學(xué)段研究圖形的相似運動和位似運動奠定基礎(chǔ)。 （ 3 ） 綜合運用圖形的運動進行圖案的欣賞與設(shè)計。 學(xué)生對圖形運動特點的了解、能夠在方格紙上按要求畫出運動后圖形，這些知識技能和經(jīng)驗是圖案的欣賞和設(shè)計的基礎(chǔ)。圖案的欣賞與設(shè)計，為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界、看生活提供了機會，也可以進一步感受數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的價值 。 欣賞或設(shè)計一個圖案時，不同的學(xué)生會有不同的感受、不同的解釋、不同的想象，只要是合理的都應(yīng)予以肯定，并進行交流與分享；但應(yīng)要求學(xué)生用自己的語言表達圖案中的圖形運動關(guān) 系， 從 而更好地體 會圖 形的 運動 在 圖 案欣 賞 和 設(shè)計 中的作用。 課標中有這樣的案例： 例 35 圖畫還原。 打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫構(gòu)成的平面畫面，請學(xué)生還原并利用平移和旋轉(zhuǎn)記錄還原步驟。 在這個案例中，學(xué)生通過實際操作進一步理解平移和旋轉(zhuǎn)，不僅能增加問題的趣味性，還可以讓孩子們感悟幾何運動也是可以記錄的，體驗選取最佳方案的過程。 教學(xué)設(shè)計時，可關(guān)注如下要點： （ 1 ）完成還原積木的任務(wù)一定要從簡單到復(fù)雜，如圖，先打亂四塊積木中的下面兩塊，讓學(xué)生嘗試思考的過程。學(xué)生有了一定經(jīng)驗后，可以打亂三塊或四塊積木，讓學(xué)生繼續(xù)嘗試。 （ 2 ）可以分小組進行。為了記錄準確，事先要確定每一個步驟的代表符號。 （ 3 ）小組活動時，可以先討論，確定一個大概的還原路線，然后操作驗證。 （ 4 ）小組成員共同操作，進行比較，驗證確定的路線。 課標修訂前后具體目標有一些具體的變化 修改前 修改后 第一學(xué)段 1. 結(jié)合實例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、對稱現(xiàn)象。 2. 能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。 3通過觀察、操作，初步認識軸對稱圖形。 并能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形。 1. 結(jié)合實例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象。 2. 能辨認簡單圖形平移后的圖形。 3. 通過觀察、操作，初步認識軸對稱圖形。 第二學(xué)段 1. 用折紙等方法確定軸對稱圖形的對稱軸，能在方格紙上畫出一個簡單的軸對稱圖形。 2. 能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小， 體會圖形的相似。 3. 通過觀察實例，認識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上將簡單圖形平移或旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 90 。 4. 欣賞生活中的圖案，靈活運用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計圖案。 1通過觀察、操作等活動，進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸； 能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形。 2通過觀察、操作等，在方格紙上認識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn) 90 。 3能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。 4能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設(shè)計簡單的圖案。 總體上看：修改后的課標在這部分降低了難度，更加強調(diào)觀察與操作，積累學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。過程中大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，教學(xué)中應(yīng)當予以充分的重視。這些畫圖和設(shè)計圖案的活動，既可以加深學(xué)生對圖形對稱性的理解，又能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的美及其應(yīng)用價值，應(yīng)當認真落實標準的這些要求。 三、 “圖形的運動”內(nèi)容常用的教學(xué)策略有哪些？ 策略一：結(jié)合生活實例，在觀察與比較中認識圖形的運動 新課標要求課程內(nèi)容要反映社會的需要，數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，也要符合學(xué)生的認知規(guī)律。課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生實際，有利于學(xué)生體驗、思考與探索。因為兒童的抽象思維需要具體形象思維與生活經(jīng)驗給與支撐，對感知圖形運動這樣抽象概念來說尤其重要。小學(xué)階段關(guān)于圖形的圖形的運動定位在積累感性體驗，形成初步認識。因此結(jié)合實例展開教學(xué)是一條相當重要的教學(xué)策略。 在生活中有很多圖形或圖案呈現(xiàn)出對稱、平移或旋轉(zhuǎn)的形式，通過對稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換同樣可以設(shè)計制作美麗的圖案。因此，在教學(xué)中，多收集一些這樣的素材，通過學(xué)生的觀察、比較，引導(dǎo)學(xué)生從運動變化的角度去發(fā)現(xiàn)不同的圖形變換。 例如，教學(xué)“圖形的變換”時豐富教材中的典型素材，注意融入了像道閘，車輪，鐘擺等素材并利用信息技術(shù)動態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生進一步感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。在教學(xué) “ 軸對稱變換時 ”，借助一組學(xué)生在生活中喜聞樂見的民族特點濃厚的素材。 這樣做，一方面有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形運動的興趣，另一方面使學(xué)生進一步體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的概括能力。 策略二：借助操作活 動 ，加深對圖形運動的認識， 幫 助 學(xué) 生 體 會變換 的特征 加強 學(xué) 生操作活 動 ，也是提高 圖 形 變換教學(xué) 成效的一 個 策略。操作是一種重要的實踐活動。圖形變換的操作主要是在方格紙上畫一個圖形經(jīng)某變換后的圖形和剪對稱圖形。應(yīng)鼓勵學(xué)生動手操作，并在操作過程中積極思考，發(fā)展思維能力。 老師們在資源中觀看了圖形的旋轉(zhuǎn)一課，在教學(xué)“線的旋轉(zhuǎn)”環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過用鉛筆表示線段在桌面方格中以三種不同的旋轉(zhuǎn)中心（鉛筆尖、鉛筆尾與鉛筆中點）進行旋轉(zhuǎn)。來感悟旋轉(zhuǎn)中心可以是線段上的任意一點。為后面在方格紙上畫線段提供實物支撐。 策略三：注重 從變換 的角度，引 導(dǎo)學(xué) 生欣 賞圖 形、 設(shè)計圖 案 學(xué)習(xí)圖 形 與變換內(nèi) 容的一 個 重要目的是使 學(xué) 生 運 用 數(shù)學(xué) 的眼光看待 現(xiàn)實 世 界。因此， 教學(xué) 中 應(yīng) 鼓 勵學(xué) 生 從變換 的角度欣 賞圖 形， 設(shè)計圖 案。 例如，在生活中 隨處 可 見 的美 麗圖 案， 學(xué) 生在 觀 察 這 些 圖 案 時 ，可以 發(fā)現(xiàn) 其 中包含的熟悉的 圖 形；可以 運 用 數(shù)學(xué) 的眼光分析 圖 案的 組 成，例如是否 運 用了 變換 ；可以欣 賞這 些各具特色的 圖 案， 發(fā)現(xiàn) 其中 蘊 涵的 對稱 美、和 諧 美、 簡 明美；可以以此 為啟發(fā) ， 發(fā)揮 自己的 個 性和 創(chuàng) 造力， 親 自 動 手 設(shè)計圖 案。 2011 版數(shù)學(xué)課程標準中要求：能畫出簡單平面圖形（點，線段，直線，三角形等）關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形；認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形、中心對稱圖形，認識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應(yīng)用；以及運用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進行圖案設(shè)計。 這些畫圖和設(shè)計圖案的活動，既可以加深學(xué)生對圖形對稱性的理解，又能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的美及其應(yīng)用價值，應(yīng)當認真落實標準的這些要求。 圖形旋轉(zhuǎn)一課“感悟旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用”環(huán)節(jié)中，教師借助信息技術(shù)，動態(tài)呈現(xiàn)一些基本圖形旋轉(zhuǎn)后形成的美麗圖形和圖案，鼓勵學(xué)生從變換的角度欣賞圖形與圖案，感受其中蘊涵的對稱美、和諧美、簡明美。并能從不同角度觀察圖形， 識別不同的基本圖形發(fā)生了怎樣的變換之后，形成了同一個圖形，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，為后面學(xué)習(xí)靈活應(yīng)用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)自己設(shè)計、制作圖案做了孕伏。 策略四：在解決問題中注重“ 圖形的運動 ”和相關(guān)知識的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力 1. 從變換角度認識圖形 在認識圖形的教學(xué)過程中，可以借助變換，動態(tài)直觀的刻畫圖形的屬性。例如：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓、長方體、正方體、 圓錐等圖形，在認識他們的特征時可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的變換，清晰直觀地發(fā)現(xiàn)圖形隱含著的特點。 2. 從變換的角度理解度量 小學(xué)階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導(dǎo)過程中，時刻都能感受到變換的重要作用。三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式的推導(dǎo)過程中，會用到拼湊、割補等多種推導(dǎo)的方法，這些方法的實質(zhì)是圖形的變換。 總之，小學(xué)階段有關(guān)圖形的運動的目標的達成是一個循序漸進的過程，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重多種策略的運用，并以圖形的運動教學(xué)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，發(fā)展空間觀念。話題四、 圖形的位置發(fā)展空間觀念，提高推理能力 “圖形與位置”教學(xué)中的主要問題，主要分為三個層面： 教學(xué)內(nèi)容層面： 第一、二學(xué)段的數(shù)學(xué)教材中安排了哪些“圖形與位置”的教學(xué)內(nèi)容？這些內(nèi)容的教學(xué)目標是什么？這些內(nèi)容之間有什么關(guān)系？這些內(nèi)容與后續(xù)幾何知識學(xué)習(xí)有什么聯(lián)系？ 教學(xué)設(shè)計層面： 在“圖形與位置”內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計中應(yīng)該注意哪些問題？學(xué)生在生活中獲得了很多對“方向與位置”的認識，可能這些認識是零散、模糊的，與教學(xué)的要求并不相符，教學(xué)中如何充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗？“圖形與位置”內(nèi)容教學(xué)的首要目標是發(fā)展學(xué)生的空間觀念，教學(xué)中采取哪些教學(xué)方式有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念？ 教學(xué)實施層面： 描