2015年北京市高考數學試卷（理科）.doc

2015年北京市高考數學試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共40分）1（5分）復數i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i2（5分）若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）A0B1CD23（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結果為（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）4（5分）設，是兩個不同的平面，m是直線且m，“m“是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5（5分）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A2+B4+C2+2D56（5分）設an是等差數列，下列結論中正確的是（）A若a1+a20，則a2+a30B若a1+a30，則a1+a20C若0a1a2，則a2D若a10，則（a2a1）（a2a3）07（5分）如圖，函數f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x28（5分）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油二、填空題（每小題5分，共30分）9（5分）在（2+x）5的展開式中，x3的系數為 （用數字作答）10（5分）已知雙曲線y2=1（a0）的一條漸近線為x+y=0，則a= 11（5分）在極坐標系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為 12（5分）在ABC中，a=4，b=5，c=6，則= 13（5分）在ABC中，點M，N滿足=2，=，若=x+y，則x= ，y= 14（5分）設函數f（x）=，若a=1，則f（x）的最小值為 ；若f（x）恰有2個零點，則實數a的取值范圍是 三、解答題（共6小題，共80分）15（13分）已知函數f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間，0上的最小值16（13分）A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16B組；12，13，15，16，17，14，a假設所有病人的康復時間相互獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙（）求甲的康復時間不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；（）當a為何值時，A，B兩組病人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）17（14分）如圖，在四棱錐AEFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O為EF的中點（）求證：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值18（13分）已知函數f（x）=ln，（）求曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（）求證，當x（0，1）時，f（x）；（）設實數k使得f（x）對x（0，1）恒成立，求k的最大值19（14分）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，點P（0，1）和點A（m，n）（m0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；（）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q，使得OQM=ONQ？若存在，求點Q的坐標，若不存在，說明理由20（13分）已知數列an滿足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），記集合M=an|nN*（）若a1=6，寫出集合M的所有元素；（）如集合M存在一個元素是3的倍數，證明：M的所有元素都是3的倍數；（）求集合M的元素個數的最大值2015年北京市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共40分）1（5分）復數i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i【分析】利用復數的運算法則解答【解答】解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故選：A【點評】本題考查了復數的運算；關鍵是熟記運算法則注意i2=12（5分）若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）A0B1CD2【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標函數z=x+2y對應的直線進行平移，即可求出z取得最大值【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，當l經過點B時，目標函數z達到最大值z最大值=0+21=2故選：D【點評】本題給出二元一次不等式組，求目標函數z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎題3（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結果為（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）【分析】模擬程序框圖的運行過程，即可得出程序運行后輸出的結果【解答】解：模擬程序框圖的運行過程，如下；x=1，y=1，k=0時，s=xy=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1時，s=xy=2，t=x+y=2；x=s=2，y=t=2，k=2時，s=xy=4，t=x+y=0；x=s=4，y=t=0，k=3時，循環(huán)終止，輸出（x，y）是（4，0）故選：B【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，是基礎題目4（5分）設，是兩個不同的平面，m是直線且m，“m“是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】m并得不到，根據面面平行的判定定理，只有內的兩相交直線都平行于，而，并且m，顯然能得到m，這樣即可找出正確選項【解答】解：m，m得不到，因為，可能相交，只要m和，的交線平行即可得到m；，m，m和沒有公共點，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分條件故選：B【點評】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念5（5分）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A2+B4+C2+2D5【分析】根據三視圖可判斷直觀圖為：OA面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判斷幾何體的各個面的特點，計算邊長，求解面積【解答】解：根據三視圖可判斷直觀圖為：OA面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEBC，BCOA，運用直線平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=22=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故該三棱錐的表面積是2，故選：C【點評】本題考查了空間幾何體的三視圖的運用，空間想象能力，計算能力，關鍵是恢復直觀圖，得出幾何體的性質6（5分）設an是等差數列，下列結論中正確的是（）A若a1+a20，則a2+a30B若a1+a30，則a1+a20C若0a1a2，則a2D若a10，則（a2a1）（a2a3）0【分析】對選項分別進行判斷，即可得出結論【解答】解：若a1+a20，則2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0時，結論成立，即A不正確；若a1+a30，則a1+a2=2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0時，結論成立，即B不正確；an是等差數列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即C正確；若a10，則（a2a1）（a2a3）=d20，即D不正確故選：C【點評】本題考查等差數列的通項，考查學生的計算能力，比較基礎7（5分）如圖，函數f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2【分析】在已知坐標系內作出y=log2（x+1）的圖象，利用數形結合得到不等式的解集【解答】解：由已知f（x）的圖象，在此坐標系內作出y=log2（x+1）的圖象，如圖滿足不等式f（x）log2（x+1）的x范圍是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故選：C【點評】本題考查了數形結合求不等式的解集；用到了圖象的平移8（5分）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油【分析】根據函數圖象的意義逐項分析各說法是否正確【解答】解：對于A，由圖象可知當速度大于40km/h時，乙車的燃油效率大于5km/L，當速度大于40km/h時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km，故A錯誤；對于B，由圖象可知當速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當速度相同時，消耗1升汽油，甲車的行駛路程最遠，以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯誤；對于C，由圖象可知當速度小于80km/h時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，用丙車比用乙車更省油，故C正確；對于D，由圖象可知當速度為80km/h時，甲車的燃油效率為10km/L，即甲車行駛10km時，耗油1升，故行駛1小時，路程為80km，燃油為8升，故D錯誤故選：C【點評】本題考查了函數圖象的意義，屬于中檔題二、填空題（每小題5分，共30分）9（5分）在（2+x）5的展開式中，x3的系數為40（用數字作答）【分析】寫出二項式定理展開式的通項公式，利用x的指數為3，求出r，然后求解所求數值【解答】解：（2+x）5的展開式的通項公式為：Tr+1=25rxr，所求x3的系數為：=40故答案為：40【點評】本題考查二項式定理的應用，二項式系數的求法，考查計算能力10（5分）已知雙曲線y2=1（a0）的一條漸近線為x+y=0，則a=【分析】運用雙曲線的漸近線方程為y=，結合條件可得=，即可得到a的值【解答】解：雙曲線y2=1的漸近線方程為y=，由題意可得=，解得a=故答案為：【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎題11（5分）在極坐標系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為1【分析】化為直角坐標，再利用點到直線的距離公式距離公式即可得出【解答】解：點P（2，）化為P直線（cos+sin）=6化為點P到直線的距離d=1故答案為：1【點評】本題考查了極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12（5分）在ABC中，a=4，b=5，c=6，則=1【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出結論【解答】解：ABC中，a=4，b=5，c=6，cosC=，cosA=sinC=，sinA=，=1故答案為：1【點評】本題考查余弦定理，考查學生的計算能力，比較基礎13（5分）在ABC中，點M，N滿足=2，=，若=x+y，則x=，y=【分析】首先利用向量的三角形法則，將所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值【解答】解：由已知得到=；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案為：【點評】本題考查了平面向量基本定理的運用，一個向量用一組基底表示，存在唯一的實數對（x，y）使，向量等式成立14（5分）設函數f（x）=，若a=1，則f（x）的最小值為1；若f（x）恰有2個零點，則實數a的取值范圍是a1或a2【分析】分別求出分段的函數的最小值，即可得到函數的最小值；分別設h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍【解答】解：當a=1時，f（x）=，當x1時，f（x）=2x1為增函數，f（x）1，當x1時，f（x）=4（x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21，當1x時，函數單調遞減，當x時，函數單調遞增，故當x=時，f（x）min=f（）=1，設h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1時，h（x）=與x軸有一個交點，所以a0，并且當x=1時，h（1）=2a0，所以0a2，而函數g（x）=4（xa）（x2a）有一個交點，所以2a1，且a1，所以a1，若函數h（x）=2xa在x1時，與x軸沒有交點，則函數g（x）=4（xa）（x2a）有兩個交點，當a0時，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍去），當h（1）=2a0時，即a2時，g（x）的兩個交點滿足x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是a1，或a2【點評】本題考查了分段函數的問題，以及函數的零點問題，培養(yǎng)了學生的轉化能力和運算能力以及分類能力，屬于中檔題三、解答題（共6小題，共80分）15（13分）已知函數f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間，0上的最小值【分析】（）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數的周期，即可得到所求；（）由x的范圍，可得x+的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可求得最小值【解答】解：（）f（x）=sincossin=sinx（1cosx）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），則f（x）的最小正周期為2；（）由x0，可得x+，即有1，則當x=時，sin（x+）取得最小值1，則有f（x）在區(qū)間，0上的最小值為1【點評】本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，同時考查正弦函數的周期和值域，考查運算能力，屬于中檔題16（13分）A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16B組；12，13，15，16，17，14，a假設所有病人的康復時間相互獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙（）求甲的康復時間不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；（）當a為何值時，A，B兩組病人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）【分析】設事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人”，由題意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件等價于“甲是A組的第5或第6或第7個人”，由概率公式可得；（）設事件“甲的康復時間比乙的康復時間長”C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（）由方差的公式可得【解答】解：設事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人”，由題意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件“甲的康復時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5或第6或第7個人”甲的康復時間不少于14天的概率P（A5A6A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（）設事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長”，則C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（）當a為11或18時，A，B兩組病人康復時間的方差相等【點評】本題考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，屬基礎題17（14分）如圖，在四棱錐AEFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O為EF的中點（）求證：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值【分析】（）根據線面垂直的性質定理即可證明AOBE（）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角FAEB的余弦值；（）利用線面垂直的性質，結合向量法即可求a的值【解答】證明：（）AEF為等邊三角形，O為EF的中點，AOEF，平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，AO平面EFCBAOBE（）取BC的中點G，連接OG，EFCB是等腰梯形，OGEF，由（）知AO平面EFCB，OG平面EFCB，OAOG，建立如圖的空間坐標系，則OE=a，BG=2，GH=a，（a2），BH=2a，EH=BHtan60=，則E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，0），=（a，0，a），=（a2，0），設平面AEB的法向量為=（x，y，z），則，即，令z=1，則x=，y=1，即=（，1，1），平面AEF的法向量為，則cos=即二面角FAEB的余弦值為；（）若BE平面AOC，則BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得a=【點評】本題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標系利用向量法是解決空間角的常用方法18（13分）已知函數f（x）=ln，（）求曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（）求證，當x（0，1）時，f（x）；（）設實數k使得f（x）對x（0，1）恒成立，求k的最大值【分析】（1）利用函數的導數求在曲線上某點處的切線方程（2）構造新函數利用函數的單調性證明命題成立（3）對k進行討論，利用新函數的單調性求參數k的取值范圍【解答】解答：（1）因為f（x）=ln（1+x）ln（1x）所以又因為f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y=2x（2）證明：令g（x）=f（x）2（x+），則g（x）=f（x）2（1+x2）=，因為g（x）0（0x1），所以g（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增所以g（x）g（0）=0，x（0，1），即當x（0，1）時，f（x）2（x+）（3）由（2）知，當k2時，f（x）對x（0，1）恒成立當k2時，令h（x）=f（x），則h（x）=f（x）k（1+x2）=，所以當時，h（x）0，因此h（x）在區(qū)間（0，）上單調遞減當時，h（x）h（0）=0，即f（x）所以當k2時，f（x）并非對x（0，1）恒成立綜上所知，k的最大值為2【點評】本題主要考查切線方程的求法及新函數的單調性的求解證明在高考中屬常考題型，難度適中19（14分）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，點P（0，1）和點A（m，n）（m0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；（）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q，使得OQM=ONQ？若存在，求點Q的坐標，若不存在，說明理由【分析】（I）根據橢圓的幾何性質得出求解即可（II）求解得出M（，0），N（，0），運用圖形得出tanOQM=tanONQ，=，求解即可得出即yQ2=xMxN，+n2，根據m，m的關系整體求解【解答】解：（）由題意得出解得：a=，b=1，c=1+y2=1，P（0，1）和點A（m，n），1n1PA的方程為：y1=x，y=0時，xM=M（，0）（II）點B與點A關于x軸對稱，點A（m，n）（m0）點B（m，n）（m0）直線PB交x軸于點N，N（，0），存在點Q，使得OQM=ONQ，Q（0，yQ），tanOQM=tanONQ，=，即yQ2=xMxN，+n2=1yQ2=2，yQ=，故y軸上存在點Q，使得OQM=ONQ，Q（0，）或Q（0，）【點評】本