仁壽一中等西南四省八校2020屆高三9月份聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

20192020年度“四省八校聯(lián)盟”高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）2019.9一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算得到集合A，再計(jì)算得到答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，屬于基礎(chǔ)題型.2.（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把復(fù)數(shù)乘積展開(kāi)，化簡(jiǎn)為a+bi（a、bR）的形式，可以判斷選項(xiàng)【詳解】（1+3i）（1-i）1+3+3i-i4+2i故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題3.設(shè)，則“”是“”的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出不等式的等價(jià)形式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由2x1得x0，由“x31”得x1，x0是x1的充分不必要條件則“2x1”是“x31”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵4.已知命題：，則是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定方法，結(jié)合已知中的原命題，可得答案【詳解】命題p：x0，總有l(wèi)gx0，命題p為：x00，使得lgx00，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了命題的否定，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題5.在等差數(shù)列中，則的前6項(xiàng)和為（）A. 6B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列an通項(xiàng)公式列方程組求出a1，d，由此能求出an的前6項(xiàng)和【詳解】在等差數(shù)列an中，a5，a2+a42，解得a1，d，an的前6項(xiàng)和S6的值：6151故選B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題6.如圖是函數(shù)的部分圖像，若，則（）A. -1B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圖可設(shè)A（a，），則B（a，），可得（，），利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，求得T4，從而可得的值，代入x=-1計(jì)算可得結(jié)果【詳解】設(shè)A（a，），函數(shù)f（x）sin（x+）的周期為T，則B（a，），（，），|AB|212=16，T216，T4，解得：f（x）sin（x+），f（-1），故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)yAsin（x+）的圖象解析式的確定及應(yīng)用，涉及向量模的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用，屬于中檔題7.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解8.的展開(kāi)式中的系數(shù)為A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：寫(xiě)出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題。9.直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。10.已知函數(shù)，若，互不相等，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)對(duì)稱得到，再得到，最后得到答案.【詳解】畫(huà)出函數(shù)圖像：，設(shè) 則 即 故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)交點(diǎn)的取值范圍問(wèn)題，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.11.直線分別與曲線，相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)A（a，2 a+1），B（a，a+lna），求出|AB|，利用導(dǎo)數(shù)求出|AB|的最小值【詳解】設(shè)A（a，2a+1），B（a，a+lna），|AB|，令y，則y1，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增，x1時(shí)，函數(shù)y的最小值為，|AB|，其最小值為2.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力及轉(zhuǎn)化思想，利用求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得最值是關(guān)鍵12.若，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由變形，代入式子得到，取，帶入化簡(jiǎn)利用均值不等式得到答案.【詳解】，設(shè) 原式 當(dāng)即時(shí)有最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了最大值，利用消元和換元的方法簡(jiǎn)化了運(yùn)算，最后利用均值不等式得到答案，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式知識(shí)的靈活運(yùn)用.二、填空題。13.設(shè)向量，則_.【答案】5【解析】【分析】由已知利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于x的方程解之，代入計(jì)算所求即可.【詳解】由已知（x，1），（1，2），得到x+20，解得x；（，-3），故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算及向量模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題14.某高中三年級(jí)甲、乙兩班各選出7名學(xué)生參加高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分140分）的莖葉圖如下，其中甲班學(xué)生成績(jī)中位數(shù)為81，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為86，則_.【答案】5【解析】【分析】由中位數(shù)和平均數(shù)的定義可得x，y的值，計(jì)算可得結(jié)果【詳解】甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是80+x81，得x1；由莖葉圖可知乙班學(xué)生的總分為76+803+903+（0+2+y+1+3+6）598+y，乙班學(xué)生的平均分是86，且總分為867602，所以y4，x+y=5故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖的應(yīng)用及中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題15.已知公比為整數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件先計(jì)算出，然后得到，再利用裂項(xiàng)求和法得到答案.【詳解】公比為整數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，解得或（舍去）， 前100項(xiàng)和為 故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列的方法的靈活運(yùn)用.16.設(shè)點(diǎn)是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先計(jì)算右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)將轉(zhuǎn)化為，計(jì)算的范圍得到答案.【詳解】，為的右焦點(diǎn)， ，左焦點(diǎn) 故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓取值范圍問(wèn)題，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對(duì)于橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知，.（1）求；（2）求中的最長(zhǎng)邊.【答案】（1）（2）最長(zhǎng)邊為【解析】【分析】（1）根據(jù)tanA和tanB的值計(jì)算出tanC.（2）由（1）可得C為鈍角，c邊最長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得c【詳解】（1）因?yàn)?（2）由（1）知鈍角，所以為最大角，因?yàn)椋?，又，所?由正弦定理得：，所以為最大邊.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系及兩角和的正切公式和正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18.為了調(diào)查民眾對(duì)國(guó)家實(shí)行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度，現(xiàn)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷隨機(jī)調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表：年齡頻數(shù)102030201010支持“新農(nóng)村建設(shè)”311261262（1）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為以50歲為分界點(diǎn)對(duì)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異；年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計(jì)支持不支持合計(jì)（2）為了進(jìn)一步推動(dòng)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的實(shí)施，中央電視臺(tái)某節(jié)目對(duì)此進(jìn)行了專題報(bào)道，并在節(jié)目最后利用隨機(jī)撥號(hào)的形式在全國(guó)范圍內(nèi)選出4名幸運(yùn)觀眾（假設(shè)年齡均在20周歲至80周歲內(nèi)），給予適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì).若以頻率估計(jì)概率，記選出4名幸運(yùn)觀眾中支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，從而可利用公式計(jì)算出，可判斷出無(wú)的把握；（2）可判斷出服從二項(xiàng)分布：，通過(guò)公式計(jì)算出所有可能取值的概率，從而得到分布列；再利用求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）列聯(lián)表年齡低于歲的人數(shù)年齡不低于歲的人數(shù)合計(jì)支持不支持合計(jì)所以沒(méi)有的把握認(rèn)為以歲為分界點(diǎn)對(duì)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異（2）由題可知，所有可能取值有，且觀眾支持“新農(nóng)村建設(shè)”的概率為，因此，所以的分布列是：所以的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)分布的問(wèn)題.19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，側(cè)面底面，.（1）求證：平面平面；（2）過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 【解析】【分析】（1）先證明面，再證明，最后得到平面平面.（2）以，為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算法向量，利用向量的夾角公式得到答案.【詳解】解：（1）證明：因?yàn)?，則，又側(cè)面底面，面面，面，則面面，則又因?yàn)椋瑸槠叫兴倪呅?，則，又，則為等邊三角形，則為菱形，則又，則面，面，則面面（2）由平面把四面體分成體積相等的兩部分，則為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，由知由（1）知平面，以，為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則中點(diǎn)為設(shè)面的法向量為，則，可取設(shè)面的法向量為，則，可取設(shè)二面角的大小為，則，則二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直，二面角，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系可以簡(jiǎn)化技巧，容易讓同學(xué)掌握，其計(jì)算量較大，需要同學(xué)們加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.20.已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，分別交直線于，兩點(diǎn)，若直線、的斜率分別為、，試問(wèn)：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1);(2)為定值.【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率、直線與圓相切建立關(guān)于的方程組，過(guò)得，從而得到橢圓的方程；（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去，得到關(guān)于的方程，再利用韋達(dá)定理得到之間的關(guān)系，從而得到的關(guān)系試題解析：（1）由題意得解得故橢圓的方程為（2）設(shè)，直線的方程為，由得，由，三點(diǎn)共線可知，所以；同理可得所以因?yàn)?，所以考點(diǎn)：1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；2、橢圓的幾何性質(zhì)；3、直線的斜率【方法點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，再應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題利用弦長(zhǎng)公式或解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單21.已知函數(shù).(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值.【答案】（）；（）見(jiàn)解析?！窘馕觥吭囶}分析：（）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率,再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；（）由,通過(guò)討論確定的單調(diào)性,再由單調(diào)性確定極值.試題解析：（）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（）因，所以，令，則，所以上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是，當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極大值也無(wú)極小值.（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值；當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f(x)；解方程f(x)0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；檢驗(yàn)f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在x0處取極大值,如果左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取極小值(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么yf(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（1）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線，交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，求.【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：，曲線的直角坐標(biāo)方程為：（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)、參數(shù)方程的互化公式得結(jié)果；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理可得t2-(4t+160，利用參數(shù)的幾何意義及韋達(dá)定理可得結(jié)論；【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程可以化為：，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為：，曲線的直角坐標(biāo)方程為：.（2）曲線的參數(shù)方程可化為：（為參數(shù)），將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得到：，整理得：，判別式，不妨設(shè)，的參數(shù)分別為，則，又點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)椋裕?【點(diǎn)睛】