2019-2020學(xué)年泰州市泰州中學(xué)高一上學(xué)期第二次檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年江蘇省泰州市泰州中學(xué)高一上學(xué)期第二次檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1集合的真子集個(gè)數(shù)為A3B4C7D8【答案】C【解析】，集合有3個(gè)元素，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為，故填：C.2設(shè)，則使冪函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的a值的個(gè)數(shù)為( )A0B1C2D3【答案】D【解析】本試題主要是考查了冪函數(shù)的性質(zhì)的簡單運(yùn)用。因?yàn)?時(shí)，函數(shù)，以-x代x解析式不變，那么就是偶函數(shù)，=-1時(shí)，函數(shù)為反比列函數(shù)，因?yàn)閒(-x)=-f(x)=-故為奇函數(shù)，且在（0，+）單調(diào)遞減；=2時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，對(duì)稱軸為y軸故為偶函數(shù)；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，冪指數(shù)為正奇數(shù)時(shí)，則在第一象限遞增，故=1，3，不僅函數(shù)為奇函數(shù)，且在（0，+）單調(diào)遞增，滿足題意，故選D.解決該試題關(guān)鍵是對(duì)于各個(gè)取值意義驗(yàn)證，判定是否滿足冪函數(shù)的性質(zhì)。3已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(2,3B(2,3)C2,3)D2,3【答案】A【解析】根據(jù)題意可得 且 ，解不等式組求得的取值范圍【詳解】cos 0，sin 0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2a3.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷角所在的象限，得到 且，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )ABCD【答案】B【解析】先求出根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得解.【詳解】由題得，所以所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在性定理，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5設(shè)a=20.5，b=log20152016，c=sin1830，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）Aabc Bacb Cbca Dbac【答案】D【解析】試題分析：利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出解：1a=20.5=，b=log201520161，c=sin1830=sin30=，bac，故選：D【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較6已知是定義在上的函數(shù)，且恒成立，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為（ ）ABCD【答案】D【解析】，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，得到，然后令，利用，即可求出時(shí)的函數(shù)解析式，【詳解】，所以是以2為周期的函數(shù)，設(shè)，可得，此時(shí)， 根據(jù)，得，因此，當(dāng)時(shí)，答案選D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性問題，屬于基礎(chǔ)題7已知函數(shù)，則下列關(guān)于該函數(shù)圖象對(duì)稱性的描述正確的是（ ）A關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于直線對(duì)稱D關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】令即可解出對(duì)稱軸的方程，從而得到C錯(cuò)誤，D正確. 令可得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，從而可判斷A、B是錯(cuò)誤的.【詳解】令，其中，所以，當(dāng)時(shí)，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)闊o整數(shù)解，故直線不是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸.令，其中，所以，因?yàn)闊o整數(shù)解，故點(diǎn)不是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，同理也不是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8已知，則（ ）ABCD【答案】B【解析】利用兩角和的正弦函數(shù)化簡求得，再利用誘導(dǎo)公式，即可求解，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得，即，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，合理、準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9給出如下四個(gè)函數(shù)：；，b，c為常數(shù)；其中最小正周期一定為的函數(shù)個(gè)數(shù)為（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】將表達(dá)式化簡，周期.【詳解】周期為周期為；對(duì)，當(dāng)時(shí)，易知不恒成立，周期為；因此僅有滿足故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的化簡，熟記和差公式和兩個(gè)基本公式即可，另外求最小正周期的前提是函數(shù)是周期函數(shù)，屬于較易題目。10要得到函數(shù)的圖象，可由函數(shù)（ ）A向左平移個(gè)長度單位B向右平移個(gè)長度單位C向左平移個(gè)長度單位D向右平移個(gè)長度單位【答案】A【解析】利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化成余弦形式，再根據(jù)“左加右減”原則，即可得到答案.【詳解】函數(shù)，函數(shù)，所以函數(shù)向左平移個(gè)長度單位可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、平移變換，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，求解時(shí)要注意先將函數(shù)名化成相同，再利用“左加右減”的變換原則.二、多選題11關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論中的正確結(jié)論是（ ）A函數(shù)是偶函數(shù)B函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增C函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)D函數(shù)的最大值為2【答案】ABD【解析】對(duì)A，利用偶函數(shù)的定義；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡得，再判斷單調(diào)性；對(duì)C，對(duì)進(jìn)行討論，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再求方程的根，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，與同時(shí)取到最大值1.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)等價(jià)于，顯然函數(shù)在遞增，故B正確；對(duì)C，函數(shù)當(dāng)時(shí)，解得：或或，只有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，與同時(shí)取到最大值1，即函數(shù)的最大值為2，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和最值，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.三、填空題12若定義在上的函數(shù)，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“特征函數(shù)”則下列結(jié)論中正確命題序號(hào)為_是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；不是“特征函數(shù)”；“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；是一個(gè)“特征函數(shù)”【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，任何常函數(shù)都是“特征函數(shù)”，所以錯(cuò)誤；對(duì)任意的不能恒成立，不是“特征函數(shù)”，所以正確；成立，則與異號(hào)，由又函數(shù)是連續(xù)的，所以在至少存在一個(gè)零點(diǎn)，所以正確；，則滿足時(shí)，對(duì)任意恒成立滿足，所以正確。所以正確的是。點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。本題中需要學(xué)生理解“特征函數(shù)”的定義，并能在選項(xiàng)的判斷中利用定義進(jìn)行判斷，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求極高，并在判斷過程中能夠聯(lián)系學(xué)過的函數(shù)性質(zhì)，加以應(yīng)用。13函數(shù)的定義域?yàn)開.【答案】【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，開偶次方根的被開方數(shù)大于等于0，解不等式即可得到答案.【詳解】由題意得：解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的定義域求解，考查不等式的求解，注意定義域要寫成集合或區(qū)間的形式.14在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則_【答案】【解析】15已知，則_.【答案】【解析】，16已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 _【答案】【解析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖象，題意說明函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，即恒成立，整理后為二次不等式，由可得的范圍【詳解】由題意，對(duì)任意的恒成立，在同一坐標(biāo)系中作出滿足題意函數(shù)和的圖象，如圖所示，恒成立，恒成立，解得（舍去），故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式恒成立問題，由于函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)，較為復(fù)雜，因此解題時(shí)利用函數(shù)的圖象，把問題轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式恒成立，使得問題輕松解決數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要的思想方法，平常學(xué)習(xí)必須注意掌握四、解答題17（1）計(jì)算的值；（2）已知，求和的值【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）利用公式計(jì)算；（2）利用齊次的弦化切技巧計(jì)算。試題解析：(1)原式=2+= - （2）， .18已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）判斷在上的單調(diào)性并加以證明.【答案】（1）1；（2）是奇函數(shù)，證明見解析；（3）在上是增函數(shù)，證明見解析.【解析】（1）利用列方程，求得的值.（2）先求得函數(shù)定義域，然后利用奇偶性的定義，判斷出函數(shù)為奇函數(shù).（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，計(jì)算，由此證得函數(shù)在上的是增函數(shù).【詳解】（1）由已知有，解得，所以的值為1.（2）奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)?是奇函數(shù).（3）在上是增函數(shù)，證明如下：任取兩數(shù)且,則，,，即，即，在上是增函數(shù).【點(diǎn)睛】本小題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查函數(shù)奇偶性的判斷和證明，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題.19設(shè).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（）化簡,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞增區(qū)間；（）由 平移后得進(jìn)一步可得試題解析：（）由由得所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是（或）.（）由（）知 把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到 的圖象，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到 的圖象，即所以【考點(diǎn)】和差倍半的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)圖象的變換.此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡三角函數(shù)，進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，利用“左加右減、上加下減”的變換原則，得出新的函數(shù)解析式并求值.本題較易，能較好地考查考生的基本運(yùn)算求解能力及對(duì)復(fù)雜式子的變形能力等.20設(shè)函數(shù)，函數(shù)，且，的圖象過點(diǎn)及（1）求和的解析式；（2）求函數(shù)的定義域和值域【答案】（1），；（2）,.【解析】(1)根據(jù)得出關(guān)于方程，求解方程即可；（2）根據(jù)的圖象過點(diǎn)及，列方程組求得的解析式，可得，解不等式可求得定義域，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，配方可得，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?， ；因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)及，所以， ；（2）由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，即的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的解析式、定義域與值域，屬于中檔題. 求函數(shù)值域的常見方法有配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；換元法；不等式法；單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的值域，圖象法：畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求最值.21某企業(yè)為打入國際市場，決定從兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定，預(yù)計(jì).另外，年銷售件產(chǎn)品時(shí)需上交萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的年利潤與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，并指明其定義域；（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請(qǐng)你做出規(guī)劃.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題分析：(1)生產(chǎn)產(chǎn)品的年利潤每件產(chǎn)品銷售價(jià)銷售量 (年固定成本每件產(chǎn)品成本銷售量);同理,生產(chǎn)產(chǎn)品的年利潤也可求得.(2)由,得,所以是增函數(shù),且，易知時(shí),有最大值;二次函數(shù),易求得當(dāng)時(shí),有最大值.將的最大值和的最大值作差,比較可得何時(shí)投資哪種產(chǎn)品獲得年利潤最大.試題解析：（1）設(shè)年銷售量為件，按利潤的計(jì)算公式，得生產(chǎn)、兩產(chǎn)品的年利潤分別為： ,且;, ，且.（2）因?yàn)?，所以，所以為增函?shù),又且，所以時(shí)，生產(chǎn)產(chǎn)品有最大利潤為:(萬美元).又, 且,所以時(shí)，生產(chǎn)產(chǎn)品有最大利潤為(萬美元) ,作差比較：,令，得；令，得；令，得.所以當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)產(chǎn)品件獲得最大年利潤；當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)產(chǎn)品件獲得最大年利潤；當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品獲得的最大利潤一樣.點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.(1)根據(jù)產(chǎn)品的年利潤每件產(chǎn)品銷售價(jià)銷售量 (年固定成本每件產(chǎn)品成本銷售量)，產(chǎn)品的年利潤=每件產(chǎn)品銷售價(jià)銷售量(年固定成本每件產(chǎn)品成本銷售量)特別關(guān)稅，分別求出，與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)表格寫出自變量的取值范圍即定義域；(2)根據(jù)，與的函數(shù)關(guān)系式，由一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，利用作差法求兩個(gè)最大值的差，根據(jù)的取值范圍，分類討論.22已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且（1）求及的解析式及定義域；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范