立體幾何解題方法技巧-(1)

用心 愛心 專心1 專題六專題六 立體幾何解題方法技巧立體幾何解題方法技巧 一 內容提一 內容提要 要 立體幾何需要我們去解決的問題概括起來就是三個方面 證明位置關系 求距離和求 角 具體內容見下表 二 主要解題方法 二 主要解題方法 一 位置關系 1 兩條異面直線相互垂直 證明方法 證明兩條異面直線所成角為 90 證明兩條異面直線的方向量相互垂直 1 2 2 直線和平面相互平行 證明方法 證明直線和這個平面內的一條直線相互平行 證明這條直線的方向量和 1 2 這個平面內的一個向量相互平行 證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂 3 直 3 直線和平面垂直 證明方法 證明直線和平面內兩條相交直線都垂直 證明直線的方向量與這個平面 1 2 內不共線的兩個向量都垂直 證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行 3 4 平面和平面相互垂直 證明方法 證明這兩個平面所成二面角的平面角為 90 證明一個平面內的一條直線 1 2 垂直于另外一個平面 證明兩個平面的法向量相互垂直 3 二 求距離 求距離的重點在點到平面的距離 直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉化成點 到平面的距離 一個點到平面的距離也可以轉化成另外一個點到這個平面的距離 1 兩條異面直線的距離 求法 如果知道兩條異面直線的公垂線 那么就轉化成求公垂線段的長度 線段長度的 1 求法也可以用向量來幫助解決 求線段 AB 的長度 可以利用 提 要 主 要 內 容重 點 內 容 位 置 關 系 兩條異面直線相互垂直 直線與平面平行 直 線與平面斜交 直線與平面垂直 兩個平面斜 交 兩個平面相互垂直 兩條異面直線相互垂直 直 線與平面平行 直線與平面 垂直 兩個平面相互垂直 距 離 兩條異面直線的距離 點到平面的距離 直線 到平面的距離 兩個平面的距離 兩條異面直線的距離 點到 平面的距離 立 體 幾 何 角 度 兩條異面直線所成的角 直線和平面所成的角 二面角 兩條異面直線所成的角 直 線和平面所成的角 二面角 用心 愛心 專心2 來幫助解決 但是前提條件是我們要知道 2 2 NBMNAMAB 的模和每兩個向量所成的角 利用公式 其中NBMNAM 2 n nAB d A B 分別為兩條異面直線上的一點 為這兩條異面直線的法向量 n 2 點到平面的距離 求法 一找二證三求 三步都必須要清楚地寫出來 等體積法 向量法 利用公 1 2 3 式 其中 A 為已知點 B 為這個平面內的任意一點 這個平面的法向量 n nAB d n 三 求角 1 兩條異面直線所成的角 求法 先通過其中一條直線或者兩條直線的平移 找出這兩條異面直線所成的角 然后 1 通過解三角形去求得 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得 但是注意到 2 異面直線所成角得范圍是 向量所成的角范圍是 如果求出的是鈍角 2 0 0 要注意轉化成相應的銳角 2 直線和平面所成的角 求法 一找二證三求 三步都必須要清楚地寫出來 向量法 先求直線的方向量于 1 2 平面的法向量所成的角 那么所要求的角為或 22 3 平面與平面所成的角 求法 一找二證三求 找出這個二面角的平面角 然后再來證明我們找出來的這個角 1 是我們要求的二面角的平面角 最后就通過解三角形來求 通過射影面積來求 2 在其中一個平面內找出一個三角形 然后找這個三角形在另外一個平面 原 射影 S cos S 的射影 那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為 cos 注意到我們要求的 角為 或 向量法 先求兩個平面的法向量所成的角為 那么這兩個平面所 3 成的二面角的平面角為 或 我們現在來解決立體幾何的有關問題的時候 注意到向量知識的應用 如果可以比較 容易建立坐標系 找出各點的坐標 那么剩下的問題基本上就可以解決了 如果建立坐標 系不好做的話 有時求距離 角的時候也可以用向量 運用向量不是很方便的時候 就用 傳統(tǒng)的方法了 三 注意的問題 三 注意的問題 1 我們現在提倡用向量來解決立體幾何的有關問題 但是當運用向量不是很方便的時候 用心 愛心 專心3 傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運用自如 2 我們如果是通過解三角形去求角 距離的時候 做到 一找二證三求 解題的過程中 一定要出現這樣一句話 是我們所要求的角 線段 AB 的長度就是我們所要求 的距離 等等 讓人看起來一目了然 3 用向量來求兩條異面直線所成角時 若求出 cos x 則這兩條異面直線所成的角為 arccos x 4 在求直線與平面所成的角的時候 法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方 向量所成角的補交與我們所要求的角互余 所以要或 若求出的角為銳 22 角 就用 若求出的鈍角 就用 22 5 求平面與平面所成角的時 若用第 種方法 先要去判斷這個二面角的平面角是鈍 2 3 角還是銳角 然后再根據我們所作出的判斷去取舍 專題訓練專題訓練 1 已知三棱錐 P ABC 中 PB 底面 ABC 90BCA PB BC CA a E 是 PC 的中點 點 F 在 PA 上 且 3PF FA 1 求證 平面 PAC PBC 2 求平面 BEF 與底面 ABC 所成角 用一個反三角函數值表示 2 如圖 四棱錐 P ABCD 的底面是正方形 PA 底面 ABCD PA AD 2 點 M N 分別在棱 PD PC 上 且 PC 平面 AMN 1 求證 AM PD 2 求二面角 P AM N 的大小 3 求直線 CD 與平面 AMN 所成角的大小 用心 愛心 專心4 3 如圖 平面 ABCD 平面 ABEF ABCD 是正方形 ABEF 是矩形 且G 是 2 1 aADAF EF 的中點 1 求證平面 AGC 平面 BGC 2 求 GB 與平面 AGC 所成角的正弦值 3 求二面角 B AC G 的大小 4 如圖 在正方體中 是棱的中點 為平面 1111 DCBAABCD E 11D AHEDB 內一點 0 2 2 1 mmmmHC 1 證明平面 1 HCEDB 2 求與平面所成的角 1 BCEDB 3 若正方體的棱長為 求三棱錐的體積 aEDBA 用心 愛心 專心5 在 在aHOBCMRt 10 5 中aEHEHORt 2 1 中 5tan HO EH EOH 即平面 BEF 與底面 ABC 所成二面角的大小為 5arctan 若利用面積射影法 指出 HDB 是 EFB 在底面 ABC 上的射影 并計算出其面積 7 分 計算出 2 16 1 aS 射影 2 16 6 aS EFB 6 1 cos EFB S S射影 即平面 BEF 與底面 ABC 所成二面角的大小為 6 6 arccos 2 1 證明 ABCD 是正方形 CD AD PA 底面 ABCD PA CD CD 平面 PAD AM平面 PAD CD AM PC 平面 AMN PC AM AM 平面 PCD AM PD 2 解 AM 平面 PCD 已證 AM PM AM NM 用心 愛心 專心6 PMN 為二面角 P AM N 的平面角 PN 平面 AMN PN NM 在直角 PCD 中 CD 2 PD 2 PC 2 23 PA AD AM PD M 為 PD 的中點 PM PD 2 1 2 由 Rt PMN Rt PCD 得 PC PMCD MN 3 3 arccos 3 3 32 2 cos PMN PC CD PM MN PMN 即二面角 P AM N 的大小為 3 3 arccos 3 1 證明 正方形 ABCD 面 ABCD 面 ABEF 且交于 AB ABCB CB 面 ABEF AG GB面 ABEF CB AG CB BG 又 AD 2a AF a ABEF 是矩形 G 是 EF 的中點 AG BG AB 2a AB2 AG2 BG2 AG BG CG BG B AG 平面 CBG 而 AGa2 面 AGC 故平面 AGC 平面 BGC 2 解 如圖 由 知面 AGC 面 BGC 且交于 GC 在平面 BGC 內作 BH GC 垂 足為 H 則 BH 平面 AGC BGH 是 GB 與平面 AGC 所成的角 在 Rt CBG 中 又 BG a BGBC BGBC CG BGBC BH 3 32 22