2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答

2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷 第一試 10月15日上午8 009 40 一 選擇題 本題滿分36分 每小題6分 1 設(shè)全集是實(shí)數(shù) 若A x 0 B x 10 10 x 則A RB是 A 2 B 1 C x x 2 D 2 設(shè)sin 0 cos 0 且sin cos 則的取值范圍是 A 2k 2k kZ B k Z C 2k 2k k Z D 2k 2k 2k 2k k Z 3 已知點(diǎn)A為雙曲線x2y2 1的左頂點(diǎn) 點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支 上 ABC是等邊三角形 則 ABC的面積是 A B C 3 D 6 4 給定正數(shù)p q a b c 其中pq 若p a q是等比數(shù)列 p b c q是等差數(shù)列 則一元二次方程bx22ax c 0 A 無實(shí)根 B 有兩個相等實(shí)根 C 有兩個同號相異實(shí)根 D 有兩個異號實(shí)根 5 平面上整點(diǎn) 縱 橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn) 到直線y x 的距離中的最 小值是 A B C D 6 設(shè) cos isin 則以 3 7 9為根的方程是 A x4 x3 x2 x 1 0 B x4x3 x2x 1 0 C x4x3x2 x 1 0 D x4 x3 x2x1 0 二 填空題 本題滿分54分 每小題9分 1 arcsin sin2000 2 設(shè)an是 3 n的展開式中x項(xiàng)的系數(shù) n 2 3 4 則 3 等比數(shù)列a log23 a log43 a log83的公比是 4 在橢圓 1 a b 0 中 記左焦點(diǎn)為F 右頂點(diǎn)為A 短軸上方 的端點(diǎn)為B 若該橢圓的離心率是 則 ABF 5 一個球與正四面體的六條棱都相切 若正四面體的棱長為a 則 這個球的體積是 6 如果 1 a b c d都屬于 1 2 3 4 2 ab bc cd da 3 a是a b c d中的最小值 那么 可以組成的不同的四位數(shù)的個數(shù)是 三 解答題 本題滿分60分 每小題20分 1 設(shè)Sn 1 2 3 n nN 求f n 的最大值 2 若函數(shù)f x x2 在區(qū)間 a b 上的最小值為2a 最大值為2b 求 a b 3 已知C0 x2 y2 1和C1 1 a b 0 試問 當(dāng)且僅當(dāng)a b滿 足什么條件時 對C1上任意一點(diǎn)P 均存在以P為頂點(diǎn) 與C0外切 與C1內(nèi)接的平行四邊形 并證明你的結(jié)論 第二試 10月15日上午10 00 12 00 一 本題滿分50分 如圖 在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E F 滿足 BAE CAF 作FM AB FN AC M N是垂足 延長AE交三 角形ABC的外接圓于D 證明 四邊形AMDN與三角形ABC的面積相 等 A B C D E F M N 二 本題滿分50分 設(shè)數(shù)列 a n 和 b n 滿足a0 1 a1 4 a2 49 且 n 0 1 2 證明a n n 0 1 2 是完全平方數(shù) 三 本題滿分50分 有n個人 已知他們中的任意兩人至多通電話一次 他們中的任意n 2個人之間通電話的次數(shù)相等 都是3 k次 其中k是自然數(shù) 求n的所 有可能值 2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題解答 第一試 一 選擇題 本題滿分36分 每小題6分 1 設(shè)全集是實(shí)數(shù) 若A x 0 B x 10 10 x 則A RB是 A 2 B 1 C x x 2 D 解 A 2 B 2 1 故選D 2 設(shè)sin 0 cos 0 且sin cos 則的取值范圍是 A 2k 2k kZ B kZ C 2k 2k k Z D 2k 2k 2k 2k kZ 解 滿足sin 0 cos 0的 的范圍是 2k 2k 于是的取值范圍是 滿足sin cos的的取值范圍為 2k 2k 故所求范圍是 2k 2k 2k 2k kZ 選D 3 已知點(diǎn)A為雙曲線x2y2 1的左頂點(diǎn) 點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支 上 ABC是等邊三角形 則 ABC的面積是 A B C 3 D 6 解 A 1 0 AB方程 y x 1 代入雙曲線方程 解得B 2 S 3 選C 4 給定正數(shù)p q a b c 其中pq 若p a q是等比數(shù)列 p b c q是等差數(shù)列 則一元二次方程bx22ax c 0 A 無實(shí)根 B 有兩個相等實(shí)根 C 有兩個同號相異實(shí)根 D 有兩個異號實(shí)根 解 a2 pq b c p q b c a2 bc pq 2p q p 2q p q 2 0 選A 5 平面上整點(diǎn) 縱 橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn) 到直線y x 的距離中的最 小值是 A B C D 解 直線即25x 15y 12 0 平面上點(diǎn) x y 到直線的距離 5x 3y 2為整數(shù) 故 5 5x 3y 2 2 2 且當(dāng)x y 1時即可取到 2 選B 6 設(shè) cos isin 則以 3 7 9為根的方程是 A x4 x3 x2 x 1 0 B x4x3 x2x 1 0 C x4x3x2 x 1 0 D x4 x3 x2x1 0 解 5 1 0 故 3 7 9 都是方程x5 1 0的根 x5 1 x 1 x4 x3 x2 x 1 0 選B 二 填空題 本題滿分54分 每小題9分 1 arcsin sin2000 解 2000 180 12 160 故填 20 或 2 設(shè)an是 3 n的展開式中x項(xiàng)的系數(shù) n 2 3 4 則 解 an 3n 2C 故填18 3 等比數(shù)列a log23 a log43 a log83的公比是 解 q 填 4 在橢圓 1 a b 0 中 記左焦點(diǎn)為F 右頂點(diǎn)為A 短軸上方 的端點(diǎn)為B 若該橢圓的離心率是 則 ABF 解 c a AF a BF a AB 2 AO 2 OB 2 a2 故有 AF 2 AB 2 BF 2 即 ABF 90 填90 或由b2 a2 c2 a2 ac 得解 5 一個球與正四面體的六條棱都相切 若正四面體的棱長為a 則 這個球的體積是 解 取球心O與任一棱的距離即為所求 如圖 AE BE a AG a AO a BG a AB AO BG OH OH a V r3 a3 填 a3 6 如果 1 a b c d都屬于 1 2 3 4 2 ab bc cd da 3 a是a b c d中的最小值 那么 可以組成的不同的四位數(shù)的個數(shù)是 解 a c可以相等 b d也可以相等 當(dāng)a c相等 b d也相等時 有C 6種 當(dāng)a c相等 b d不相等時 有A A 8種 當(dāng)a c不相等 b d相等時 有CC C 8種 當(dāng)a c不相等 b d也不相等時 有A 6種 共28種 填28 三 解答題 本題滿分60分 每小題20分 1 設(shè)Sn 1 2 3 n nN 求f n 的最大值 解 Sn n n 1 f n n 8時取得最大值 2 若函數(shù)f x x2 在區(qū)間 a b 上的最小值為2a 最大值為2b 求 a b 解 若a b 0 則最大值為f b b2 2b 最小值為f a a2 2a 即a b是方程x2 4x 13 0的兩個根 而此方程兩根異號 故不可能 若a 0 b 當(dāng)x 0時 f x 取最大值 故2b 得b 當(dāng)x a或x b時f x 取最小值 f a a2 2a時 a 2 但a b 從而f a 是最小值 f b b2 2a 0 與a 0矛盾 故舍 0 a b 此時 最大值為f a 2b 最小值為f b 2a b2 2a a2 2b 相減得a b 4 解得a 1 b 3 a b 1 3 或 2 3 已知C0 x2 y2 1和C1 1 a b 0 試問 當(dāng)且僅當(dāng)a b滿 足什么條件時 對C1上任意一點(diǎn)P 均存在以P為頂點(diǎn) 與C0外切 與C1內(nèi)接的平行四邊形 并證明你的結(jié)論 解 設(shè)PQRS是與C0外切且與C1內(nèi)接的平行四邊形 易知圓的外切 平行四邊形是菱形 即PQRS是菱形 于是OP OQ 設(shè)P r1cos r1sin Q r2cos 90 r2sin 90 則在直角三角 形POQ中有r12 r22 r12r22 利用 POQ的面積 即 1 但 1 即 同理 相加得 1 反之 若 1成立 則對于橢圓上任一點(diǎn)P r1cos r1sin 取橢圓 上點(diǎn)Q r2cos 90 r2sin 90 則 于是 1 此時 PQ與C0相切 即存在滿足條件的平行四邊形 故證 第二試 一 本題滿分50分 如圖 在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E F 滿足 BAE CAF 作FM AB FN AC M N是垂足 延長AE交三 角形ABC的外接圓于D 證明 四邊形AMDN與三角形ABC的面積相 等 證明 連MN 則由FM AM FN AN知A M F N四點(diǎn)共圓 且該圓的直徑為AF 又AMN AFN 但FAN MAD 故MAD AMN FAN AFN 90 MN AD 且由正弦定理 知 MN AFsinA SAMDN AD MN AD AFsinA 連BD 由ADB ACF DAB CAF 得 ABD AFC AD AB AC AF 即AD AF AB AC SAMDN AD AFsinA AB ACsinA SABC 二 本題滿分50分 設(shè)數(shù)列 a n 和 b n 滿足a0 1 a1 4 a2 49 且 n 0 1 2 證明a n n 0 1 2 是完全平方數(shù) 證明 7 7an 1 49an 42bn 21 6 6bn 1 48an 42bn 24 兩式相減得 6bn 1 7an 1 an 3 即6bn 7an an 1 3 代入 an 1 14an an 1 6 故an 1 14 an an 1 其特征方程為x2 14x 1 0 特征方程的解為x 7 4 故an 7 4 n 7 4 n 現(xiàn)a0 1 a1 4 a2 49 解得 an 7 4 n 7 4 n 2 2n 2 2n 2 n 2 n 2 由于 2 n 2 n 是整數(shù) 故知an是整數(shù)的平方 即為完全平方數(shù) 三 本題滿分50分 有n個人 已知他們中的任意兩人至多通電話一次 他們中的任意n 2個人之間通電話的次數(shù)相等 都是3 k次 其中k是自然數(shù) 求n的所 有可能值 解 由條件知 統(tǒng)計各n 2人組的通話次數(shù)都是3k次 共有C C個n 2人組 若某兩人通話1次 而此二人共參加了C C個n 2人組 即 每次通話都被