陳昊(一階電路的分析方法)初稿

學(xué)校編碼：15014 分類號(hào) 密級(jí) 學(xué)號(hào)： UDC 本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) xxxx(題目、居中、黑體、二號(hào)) 學(xué)生姓名：xxxx（楷體、三號(hào)、居中）所屬院部：xxxx（楷體、三號(hào)、居中）專 業(yè)：xxxx（楷體、三號(hào)、居中）指導(dǎo)教師：xxxx（楷體、三號(hào)、居中）年 月 日（Times New Roman、三號(hào)、居中）赤峰學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))原創(chuàng)性聲明茲呈交的畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立完成的研究成果。本人在論文(設(shè)計(jì))寫(xiě)作中參考的其他個(gè)人或集體的研究成果，均在文中以明確方式標(biāo)明。本人依法享有和承擔(dān)由此論文(設(shè)計(jì))而產(chǎn)生的權(quán)利和責(zé)任。聲明人（簽名）：指導(dǎo)教師（簽名）： 年 月 日一階電路的分析方法陳昊 （赤峰學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）摘要：本文主要討論了三種分析一階電路的的方法：1、利用基爾霍夫定律和電容、電感的關(guān)系及微積分的知識(shí)。2、三要素法進(jìn)行分析。3、利用拉普拉斯變換進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞：電流、電壓、節(jié)點(diǎn)、初始值、終了值、拉普拉斯變換、反拉普拉斯變換 對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的電路，當(dāng)電路的工作條件發(fā)生改變時(shí)，電阻電路和動(dòng)態(tài)電路的工作狀態(tài)都將隨之發(fā)生變化。電阻電路的變化可在瞬間完成，無(wú)需經(jīng)歷任何過(guò)程。但動(dòng)態(tài)電路的變化一般是一個(gè)漸變的過(guò)程，而不能在瞬間完成，這一漸變的過(guò)程稱為瞬態(tài)過(guò)程，處于瞬態(tài)過(guò)程中的狀態(tài)稱為瞬態(tài)。關(guān)于動(dòng)態(tài)電路，常以描述該電路性狀的微分方程的階數(shù)加以區(qū)別，對(duì)應(yīng)于一階微分方程的電路，稱為一階電路。只含有一個(gè)儲(chǔ)能元件（電感或電容）的電路就是一階電路。所謂瞬態(tài)過(guò)程的分析就是指對(duì)于給定的電路，當(dāng)電路或電源的接通與斷開(kāi)，電路連接結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)改變時(shí)計(jì)算出各支路中的電流或電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律。下面介紹三種分析一階瞬態(tài)電路的方法。1. 基爾霍夫定律分析法 利用基爾霍夫電流定律：對(duì)于任一節(jié)點(diǎn)，所有與之相邊的支路電流的代數(shù)和恒等于零，即：；電壓定律：對(duì)于任一回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零，即：；以及電感感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電流的關(guān)系：；電容的電壓與電容電流之間的關(guān)系來(lái)分析研究瞬態(tài)過(guò)程的一種方法。下面通過(guò)一具體的實(shí)例加以介紹： 在右圖的電路中，兩線圈的自感分別為L(zhǎng)1和L2，電阻為零，兩者之間無(wú)互感耦合，電源的內(nèi)阻已計(jì)入R中，設(shè)開(kāi)關(guān)閉合前各支路無(wú)電流，設(shè)t=0，開(kāi)關(guān)閉合，各支路電流如圖示則根據(jù)基爾霍夫定律有： 對(duì)以上各式整理有： 若令 則 很顯然這是一階微分方程，故該電路為一階電路。該微分方程可整理后計(jì)算得各支路電流為： 例如圖所示的RC電路,開(kāi)關(guān)原本接在1端，電路已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，設(shè)在t=0時(shí)，把S迅速投向二端（換路），則電路的響應(yīng)uc(t)、ic(t)和uR(t)將經(jīng)歷一個(gè)變化，最后達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，根據(jù)KVL,可以了出換路后的電路方程為 (1)方程的特解和外施激勵(lì)形式相同，為；對(duì)應(yīng)齊次方程的通解常為指數(shù)形式：。于是電容電壓全影響式中，A為積分常數(shù)，是電路的時(shí)間常數(shù)。由初始條件，可確定積分常數(shù)。最后得全響應(yīng) (2)把全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量的優(yōu)點(diǎn)，是對(duì)電路從穩(wěn)態(tài)暫態(tài)過(guò)程新的穩(wěn)態(tài)的物理變化規(guī)律了解得十分清楚。（2）式又可以寫(xiě)為： （3）其中第一項(xiàng)僅由電容的初始儲(chǔ)能引起，稱為零輸入響應(yīng)；第二項(xiàng)僅有外施激勵(lì)引起，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。2.三要素分析法一階電路是指只包含一個(gè)或者經(jīng)化簡(jiǎn)后只剩下一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的電路，.即該電路依據(jù)基爾霍夫定律列出的方程是一階的常微分方程。激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系可概括為下列形式: （1）式中: f(t)是任意激勵(lì)函數(shù)， y(t)是電路中任一響應(yīng)函數(shù)(電壓或電流). 是初始條件， a是電路的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定的常數(shù)由數(shù)學(xué)知識(shí)可知微分方程（1）的解為： （2） 式中：為電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它和激勵(lì)函數(shù)f(t)具有相同的形式，它就是非齊次微分方程式(1)的特解；為電路的暫態(tài)響應(yīng)，它就是式(1)所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，該齊次微分方程的特征方程為s + a = 0,所以特征根s = -a = , 其中為一階電路的時(shí)間常數(shù)，僅與電路的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，而與外施激勵(lì)無(wú)關(guān)。這樣電路的暫態(tài)相應(yīng)可寫(xiě)為 而電路的全響應(yīng)為 （3） 式中c為由初始條件決定的積分常數(shù)。 將t=0+ 的初始值代入（3）式可得： 所以 把c代入式（4）中得 (4) 這就是一階線性電路在任意激勵(lì)作用下，決定電路全響應(yīng)的一般公式。其中、分別代表響應(yīng)的初始值、穩(wěn)態(tài)值、穩(wěn)態(tài)初始值和電路的時(shí)間常數(shù)，而、稱為一階電路的“三要素”，只要求得了這三個(gè)要素，就可以根據(jù)式(4)直接寫(xiě)出電路全響應(yīng)的函數(shù)式。對(duì)階躍激勵(lì)而言有 式（4）變?yōu)?（5） 上式即為一階線性電路在階躍激勵(lì)作用下全響應(yīng)的“三要素法”的一般公式。 另外，在一階電路中，任一響應(yīng)的初始值都可以通過(guò)初始值等效電路來(lái)求得。通過(guò)求解一階電路中電容(或電感)元件以外線性電路的戴維南或諾頓等效電路，總可以找到一個(gè)等效電阻R，從而算出電路的時(shí)間常數(shù)：對(duì)RC電路：對(duì)RL電路：如圖示電路，設(shè)開(kāi)關(guān)S動(dòng)作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t 0時(shí)，開(kāi)關(guān)由a扳向b，下面分析電路中的電流 i 和iL隨時(shí)間變化的規(guī)律：計(jì)算初始值：由換路定理有：應(yīng)用基爾霍夫定律，在t=0+時(shí)的電路方程為： 解得： 計(jì)算穩(wěn)態(tài)值：由電路可得： 計(jì)算時(shí)間常數(shù)： 電感兩端的等效電阻為： 時(shí)間常數(shù)為： 根據(jù)三要素法則可得到： 例1 已知如圖電路，.求的電壓。解（1）求（2）畫(huà)出共用電路如圖2所示。由節(jié)點(diǎn)電壓法得：聯(lián)立解得： （1）（2）（3） 3.一階電路的拉普拉斯變換分析法3.1 在復(fù)頻域中電阻、電容、電感、電源的等效模型、電阻由于：兩邊取拉普拉斯變換則有： 則電阻的等效模型如上圖所示。、電容對(duì)于電容有： 兩邊取拉普拉斯變換則有： 故電容在復(fù)頻域可等效為一電源與復(fù)阻抗的串聯(lián)。、電感對(duì)于電感有： 兩邊取拉普拉斯變換有： 故電感在復(fù)頻域可等效為一電源與復(fù)阻抗的串聯(lián)。、電源對(duì)于電源，有：兩邊取拉普拉斯變換有： 電源在復(fù)頻域中仍為一電源。3.2 一階電路拉普拉斯變換分析法 對(duì)于電路首先從時(shí)域轉(zhuǎn)換為復(fù)域的運(yùn)算電路，計(jì)算出對(duì)應(yīng)在復(fù)域中的電流或電壓，再應(yīng)用拉普拉斯反變換，計(jì)算出在時(shí)域下的電流或電壓。下面通過(guò)一具體的實(shí)例加以介紹：在右圖所示的電路中，開(kāi)關(guān)S在t=0時(shí)由1位置合到2位置，設(shè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，下面討論 i 和uC隨時(shí)間變化的規(guī)律。開(kāi)關(guān)動(dòng)作前對(duì)于電容：在t 0 時(shí)電路在復(fù)頻域中的等效圖為：電流和的大小為：對(duì)和進(jìn)行拉普拉斯反變換有： A 例：電路如又圖所示。設(shè)輸入為正弦電壓，