江蘇省高三歷次模擬試題分類匯編：第13章空間向量與立體幾何

- 1 - 目錄 （基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分） 第十三章 空間向量與立體幾何 . 2 第 01課 空間向量與運(yùn)算 . 2 第 02課 空間向量與空間角的計(jì)算 . 2 - 2 - 第十三章 空間向量與立體幾何 第 01課 空間向量與運(yùn)算 第 02課 空間向量與空間角的計(jì)算 22 如圖，已知長方體 ， 3， 2， 5， E 是棱 不同于端點(diǎn)的點(diǎn)，且 （ 1） 當(dāng) 鈍角時(shí)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍； （ 2） 若 25，記二面角 E 的的大小為 ，求 | 22 解： （ 1） 以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由題設(shè)，知 B(2， 3， 0)， ， 0， 5)， C(0， 3， 0)， ， 3， 5) 因?yàn)?，所以 E(0， 3， 5) 從而 (2， 0， 5)， (2， 3， 5 5) 2 分 當(dāng) 鈍角時(shí)， 0， 所以 0，即 2 2 5(5 5) 0， 解得 15 45 即實(shí)數(shù) 的取值范圍是 (15， 45) 5 分 （ 2）當(dāng) 25時(shí)， (2， 0， 2)， (2， 3， 3) 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 (x， y， z)， 由 0， 0得 2x 2z 0，2x 3y 3z 0， 取 x 1， 得 y 53， z 1， 所以 平面 一個(gè)法向量為 (1， 53， 1) 7 分 易知，平面 一個(gè)法向量為 (1， 0， 0) （第 22 題圖） A B C D E 1 1 （第 22 題圖） x y z A B C D E 1 1 - 3 - 因?yàn)?| 1439 34343 ， 從而 | 34343 10 分 在如圖所示的多面體中，四邊形 正方形，四邊形 直角梯形， ， 面 （ 1）求證： 面 （ 2）求平面 平面 成的銳二面角的大小 （ 1）由已知， 兩垂直，可以 D 為原點(diǎn)， 在直線分別為 x 軸、 y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 1 分 設(shè) ，則 )0,0,0(D ， ),0,0( )0,( )0,2,0( 故 ),0,0( ， )0,( ， )0,( ， 2 分 因?yàn)?0 0 故 ， ， 即 ， ， 又 D C D Q D 4 分 所以 ， 面 5 分 （ 2）因?yàn)?面 所以可取平面 一個(gè)法向量 為 )1,0,0(1 n ， 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ),0,( 則 ),0( ， ),( ， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 ),(2 ，則 02 ， 02 ， A B C D P Q - 4 - 故,0,0,0,0 1 則 0x ， 故 )1,1,0(2 n 設(shè) 1n 與 2n 的夾角為 ，則2221|c 1 21 分 所以，平面 平面 成的銳二面角的大小為40 分 如圖，在長方體 A B C D A B C D 中， 2C， 1 ， 與 相交于點(diǎn) O ，點(diǎn) P 在線段 （點(diǎn) P 與點(diǎn) B 不重合） （ 1） 若異面直線 與 所成角的余弦值為 5555，求 長度 ； （ 2） 若 322求平面 與平面 所成角的正弦值 （ 1）以 為一組正交基底， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D ， 由題意，知 (0,0,0)D ， (2,0,1)A ， (2,2,0)B ， (0,2,1)C ， (1,1,1)O 設(shè) ( , ,0)P t t ， ( 1 , 1 , 1 )O P t t ， ( 2 , 0 ,1) . 設(shè) 異面直線 與 所成角為 ， 則22 ( 1 ) 1 55c o 1 ) 1 5O P B C B C t ， 化簡得 22 1 2 0 4 0 ，解得 23t或 27t， 2 23 2 27 5 分 （ 2） 322 33( , , 0)22P， A B C P D C D O B A A B C P D C D O B A y x z - 5 - M P D C B A （第 22 題） (0 , 2 ,1) ， (2, 2, 0 )， 13( , ,1)22， 31( , ,1)22 ， 設(shè)平面 的一個(gè)法向量為1 1 1 1( , , )n x y z， 110,0,n D B 11112 0 ,2 2 0 ,即 112,取1 1y ，1 (1, 1, 2)n ， 設(shè)平面 的一個(gè)法向量為2 2 2 2( , , )n x y z， 220,0,n P C 2 2 22 2 213 0,2231 0,22x y zx y z 即 2222,取2 1y ，2 (1,1,1)n ， 設(shè)平面 與平面 所成角為 ， 121222c o ， 7 10 分 如圖，在四棱錐 P ， 底面 面 邊長為 2 的 菱形， 60 ， 6， M 為 中點(diǎn) （ 1）求異面直線 成的角的大?。?（ 2）求平面 平面 成的二面角的正弦值 解：（ 1） 設(shè) 于點(diǎn) O，以 O 為頂點(diǎn)，向量 x， y 軸，平行于 方向向上的向量為 z 軸建立直角坐標(biāo)系 1 分 則 ( 1,0,0)A ， (1,0,0)C ， (0, 3, 0)B ， (0, 3,0)D ， ( 1, 0, 6)P ， 所以 6(0,0, )2M， 6( 0 , 3 , )2， (1, 3 , 6 ) ， 3 分 33c o s , 033 1 3 62M D P P P A 4 分 所以異面直線 成的角為 90 5 分 （ 2）設(shè)平面 法向量為1 1 1 1( , , )x y zn，平面 法向量為2 2 2 2( , , )x y zn， - 6 - 因?yàn)?( 1, 3 , 0 ) ， (1, 3 , 6 )， (0 , 0 , 6 )， 由1 1 11 1 1 13 0 ,3 6 0 ,C D x x y z y，得1 ( 3 ,1, 2 )n， 7 分 由222 2 2 26 0 ,3 0 ,P A x y z y ，得2 ( 3 , 1, 0)n， 8 分 所以1212123 1 6c o s , 662 以 12 30s i n , 6 10 分 （南通調(diào)研一） 如圖，在四棱錐 ，底面 平行四邊形，平面 平面 E， 90 （ 1）求異面直線 成角的 大小； （ 2）求二面角 余弦值 B A E D C - 7 - - 8 - （南京鹽城模擬一） 如圖，在直三棱柱1 1 1A B C A B C中， C ， 3， 4，動(dòng)點(diǎn) P 滿足1 ( 0 )C P C C當(dāng) 12時(shí)，1P （ 1）求棱1 （ 2）若二面角1B 的大小為3，求 的值 解：（ 1）以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 1x ， y ， z 軸， 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)1CC m， 則1(3, 0, )(3,0,0)B ， (0, 4, )， 所以1 (3, 0, )A B m， ( 3 , 4 , )P B m 2 分 當(dāng) 12時(shí)，有1 1( 3 , 0 , ) ( 3 , 4 , ) 02A B P B m m ， 解得 32m ，即棱12 4 分 （ 2）設(shè)平面 一個(gè)法向量為1 ( , , )n x y z， (3, 0, 0)， A B P 1 22 題圖 - 9 - 則由 110,0,AB n 得 3 0 ,3 4 3 2 0 ,xx y z 即 0,4 3 2 0 令 1z ，則 324y ，所以平面 一個(gè)法向量 為132( 0 , , 1 )4n 6 分 又平面1y 軸垂直，所以平面10,1, 0)n 因二面角1B 的平面角的大小為3， 所以 122321 4c o s ,2 32( ) 14，結(jié)合 0 ，解得 269 10 分 （蘇州期末） 如圖，已知正方形 矩形 在的平面互相垂直，2， 1. （ 1）求二面角 大??； （ 2）試在線段 確定一點(diǎn) P，使 成角為 60 . 1）如圖，以 正交基底建立空間直角坐標(biāo)系， 則 (0,0,1)E ， ( 2 , 0, 0)D ， (0, 2, 0)B ， ( 2 , 2 ,1)F 平面 法向量 (1, 0, 0)t ( 2 , 2 , 0 )， ( 2 , 0 ,1) 設(shè)平面 法向量 ( , , )n a b c ，則 0n ， 0n 2 2 0 ,2 0 , 令 1a ，得 1b ， 2c ， (1, 1, 2 )n 從而 (1 , 0 , 0 ) (1 , 1 , 2 ) 1c o s ,1 2 2 ， 顯然二面角 A 為銳角，故二面角 A 的大小為 60 （ 2）由題意，設(shè) ( , ,0)P a a (0 2 )a ， A B C F E D A B C F E D y z x - 10 - 則 ( 2 , 2 , 1 )P F a a ， ( 0 , 2 , 0 ) 成角為 60 ，22 ( 2 ) 1c o s 6 022 2 ( 2 ) 1 ， 解得 22a或 322a （舍），所以點(diǎn) P 在線段 中點(diǎn)處 （鎮(zhèn)江期末） 已知四棱錐 P 的底面為直角梯形， /D ， 90 ， 底面 且 1 12P A A D D C A B ， M 是 中點(diǎn) （ 1）證明：平面 平面 （ 2）求 成角的余弦值； （ 3）求平面 平面 成二面角（銳角）的余弦值 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 (0,0,0)A ， (1,0,0)D ， (0,0,1)P ， (0,2,0)B ， (1,1,0)C ， 1(0,1, )2M 1 分 （ 1）因?yàn)?(0, 0,1)， (0,1, 0)， 故 0C，所以 C 由題設(shè)知 C ， 且 平面 的兩條相交直線， 由此得 面 又 面 故平面 面 4 分 （ 2）因 (1,1, 0)， (0, 2, 1)， | | 2， | | 5， 2B， M P A D B C M P A D B C x y z - 11 - 10c o s , 5| | | |A C P P P B 7 分 （ 3）設(shè)平面 一個(gè)法向量為1 1 1 1( , , )n x y z， 則1n 1 1 1 1 1 111( , , ) ( 0 , 1 , ) 022n A M x y z y z 又1n 1 1 1 1 1 1( , , ) ( 1 , 1 , 0 ) 0n A C x y z x y ， 取1 1x，得1 1y ，1 2z ，故1 (1, 1, 2)n 同理可得面 一個(gè)法向量為2 (1,1,2)n 1212121 1 4 2c o s ,366 ， 平面 平面 成二面角（銳角）的余弦值為 23 10 分 （蘇北三市調(diào)研三） 如圖，在菱形 ， 2， 60 ，沿對角線 折起，使 A ，C 之間的距離為 6 ， 若 P ， Q 分別為線段 的動(dòng)點(diǎn) （ 1）求線段 度 的 最小值； （ 2） 當(dāng)線段 度最小 時(shí)，求 平面 成角的 正弦值 解：取 點(diǎn) E ，連結(jié) 則 D ， D ， 3A E C E， 6， 2 2 2A E C E A C ， 為直角三角形， E， 平面 2 分 以 ,C 別為 ,，建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 則 1 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 3B C A， 3 分 （ 1） 設(shè) ,0,0 , = 0 , 3 , 3C Q C A ， 則 , 3 , 0 0 , 3 , 3 , 3 3 , 3P Q P C C Q a a 222 2 2 2 2 133 3 3 6 6 3 6 22P Q a a a 5 分 當(dāng) 10,2a 時(shí)， 度最小值為 62 6 分 （ 2） 由 （ 1） 知 330 , ,22 ，設(shè)平面 一個(gè)法向量為 n= ,x y z A D P Q B C （第 22 題） A B C D - 12 - 由 n ,n 得 , , 1 , 0 , 3 0, , 1 , 3 , 0 0x y zx y z ，化簡得 3030，取 n 3, 1, 1 設(shè) 平面 成角為 ，則 3 1 0s i n | c o s , |56 52P Q n . 故直線 平面 成角的正弦值為 105. 10 分 （南京三模） 如圖 ， 四棱錐 P ， 面 D， 2 33 ， 1，2 （ 1）求異面直線 成角的余弦值； （ 2）求二面角 A C 的余弦值 解： （ 1）因?yàn)?面 面 面 所以 B， D 又 B， 故分別以 在直線為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 根據(jù)條件得 3 所以 B(1， 0， 0)， D(0， 3， 0)， C(1， 2 33 ， 0)， P(0， 0， 2) 從而 ( 1， 3， 0)， (1， 2 33 ， 2) 3 分 設(shè)異面直線 成角為 ， 則 | | |( 1， 3， 0) (1， 2 33 ， 2)2 193| 5738 即異面直線 成角的余弦值為 5738 5 分 （ 2）因?yàn)?面 以平面 一個(gè)法向量為 (1， 0， 0) 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 n (x， y， z)， P A B C D P A B C D x y z - 13 - 由 nn (1， 2 33 ， 2)， (0， 3， 2)， 得x 2 33 y 2z 0，3y 2z 0，解得x 23z，y 2 33 z不妨取 z 3，則得 n (2， 2 3， 3) 8 分 設(shè)二面角 A C 的大小為 ， 則 n n n (1， 0， 0) (2， 2 3， 3)1 5 25 即二面角 A C 的余弦值為 25 10 分 （鹽城三模） 如圖，已知四棱錐 P 的底面是菱形，對角線 ,D 交于點(diǎn) O ， 4，3， 4， 底面 設(shè)點(diǎn) M 滿足 ( 0 )P M M C. （ 1）當(dāng) 12時(shí)，求 直線 平面 成角的正弦值； （ 2）若二面角 M 的大小 為4，求 的值 . 解：（ 1）以 O 為 坐標(biāo) 原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系 O ，則 (4,0,0)A ， (0,3,0)B ， ( 4, 0, 0)C ， (0, 3,0)D ，(0,0,4)P ，所以 ( 4 , 0 , 4 )， (0, 6, 0 )， ( 4 , 3, 0 ) 2 時(shí)，得 48( , 0, )33M ，所以48( , 3 , )33，設(shè)平面 法向量 ( , , )n x y z ，則60483033yx y z ，得 0y ， 令 2x ，則 1z ，所以平面 一個(gè)法向量 (2, 0,1)n ， 所以 4 1 0c o s ,104 2 5P A n ，即直線 平面 成角的正弦值 1010. 5 分 （ 2）易知平面 一個(gè)法向量1 (0, 0,1)n . 設(shè) ( ,0, )M a b ，代入 C ，得 ( , 0 , 4 ) ( 4 , 0 , )a b a b ， D 14 - 解得4141 ，即 44( , 0 , )11M ，所以 44( , 3 , )11 ， 設(shè)平面 法向量2 ( , , )n x y z，則 4 3 0443011y z ， 消 去 y ，得 (2 1) ，令 1x ，則 21z ， 43y， 所以平面 一個(gè)法向量2 4(1, , 2 1)3n ， 所以22 2 12 161 ( 2 1 )9 ，解得 13或 43， 因?yàn)?0 ，所以 13. 10 分 （前黃姜堰四校聯(lián)考） 如圖，直三棱柱1 1 1A B C A B C中，底面是等腰直角三角形， 2A B B C，1 3 D 為11F 在線段1 （ 1） 若 平面1求 （ 2） 設(shè) 1，求平面1成的銳二面角的余弦值 解 ： （ 1）因?yàn)橹比庵? 1 1A B C A B C中，以 B 點(diǎn)為原點(diǎn)，1B A B C B B、 、分別為 x y z、 、 軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 . 因?yàn)?2A B B C ，所以( 0 0 0 ) , ( 2 , 0 0 )， ， 11( 0 2 , 0 ) , ( 0 0 3 ) , ( 2 , 0 3 ) ,C B A， ， ， ，1(02 )C , 所以1 ( 2 , 2 , 3 ). （第 23 題 ） C 1 D x y z - 15 - 設(shè) ,AF x 則 ( 2 , 0, )( 2