2020屆重慶南開中學(xué)高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2020屆重慶南開中學(xué)高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】化簡集合A，進(jìn)而求補(bǔ)集即可.【詳解】，又，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）A4B3C2D1【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡得到，再由題意，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，因此.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查由復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)，熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可，屬于基礎(chǔ)題型.3已知兩條直線與垂直，則（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意知，斜率都存在，因此利用斜率之積等于即可求得的值.【詳解】由題意知兩條斜率分別為，又兩條直線與垂直，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直的性質(zhì)，利用斜率都存在的兩條直線垂直，斜率之積等于，是基礎(chǔ)題.4已知，且，則實(shí)數(shù)（ ）A-1B1C3D2【答案】A【解析】利用即可得到結(jié)果.【詳解】，又，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于?？碱}型.5“”是直線不過第二象限的（ ）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)充分性與必要性的定義即可作出判斷.【詳解】直線可化為：，直線過定點(diǎn)，如圖所示：“”是直線不過第二象限的充要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.6正方體，分別為,中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】D【解析】首先找到異面直線的夾角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相應(yīng)的值【詳解】正方體，分別為,中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接、，易知：，為異面直線與所成角，設(shè)，則，cosFD1N異面直線與所成角的余弦值為，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)：異面直線的夾角，勾股定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題7明代數(shù)學(xué)家程大位在算法統(tǒng)宗中提出如下問題“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意思是將996斤綿分給八個(gè)人，從第二個(gè)人開始，每個(gè)人分得的綿都比前一個(gè)人多17斤，則第八個(gè)人分得綿的斤數(shù)為（ ）A150B167C184D201【答案】C【解析】設(shè)第一個(gè)孩子分配到a1斤錦，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：7996，從而得到a165，由此能求出第八個(gè)孩子分得斤數(shù)【詳解】解：設(shè)第一個(gè)孩子分配到a1斤錦，則由題意得：7996，解得a165，第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為a865+717184故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的第八項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用8設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用反例法與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可作出判斷.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)對于A，不成立；對于B，不成立；對于D，不成立；而對于C，成立，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)和運(yùn)用，考查反例法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題9若直線與相切，則實(shí)數(shù)（ ）A2BCD【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為：求出在此點(diǎn)處的切線方程，對比，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為： ，在此點(diǎn)處的切線方程為： ，即 ，解得，故選：B【點(diǎn)睛】本題以直線與曲線相切為載體，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，解題的關(guān)鍵是正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義10已知點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，且僅在處取得最大值，則的范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)已知的約束條件，畫出滿足約束條件的可行域，再用圖象判斷，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值【詳解】解：畫出可行域如圖所示，其中A（，），B（3，1），C（1，3），若目標(biāo)函數(shù)zax+y僅在點(diǎn)（，）取得最大值，由圖知，直線zax+y的斜率小于直線x+y4的斜率， 即a1，解得a（1，+）故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是線性規(guī)劃，處理的思路為：借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想11拋物線與過點(diǎn)的直線交于，若存在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)滿足，則的最大值為（ ）A2B3CD【答案】D【解析】設(shè)直線的方程為：，代入拋物線方程可得：，又有可得，從而可得：，方程有解可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的方程為：，代入拋物線方程可得：，設(shè)A（，）、B（，）， 由可得：，聯(lián)立方程： ，可得，又，此時(shí) 即， ，即 ，的最大值為，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.12由排成的數(shù)表如下：數(shù)表中每一行均構(gòu)成等差數(shù)列，各行的首項(xiàng)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列；且第行的末項(xiàng)恰為前行的首項(xiàng)的和（例如）.若有，則的前項(xiàng)和為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意知：，從而得到，即，由，得，即可得到的前項(xiàng)和.【詳解】由題意知：，第行：，即，又，又， 數(shù)表：24，68，10，12，14 ，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：，故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，注意尋找規(guī)律，是中檔題.二、填空題13數(shù)列滿足滿足，則_.【答案】【解析】利用累加法及裂項(xiàng)相消法，即可得到結(jié)果.【詳解】 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)公式的求法，涉及累加法、裂項(xiàng)相消法，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于?？碱}型.14已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_.【答案】8【解析】利用，即可得到的取值范圍.【詳解】正實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即，的最小值為8，故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式的應(yīng)用，考查一元二次不等式的解法，考查變形能力與計(jì)算能力，屬于?？碱}型.15已知函數(shù)在處取得最大值，則_.【答案】【解析】由題意可得，代入即可得到結(jié)果【詳解】函數(shù)在處取得最大值，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與三角恒等變換，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題16已知非零平面向量，滿足，且，則的最大值為_.【答案】1【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可設(shè)：，可得，而，利用均值不等式即可得到結(jié)果【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可設(shè)：， ，而，即的最大值為1，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，均值不等式，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題三、解答題17已知的內(nèi)角，所對的邊分別為，且，且.（1）求；（2）若，求的面積【答案】（1）或（2）【解析】（1）由題意可得，結(jié)合正弦定理可得，從而得到結(jié)果；（2）由于，所以，結(jié)合余弦定理可得，利用面積公式可得答案【詳解】（1）因?yàn)?，則從而，（2）由于，所以，又余弦定理：，解得，所以面積為【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示，由三角函數(shù)值班求角，正余弦定理，三角形的面積公式等知識的綜合運(yùn)用18已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，成等比數(shù)列，且.（1）求；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意列出基本量的方程組，即可得到通項(xiàng)公式；（2）利用可得，結(jié)合錯位相減法可得結(jié)果【詳解】（1）解得，而，所以，（2）由于，則.相減得，又有，從而.則，相減得：得【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查采用錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題19某工廠生產(chǎn)一批零件，為了解這批零件的質(zhì)量狀況，檢驗(yàn)員從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本進(jìn)行檢測，將它們的重量（單位：g）作為質(zhì)量指標(biāo)值由檢測結(jié)果得到如下頻率分布直方圖分組頻數(shù)頻率8160.1640.04合計(jì)1001（1）求圖中的值；（2）根據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：零件重量小于47或大于53為不合格品，重量在區(qū)間和內(nèi)為合格品，重量在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品已知每件產(chǎn)品的檢測費(fèi)用為5元，每件不合格品的回收處理費(fèi)用為20元以抽檢樣本重量的頻率分布作為該零件重量的概率分布若這批零件共件，現(xiàn)有兩種銷售方案：方案一：不再檢測其他零件，整批零件除對已檢測到的不合格品進(jìn)行回收處理，其余零件均按150元/件售出；方案二：繼續(xù)對剩余零件的重量進(jìn)行逐一檢測，回收處理所有不合格品，合格品按150元/件售出，優(yōu)質(zhì)品按200元/件售出僅從獲得利潤大的角度考慮，該生產(chǎn)商應(yīng)選擇哪種方案？請說明理由【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，選方案一；當(dāng)時(shí)，選方案二【解析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得到，根據(jù)頻率之和為，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題中條件，得到兩種方案下的總收入，比較兩收入的大小，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得：，又頻率之和為，則；（2）該工廠若選方案一：可收入元；若選方案二：一件產(chǎn)品的平均收入為元，故總收入元；，故當(dāng)時(shí)，選方案一；當(dāng)時(shí)，選方案二【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)全頻率分布直方圖，以及由頻率分布直方圖解決實(shí)際問題，熟記頻率的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.20已知離心率為的橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的動點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，面積為.（1）求橢圓的方程；（2）的內(nèi)角平分線交軸于，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用已知條件，求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓C的方程；（2）設(shè)，則直線：；：,利用點(diǎn)到直線的距離，建立等量關(guān)系，從而得到，表示目標(biāo)即可.【詳解】（1），解得，所以方程為.（2）設(shè)，則直線：；：設(shè)，由于是角平分線，從而，由于，則.化簡得；則.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力21已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若極大值大于1，求的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）由（1），和時(shí)，無極大值，不成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)分別利用極大值大于1，建立不等關(guān)系即可.【詳解】（1）時(shí)，在單減，單增，極小值點(diǎn)為；時(shí)，在單增，單減，單增，極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；時(shí)，在單增，無極值點(diǎn)；時(shí)，在單增，單減，單增，極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為.（2）由（1），和時(shí)，無極大值，不成立當(dāng)時(shí)，極大值，解得，由于，所以.當(dāng)時(shí)，極大值，得，令，則，在取得極大值，且.而，,而在單增，所以解為，則.綜上.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的極值點(diǎn)與極值的概念等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力與創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性22在極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，過圓的圓心作傾斜角的直線.（1）寫出圓的普通方程和直線的參數(shù)方程；（2）直線分別與，軸交于，求最大值和面積的最小值.【答案】（1）圓的普通方程為，圓心為，（為參數(shù)）（2）無最大值，面積最小為【解析】（1）由題意圓的普通方程和直線的參數(shù)方程；（2）分別令，得，表示與面積，借助三角知識與重要不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）圓的普通方程為，圓心為直線的參數(shù)方程為（2）分別令，得，當(dāng)最小時(shí)取最大，由于，.所以，無最大值.時(shí)，時(shí)，則面積為，時(shí)取等號.【點(diǎn)睛】本題考查圓的普通方程，直線的參數(shù)方程的