第1課時兩個計數(shù)原理教師版

1 計數(shù)原理 概率與統(tǒng)計計數(shù)原理 概率與統(tǒng)計 第第 1 1 課時課時 兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理 考綱要求考綱要求 1 理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 2 會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題 學情自測學情自測 1 辨析題 1 在分類加法計數(shù)原理中 兩類不同方案中的方法可以相同 2 在分類加法計數(shù)原理中 每類方案中的方法都能直接完成這件事 3 在分步乘法計數(shù)原理中 每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的 4 在分步乘法計數(shù)原理中 事情是分兩步完成的 其中任何一個單獨的步驟都能完成這件 事 5 教材習題改編 三個人踢毽 互相傳遞 每人每次只能踢一下 由甲開始踢 經(jīng)過 5 次 傳遞后 毽又被踢回給甲 則不同的傳遞方式共有 10 種 6 用數(shù)字 2 3 組成四位數(shù) 且數(shù)字 2 3 至少都出現(xiàn)一次 這樣的四位數(shù)共有 14 個 答案 答案 1 1 4 4 錯 錯 2 2 3 3 5 5 6 6 對 對 2 有不同的語文書 9 本 不同的數(shù)學書 7 本 不同的英語書 5 本 從中選出不屬于同一學 科的書 2 本 則不同的選法有 C A 21 種 B 315 種 C 143 種 D 153 種 3 已知 a 1 2 3 b 0 1 3 4 r 1 2 則方程 x a 2 y b 2 r2所表示的不同的圓 的個數(shù)有 A A 3 4 2 24 B 3 4 2 14 C 3 4 2 14D 3 4 2 9 4 5 位同學報名參加兩個課外活動小組 每位同學限報其中的一個小組 則不同的報名方 法有 D A 10 種 B 20 種 C 25 種 D 32 種 5 某通訊公司推出一組手機卡號碼 卡號的前七位數(shù)字固定 從 0000 到 9999 共 10 000 個號碼 公司規(guī)定 凡卡號的后四位帶有數(shù)字 4 或 7 的一律作為 優(yōu)惠卡 則這組號碼中 優(yōu)惠卡 的個數(shù)為 C A 2 000 B 4 096 C 5 904 D 8 320 解析解析 若卡號后四位數(shù)沒有 4 且沒有 7 這樣的卡的個數(shù)為 84 4 096 優(yōu)惠卡的個數(shù)為 10 000 4 096 5 904 個 故選 C 6 在 1 到 20 這 20 個整數(shù)中 任取兩個相減 差大于 10 共有 45 種取法 7 4 張卡片的正 反面分別有 0 與 1 2 與 3 4 與 5 6 與 7 將其中 3 張卡片排放在一起 2 可組成 個不同的三位數(shù) N 7 6 4 168 個數(shù) 在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是用分步乘法計數(shù)原理 提示 如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事 應該用分類加法計數(shù)原 理 如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分 就用分步乘法計數(shù)原理 互互 動動 探探 究究 探究一探究一 兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理 例例 1 1 2013 福建 滿足 且關于 x 的方程有實數(shù)解 1 0 1 2a b 2 20axxb 的有序數(shù)對的個數(shù)為 B a b A 14B 13C 12D 10 2 2014 福建 用 a 代表紅球 b 代表藍球 c 代表黑球 由加法原理及乘法原理 從 1 個 紅球和 1 個藍球中取出若干個球的所有取法可由 1 a 1 b 的展開式 1 a b ab 表示出來 如 1 表示一個球都不取 a 表示取出一個紅球 而 ab 則表示把紅球和藍球都取 出來 依此類推 下列各式中 其展開式可用來表示從 5 個無區(qū)別的紅球 5 個無區(qū)別的藍球 5 個有區(qū)別的黑球中取出若干個球 且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是 A A 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 B 1 a5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c 5 C 1 a 5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c5 D 1 a5 1 b 5 1 c c2 c3 c4 c5 3 在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中 與正八邊形有公共邊的有 個 解析解析 根據(jù)題意 滿足條件的三角形分為兩類 第一類 與正八邊形有兩條公共邊的三角形有 8 個 第二類 與正八邊形有一條公共邊 的三角形有 8 4 32 個 由分類加法計數(shù)原理 滿足條件的三角形有 8 32 40 個 4 已知數(shù)列 an 是公比為 q 的等比數(shù)列 集合 A a1 a2 a10 從 A 中選出 4 個 不同的數(shù) 使這 4 個數(shù)成等比數(shù)列 這樣得到 4 個數(shù)的不同的等比數(shù)列的個數(shù)為 解析解析 當公比為 q 時 滿足題意的等比數(shù)列有 7 種 當公比為 時 滿足題意的等比數(shù)列 1 q 有 7 種 當公比為 q2時 滿足題意的等比數(shù)列有 4 種 當公比為時 滿足題意的等比數(shù) 1 q2 列有 4 種 當公比為 q3時 滿足題意的等比數(shù)列有 1 種 當公比為時 滿足題意的等比 1 q3 數(shù)列有 1 種 因此滿足題意的等比數(shù)列共有 7 7 4 4 1 1 24 種 例例 2 1 5 名旅客投宿到一個旅店的 3 個房間 問共有多少種不同的住店方法 35 2 5 名學生爭奪 3 項比賽的冠軍 獲得冠軍的可能情況種數(shù)有多少 53 3 3 2011 蘇州模擬 直線方程Ax By 0 若從 1 2 3 6 7 8 這六個數(shù)字中每次取兩 個不同的數(shù)作為A B的值 則表示不同直線的條數(shù)是 26 條 解析解析 先不考慮重合的直線 共有 6 5 30 條直線 其中當A 1 B 2 和 A 3 B 6 A 2 B 1 和A 6 B 3 A 1 B 3 和A 2 B 6 A 3 B 1 和 A 6 B 2 時 兩直線重合 故不重合的直線有 30 4 26 條 探究二探究二 兩個計數(shù)原理的綜合應用兩個計數(shù)原理的綜合應用 例例 3 3 1 如圖 一個地區(qū)分為 5 個行政區(qū)域 現(xiàn)給地圖著色 要求相鄰區(qū)域不得使用同一 顏色 現(xiàn)有 4 種顏色可供選擇 則不同的著色方法共有 種 用數(shù)字作答 解析解析 區(qū)域 1 有 C 種著色方法 區(qū)域 2 有 C 種著色方法 區(qū)域 3 1 41 3 有 C 種著色方法 區(qū)域 4 5 有 3 種著色方法 4 與 2 同色有 2 種 4 1 2 與 2 不同色有 1 種 共有 4 3 2 3 72 種不同著色方法 2 2010 天津 如圖 10 1 1 用四種不同顏色給圖中的 A B C D E F 六個點 涂色 要求每個點涂一種顏色 且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色 則不同的涂 色方法共有 A 288 種 B 264 種 C 240 種 D 168 種 思路點撥思路點撥 解答本題應注意兩點 每一個點都有可以和它同色的兩個點 涂色的順序不同影響解題的難度 可先涂 A D E 再分類涂 B F C 解析解析 先涂 A D E 共有 4 3 2 24 種涂法 然后再按 B C F 的順序涂 色 分為兩類 一類是 B 與 E 或 D 同色 共有 2 2 1 1 2 8 種涂法 另一 類是 B 與 E 或 D 不同色 共有 1 1 1 1 2 3 種涂法 故涂色方法共有 24 8 3 264 種 3 用紅黃藍三種顏色給如圖所示的六連圓涂色 若每種顏色只能涂兩個圓 且相鄰兩個圓 所涂顏色不能相同 則不同的涂色方案共有 C A 18 個 B 24 個 C 30 個 D 36 個 解析解析 由題意知每種顏色涂兩個圓 共有 5 類 每類 A 種涂法 所以總數(shù)為 5A 30 3 33 3 故選 C 注 將六圓依次編號 可分如下 5 類 4 如果一個三位正整數(shù)如 a1a2a3 滿足 a1a3 則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù) 如 120 343 275 等 那么所有凸數(shù)的個數(shù)為 A A 240 B 204 C 729 D 920 解析解析 若若 a2 2 則 則 凸數(shù)凸數(shù) 為為 120 與與 121 共 共 1 2 2 個 個 若若 a2 3 則 則 凸數(shù)凸數(shù) 有有 2 3 6 個 個 若若 a2 4 滿足條件的 滿足條件的 凸數(shù)凸數(shù) 有有 3 4 12 個 個 若若 a2 9 滿足條件的 滿足條件的 凸數(shù)凸數(shù) 有有 8 9 72 個 個 4 所有凸數(shù)有所有凸數(shù)有 2 6 12 20 30 42 56 72 240 個個 鞏鞏 固固 提提 高高 一 選擇題一 選擇題 1 2011 廣州模擬 已知集合 A 1 2 3 4 B 5 6 7 C 8 9 現(xiàn)在從這三個集合中取 出兩個集合 再從這兩個集合中各取出一個元素 組成一個含有兩個元素的集合 則一 共可組成多少個集合 C A 24 B 36 C 26 D 27 解析解析 分三類 第一類 若取出的集合是 A B 則可組成 C C 12 個集合 第二類 1 4 1 3 若取出的集合是 A C 則可組成 C C 8 個集合 第三類 若取出的集合是 B C 則可 1 4 1 2 組成 C C 6 個集合 故一共可組成 12 8 6 26 個集合 1 3 1 2 2 2011 大綱全國 某同學有同樣的畫冊 2 本 同樣的集郵冊 3 本 從中取出 4 本贈送給 4 位朋友 每位朋友 1 本 則不同的贈送方法共有 B A 4 種 B 10 種 C 18 種 D 20 種 解析解析 依題意 就所剩余的一本畫冊進行分類計數(shù) 第一類 剩余的是一本畫冊 此時滿 足題意的贈送方法共有 4 種 第二類 剩余的是一本集郵冊 此時滿足題意的贈送方法共 有 C 6 種 因此 滿足題意的贈送方法共有 4 6 10 種 選 B 2 4 3 如圖所示的陰影部分由方格紙上 3 個小方格組成 我們稱這樣的圖案 為 L 型 每次旋轉 90 仍為 L 形圖案 那么在由 4 5 個小方格組成的方 格紙上可以畫出不同位置的 L 形圖案的個數(shù)是 C A 16 B 32 C 48D 64 解析解析 每四個小正方形圖案 都可畫出四個不同的 L 形圖案 該圖中共有 12 個這樣的正 方形 故可畫出不同位置 L 形圖案的個數(shù)為 4 12 48 個 4 2012 四川 方程中的 且互不相同 22 ayb xc 3 2 0 1 2 3 a b c a b c 在所有這些方程所表示的曲線中 不同的拋物線共有 B A 60 條 B 62 條 C 71 條 D 80 條 解析解析 本題可用排除法 6 選 3 全排列為 120 這些方程所表示 3 2 0 1 2 3 a b c 的曲線要是拋物線 則且 要減去 又和時 0a 0b 402 2 5 A22或 b33或 b 方程出現(xiàn)重復 用分步計數(shù)原理可計算重復次數(shù)為 所以不同的拋物線共有18233 120 40 18 62 條 故選 B 5 5 有 4 位教師在同一年級的 4 個班中各教一個班的數(shù)學 在數(shù)學檢測時要求每位教師不能 在本班監(jiān)考 則監(jiān)考的方法有 B A 8 種 B 9 種 C 10 種 D 11 種 解析解析 法一 設四位監(jiān)考教師分別為 A B C D 所教的班分別為 a b c d 假設 A 監(jiān)考 b 則余下三人監(jiān)考剩下的三個班 共有 3 種不同方法 同時 A 監(jiān)考 c d 時 也分別 有 3 種不同方法 由分類加法計數(shù)原理共有 3 3 3 9 種 法二 班級按 a b c d 的順序依次排列 為避免重復或遺漏現(xiàn)象 教師的監(jiān)考順序可用 樹形圖 表示如下 共有 9 種不同的監(jiān)考方法 6 如圖 一環(huán)形花壇分成 A B C D 四塊 現(xiàn)有 4 種不同的花供選種 要求在每塊里 種 1 種花 且相鄰的 2 塊種不同的花 則不同的種法總數(shù)為 B A 96 B 84 C 60 D 48 解析解析 可依次種 A B C D 四塊 當 C 與 A 種同一種花時 有 4 3 1 3 36 種 種法 當 C 與 A 所種花不同時 有 4 3 2 2 48 種種法 由分類加法計數(shù)原理 不同的種法種數(shù)為 36 48 84 7 在某種信息傳輸過程中 用 4 個數(shù)字的一個排列 數(shù)字允許重復 表示一個信息 不同排 列表示不同信息 若所用數(shù)字只有 0 和 1 則與信息 0110 至多有兩個對應位置上的數(shù) 字相同的信息個數(shù) B A 10 B 11 C 12 D 15 解析解析 若 4 個位置的數(shù)字都不同的信息個數(shù)為 1 若恰有 3 個位置的數(shù)字不同的信息 個數(shù)為 C 若恰有 2 個位置上的數(shù)字不同的信息個數(shù)為 C 3 42 4 由分類加法計數(shù)原理知滿足條件的信息個數(shù)為 1 C C 11 3 42 4 二 填空題二 填空題 8 如圖所示 在 A B 間有四個焊接點 若焊接點脫落 則可能導致電路不通 今發(fā)現(xiàn) A B 之間線路不通 則焊接點脫落的不同情況有 種 答案答案 13 6 解析解析 四個焊點共有 24種情況 其中使線路通的情況有 1 4 都通 2 和 3 至少有一 個通時線路才通共有 3 種可能 故不通的情況有 24 3 13 種 可能 9 現(xiàn)安排一份 5 天的工作值班表 每天有一個人值日 共有 5 個人 每個人都可以值多天 或不值班 但相鄰兩天不能同一個人值班 則此值日表共有 種不同的排法 解析解析 完成一件事是安排值日表 因而需一天一天地排 用分步計數(shù)原理 分步進行 第 一天有 5 種不同排法 第二天不能與第一天已排人的相同 所以有 4 種不同排法 依次類 推 第三 四 五天都有 4 種不同排法 所以共有 5 4 4 4 4 1 280 種不同的排法 10 2012 河北石家莊一模 用直線 y m 和直線 y x 將區(qū)域 x2 y2 6 分成若干塊 現(xiàn)在 用 5 種不同的顏色給這若干塊染色 每塊只染一種顏色 且任意兩塊不同色 若共有 120 種不同的染色方法 則實數(shù) m 的取值范圍是 答案答案 33 解析解析 作出圖像 可知 y x 與 x2 y2 6 交點的縱坐標為 y 當 m 時 333 兩條直線將圓面分成 4 部分 從 5 種不同顏色的染料中選擇 4 種對其染色 有 A 120 4 5 種不同的染色方法 符合題意 11 甲 乙 丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中參加某項志愿者活動 要求每人參 加一天且每天至多安排一人 并要求甲安排在另外兩位前面 不同的安排方法有 種 解析解析 分三類 甲在周一 共有 A 種排法 甲在周二 共有 A 種排法 甲在周三 2 42 3 共有 A 種排法 不同的安排方法共有 A A A 20 種 2 22 42 32 2 12 如圖 10 1 2 所示的四棱錐S ABCD 用 5 種不同顏色給點A B C D S涂色 要 求每個點涂一種顏色 且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色 則不同的涂色方法共有 420 種 解析解析 先涂頂點S 有 5 種涂法 再按照A B C D的順序涂 分兩類 第一類 A與C同色 不同的涂色方法有 4 3 3 36 種 第二類 A與 C不同色 不同的涂色方法有 4 3 2 2 48 種 根據(jù)分步乘法計數(shù)原 理共有 5 36 48 420 種不同的涂色方法 13 2011 青島模擬 漸升數(shù) 是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù) 如 1 458 若把 7 四位 漸升數(shù) 按從小到大的順序排列 則第 30 個數(shù)為 解析解析 漸升數(shù)由小到大排列 形如 12 的漸升數(shù)共有 6 5 4 3 2 1 21 個 如 123 個位可從 4 5 6 7 8 9 六個數(shù)字選一 個 有 6 種等 形如 13