以數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事為載體的數(shù)學(xué)文化滲透.doc

以數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事為載體的數(shù)學(xué)文化滲透 野寨中學(xué) 黃開宇 張奠宙先生認為“數(shù)學(xué)文化必須走進課堂”數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵往往以潛移默化的形式存在，只有教師有意識地將文化觀念滲透于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，才能讓學(xué)生感悟這種“看不見的文化”如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中體驗數(shù)學(xué)文化，受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化教育功能，是課程改革提出的新問題作為從事一線教學(xué)的數(shù)學(xué)教師，同時也是課改的踐行者，我嘗試探索數(shù)學(xué)文化在高中課堂教學(xué)中的滲透方式和可行的教學(xué)策略，使之應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)高效性，筆者認為，將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是進行數(shù)學(xué)文化滲透的有效途徑之一 數(shù)學(xué)史不僅僅是單純的數(shù)學(xué)成就的編年記錄，因為數(shù)學(xué)的發(fā)展決不是一帆風(fēng)順的，在更多的情況下是充滿猶豫、徘徊、經(jīng)歷艱難曲折，甚至面臨危機從某種意義上說，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)家們克服困難和戰(zhàn)勝危機的斗爭記錄無理量的發(fā)現(xiàn)、微積分和非歐幾何的創(chuàng)立，乃至費馬大定理的證明等等，這些例子在數(shù)學(xué)史上不勝枚舉，它們可以幫助人們了解數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真實過程，而這種過程往往在通常的教科書中是以定理到定理的形式被包裝起來的教學(xué)中適當(dāng)將它們打開，對于這種創(chuàng)造過程的了解可以使我們從前人的探索與奮斗中汲取教益，獲得鼓舞和增強信心有經(jīng)驗的教師都知道，學(xué)生在開始接觸“用字母表示數(shù)”的觀念，以及虛數(shù)、微積分、負數(shù)等概念時，很容易感到困惑，因為這正是數(shù)學(xué)對象含義發(fā)生變化的時期今天學(xué)生們理解上的困惑，在一定意義上正是歷史上思想困惑的邏輯“重演”因此考察數(shù)學(xué)對象的歷史演變，總結(jié)前人在理解數(shù)學(xué)對象演變時的經(jīng)驗教訓(xùn)，無疑對今天的數(shù)學(xué)教育有著重要的啟發(fā)意義在數(shù)學(xué)教育中，筆者通過對歷史的研究，把握歷史上出現(xiàn)的、現(xiàn)在可能在課堂中重新出現(xiàn)的各種困難甚至障礙，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本文是筆者在課堂教學(xué)中講授數(shù)學(xué)史、講授數(shù)學(xué)家的故事來滲透課堂文化所做一些探究案例l：復(fù)數(shù)概念學(xué)習(xí)中介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展史復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)是數(shù)的概念的又一次擴充，由于剛剛接觸復(fù)數(shù)，很多學(xué)生感覺不易理解、無法接受，這時他們往往把原因歸咎予自身的智力，甚至對自己的學(xué)習(xí)能力產(chǎn)生懷疑如果能讓學(xué)生了解他們遇到的困難也正是在18世紀困擾著當(dāng)時數(shù)學(xué)界的難題，他們遇到的困惑也曾經(jīng)同樣困擾著很多偉大的數(shù)學(xué)家，那么通過還原歷史的原貌，可以使他們更加親近數(shù)學(xué)，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，我指導(dǎo)學(xué)生利用圖書館、互聯(lián)網(wǎng)搜集信息，了解數(shù)的發(fā)展歷史，如：數(shù)學(xué)史上的三次危機，數(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家的故事等，在課外查找資料過程本身就是學(xué)生的一個探究學(xué)習(xí)的過程在課堂教學(xué)中讓學(xué)生通過網(wǎng)頁來講故事：1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在所著的重要的藝術(shù)的第37章中，列出并解出了把10分成兩部分，使其乘積為40的問題，方程是x(10x)=40他求得根為和然后說，“不管會受到多大的良心責(zé)備”，把和相乘，得乘積為，即40卡爾丹在解三次方程時，又一次運用了負數(shù)的平方根卡爾丹肯定了負數(shù)的平方根的用處數(shù)學(xué)家為此創(chuàng)造了“虛數(shù)”，以符號表示，并規(guī)定，-1的平方根當(dāng)然就是了這樣一來，負數(shù)開平方的難題就迎刃而解這就是科學(xué)的創(chuàng)新精神然而，用表示虛數(shù)的單位，卻是直到18世紀著名的數(shù)學(xué)家歐拉提出的，這看似簡單的符號卻經(jīng)歷了兩百多年才出現(xiàn)，這就是數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛歷程“實數(shù)”、“虛數(shù)”這兩個詞是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在1637年率先提出來的后人在這兩個成果的基礎(chǔ)上，把實數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，記為的形式，稱為復(fù)數(shù)在虛數(shù)剛進入數(shù)的領(lǐng)域時，人們對它的用處一無所知實際生活中也沒有用復(fù)數(shù)來表示的量，因而，最初人們對虛數(shù)產(chǎn)生懷疑和不接受的態(tài)度18世紀對于“虛數(shù)”的爭論讓很多數(shù)學(xué)家非常困惑，到19世紀仍然對此爭論不休對于，柯西說：“我們可以毫無遺憾地完全否定和拋棄一個我們不知道它表示什么，也不知道應(yīng)該讓它表示什么的數(shù)，”哈密爾頓也置疑“在這樣一種基礎(chǔ)上，哪里有什么科學(xué)可言”大數(shù)學(xué)家歐拉對于虛數(shù)概念也是不甚了了在代數(shù)學(xué)引論中，他寫道：“因為所有可以想象的數(shù)要么大于零，要么小于零，要么等于零，所以負數(shù)的平方根顯然是不能包含在這些數(shù)之中的因此我們必須說，它們是不可能的數(shù).它們通常被稱為想象的數(shù)，因為它們只存在于想象之中”有趣的是，對此抱否定態(tài)度的愛因斯坦，卻恰恰是他先把復(fù)數(shù)運用到了物理學(xué)領(lǐng)域課堂中學(xué)生了解這些史實，有效地增進他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，讓他們感覺數(shù)學(xué)并不是一種神化的科學(xué)當(dāng)數(shù)學(xué)沿著歷史的臺階走下神壇時，也揭開了數(shù)學(xué)文化神秘的面紗案例2：數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何教學(xué)中的滲透數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”數(shù)與形互相結(jié)合的思想使代數(shù)與幾何相結(jié)合，也就是在解決數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的背景，借助于“形”去觀察“數(shù)”，借助于“數(shù)”去思考“形”，用代數(shù)方法解決幾何問題，用幾何方法解決代數(shù)問題，將數(shù)與形統(tǒng)一起來勾股定理是我國最早的將數(shù)與形結(jié)合的典范，法國數(shù)學(xué)家韋達(1540一1603)，笛卡爾(15961650)等在數(shù)形結(jié)合方面都取得了突出的成就在教學(xué)中，可以針對具體內(nèi)容進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透解析幾何教學(xué)是進行數(shù)形結(jié)合思想滲透的一個良好的切入點，課堂上我向?qū)W生介紹以下一些數(shù)學(xué)思想史：由于17世紀笛卡爾借助坐標系建立起平面上的點和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，所以才使用方程表示曲線變成可能解析幾何的出現(xiàn)將空間形式的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究如兩點間的距離，如果兩點的坐標、給定，則其距離就表示為一個代數(shù)式，于是幾何學(xué)上兩點之間的測量問題就轉(zhuǎn)化成代數(shù)學(xué)上求一個代數(shù)式的值的問題笛卡爾創(chuàng)立了坐標系，才使負數(shù)有了幾何解釋，負數(shù)才得到公認在這以前，中國的負數(shù)概念出現(xiàn)的很早，而國外的負數(shù)概念出現(xiàn)得很晚，致使許多科學(xué)家一直采取不承認的態(tài)度，認為它是“荒謬的”歷史上一些長期得不到解決的幾何問題，借助于代數(shù)方程，得到了結(jié)論，如用尺規(guī)作圖三等分任意角問題，作二倍立方體的問題等，被證明是尺規(guī)作圖不可能解決的問題反過來，代數(shù)借用幾何的術(shù)語，與幾何進行類比，得以迅速的發(fā)展，例如線性代數(shù)借用幾何的空間、線性的概念，獲得了強大的生命力在解析幾何教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想的運用是無需過多贅言的，而對于代數(shù)問題的解決，如果能夠利用“形”的作用，其效果要比純理論的推演，繁瑣的論證要好得多，以下面兩個例子來說明例1：設(shè)，求證簡析：用代數(shù)方法不易證得，借用幾何圖形解1：左邊配方聯(lián)想到兩點間距離公式，左式表示動點到定點的距離之和，由三角形性質(zhì),即得所證不等式解2:在上面配方式中令，聯(lián)想到橢圓定義：表示橢圓，因為，表示動點在橢圓上或橢圓外部，于是原不等式得證在教學(xué)中注意滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事中的數(shù)學(xué)思想方法，可以拓寬學(xué)生知識視野，充分認識問題的本質(zhì)特征，使學(xué)生從最初、最古老的解決問題的方法中得到啟示，形成會學(xué)數(shù)學(xué)、會用數(shù)學(xué)的意識案例3：古題今用，培養(yǎng)創(chuàng)新意識 對于已經(jīng)掌握了一定數(shù)學(xué)知識的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)史上的古題仍然能使他們引起興趣激發(fā)求知欲古題新用，在挖掘數(shù)學(xué)史中古題的思想方法的基礎(chǔ)上，將之用于新的數(shù)學(xué)問題思考中，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識古題（阿拉伯分羊故事）：有個牧羊人，在臨終前要把他所有的財產(chǎn)-17只羊，分給他的三個兒子，要求大兒子得羊總數(shù)的一半，二兒子得羊總數(shù)的三分之一，小兒子得羊總數(shù)的九分之一，但羊不能殺死或賣掉，三個兒子絞盡腦汁，也想不出分羊的辦法，于是他們只好求助于一位草原上眾所周知的智者智者帶來了他自己的一只羊，再讓三兄弟重新分，于是大兒子牽了18只羊的一半-九只，二兒子拉了18只羊的三分之一-六只，小兒子領(lǐng)走18只羊的九分之一-兩只，剩下一只歸還給聰明人，問題終于解決了這分羊問題在實際上能行得通，但不合常理，而在數(shù)學(xué)上是完全合理的，但這一借一還的巧妙思維，卻給我們解決一些真正的數(shù)學(xué)問題有很大的啟發(fā)和幫助作用新題：在求無窮等比數(shù)列前n項和的教學(xué)中，有這樣一題，某汽水商店有個規(guī)定，3個空汽水瓶可以換一瓶汽水喝有位顧客買了lO瓶汽水，問題是他最多能喝幾瓶水? 我們不妨這樣想：這位顧客先喝10瓶汽水，得到10個空汽水瓶，可以再換三瓶汽水又余一只空瓶，喝完這3瓶汽水后，他手上又有4只空瓶，可以再換一瓶汽水，余兩個空瓶于是這個人最多能喝14瓶汽水而余兩個空瓶，那么，余下的兩個空瓶不是浪費了嗎?受分羊問題的啟發(fā)，我們不妨讓顧客先借一個空瓶，這樣又可以換來一瓶汽水，喝罷再還別人一只瓶子，如此，就發(fā)揮了最大的效益，不浪費一只瓶子，共喝了15瓶汽水于是，15瓶才是正確答案有人說這一思維問題方式和分羊問題一樣，在情理上還講得過去，但在數(shù)學(xué)理論上卻是行不通的而事實上，如果運用無窮等比數(shù)列前項的求和理論，這種思維的正確性是不難證明的我們知道，在無窮等比數(shù)列中，當(dāng)公比時，這個無窮等比數(shù)列前n項和就為：，結(jié)合汽水問題，有，于是某人最多可喝到汽水的瓶數(shù)，正是數(shù)列各項和S，從而因此，最多喝15瓶是有理論根據(jù)的，理論上也是可以行得通的，這一思維方式不但合情，而且也合理案例4：極限教學(xué)的悖論引入 高中教材從極限這一章開始，數(shù)學(xué)教學(xué)進入了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，討論的問題也由有限進而了無限，學(xué)生以往接觸的都是有限運算，對無限問題的思考方法感到生疏，因此，在進入本章教學(xué)前，我先介紹芝諾的著名悖論“追龜說”，進行如下的教學(xué)： 今天上課之前，我先給大家介紹一個希臘數(shù)學(xué)史上非常著名的問題-“追龜說”“追龜說”講的問題是阿基里斯(古希臘神話中擅跑之神)追烏龜，永遠追不上比如，阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在人?000米，當(dāng)阿基里斯跑1000米，到達龜?shù)某霭l(fā)點時，龜已向前又爬了100米；阿基里斯繼續(xù)追，再跑100米，龜又前進了10米；阿基里斯再追10米，龜又前進了l米，繼續(xù)追1米，龜又爬行了0.1米，.這樣下去，不論阿基里斯怎樣追，他和烏龜永遠相隔一小段距離，所以阿基里斯永遠也追不上烏龜“追龜說”又稱為“芝諾悖論”，是古希臘伊利亞學(xué)派的代表芝諾提出的“追龜說”明顯違背生活常識，是一個謬論但當(dāng)時的古希臘人明知阿基里斯一定能追上烏龜，但是卻無法證明“追龜說”錯在何處，這就成為希臘數(shù)學(xué)史上有名的難題，直到17世紀微積分學(xué)產(chǎn)生，這個問題才算基本解決 我們來分析一下這個問題，當(dāng)阿基里斯最終追上烏龜是，兩者之間的距離為O那么問題就轉(zhuǎn)化為由距離構(gòu)成的數(shù)列1000，100，10，1，中的項最終能否無限的接近于O今天我們學(xué)習(xí)了極限的概念后，就可以解決剛才的這個問題了 “追龜說”激發(fā)了學(xué)生的認知沖突，巧妙地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這樣引入極限定義，順利地實現(xiàn)從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)的過渡數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事是數(shù)學(xué)文化的載體，為數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的滲透提供了豐富的素材，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有意識地將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事融入數(shù)學(xué)課堂，除了上面提到的例子，在高中教材中還可以找到很多滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事的知識切入點，例如，在球體積公式教學(xué)中介紹古代數(shù)學(xué)家計算球體體積的思想可以從劉徽的“牟合方蓋”開始，到祖氏父子發(fā)現(xiàn)的祖暅原理：“冪冪勢既同，則積不容異”，介紹這一原理在歐洲直到17世紀才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出，更可以把中國數(shù)學(xué)家求體積的方法與阿基米德的“力學(xué)”推導(dǎo)方法作比較，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維又如，“楊輝三角”的教學(xué)中，可以介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史料“楊輝三角”實際上應(yīng)稱為“賈憲三角”，古代稱為“開方作法本源”，古代數(shù)學(xué)家用其來進行開方運算，它的發(fā)現(xiàn)比歐洲的“帕斯卡三角”要早500年左右這些史料的介紹可以增強學(xué)生的民族自豪感，對學(xué)生進行愛國主義教育類似的例子還有很多，在這