高考解析幾何萬能解題套路模版

1 圓錐曲線圓錐曲線 解題套路綜述解題套路綜述 高考解析幾何解題套路及各步驟操作規(guī)則 高考解析幾何解題套路及各步驟操作規(guī)則 步驟一 一表 把題目中的點 直線 曲線這三大類基礎幾何元素用代數(shù)形式表示出來 步驟一 一表 把題目中的點 直線 曲線這三大類基礎幾何元素用代數(shù)形式表示出來 口訣 見點化點 見直線化直線 見曲線化曲線 口訣 見點化點 見直線化直線 見曲線化曲線 1 見點化點 見點化點 點點 用平面坐標系上的坐標表示 只要是題目中提到的點都要加以坐標化 用平面坐標系上的坐標表示 只要是題目中提到的點都要加以坐標化 2 見直線化直線 見直線化直線 直線直線 用二元一次方程表示 只要是題目中提到的直線都要加以方程化 用二元一次方程表示 只要是題目中提到的直線都要加以方程化 3 見曲線化曲線 見曲線化曲線 曲線 圓 橢圓 拋物線 雙曲線 曲線 圓 橢圓 拋物線 雙曲線 用二元二次方程表示 只要是題目中提到的曲線用二元二次方程表示 只要是題目中提到的曲線 都要加以方程化 都要加以方程化 步驟二 二代 把題目中的點與直線 曲線從屬關系用代數(shù)形式表示出來 如果某個點在某條直線或曲線步驟二 二代 把題目中的點與直線 曲線從屬關系用代數(shù)形式表示出來 如果某個點在某條直線或曲線 上 那么這個點的坐標就可代入這條直線或曲線的方程 上 那么這個點的坐標就可代入這條直線或曲線的方程 口訣 點代入直線 點代入曲線 口訣 點代入直線 點代入曲線 1 點代入直線 如果某個點在某條直線上 將點的坐標代入這條直線的方程 點代入直線 如果某個點在某條直線上 將點的坐標代入這條直線的方程 2 點代入曲線 如果某個點在某條曲線上 將點的坐標代入這條曲線的方程 點代入曲線 如果某個點在某條曲線上 將點的坐標代入這條曲線的方程 這樣 每代入一次就會得到一個新的方程 方程逐一列出后 這些方程都是獲得最后答案的基礎 最后就是這樣 每代入一次就會得到一個新的方程 方程逐一列出后 這些方程都是獲得最后答案的基礎 最后就是 解方程組的問題了 解方程組的問題了 在方程組的求解中 我們發(fā)現(xiàn)一個特殊情況 即如果題目中有兩個點在同一條曲線上 將它們的坐標代入曲在方程組的求解中 我們發(fā)現(xiàn)一個特殊情況 即如果題目中有兩個點在同一條曲線上 將它們的坐標代入曲 線方程后能夠直接求解的可以直接求解 如果不能直接求解的 則采用下面這套等效規(guī)則來處理可以達到同樣的線方程后能夠直接求解的可以直接求解 如果不能直接求解的 則采用下面這套等效規(guī)則來處理可以達到同樣的 處理效果 并讓方程組的求解更簡單 具體過程 處理效果 并讓方程組的求解更簡單 具體過程 1 點代入這兩個點共同所在的直線 把這兩個點共同所在直線用點斜式方程 如 點代入這兩個點共同所在的直線 把這兩個點共同所在直線用點斜式方程 如 表示出來 將 表示出來 將 這兩個點的坐標分別代入這條直線的方程 這兩個點的坐標分別代入這條直線的方程 2 將這條直線的方程代入這條曲線的方程 獲得一個一元二次方程 將這條直線的方程代入這條曲線的方程 獲得一個一元二次方程 3 把這個一元二次方程的二次項系數(shù)不等于零的條件列出來 把這個一元二次方程的二次項系數(shù)不等于零的條件列出來 4 把這個一元二次方程的判別式 把這個一元二次方程的判別式列出來 列出來 5 把這個一元二次方程的根用韋達定理來表示 這里表示出來的實際上就是這兩個點的坐標之間的相 把這個一元二次方程的根用韋達定理來表示 這里表示出來的實際上就是這兩個點的坐標之間的相互關互關 系式 系式 2 步驟三 三譯 圖形構成特點的代數(shù)化 或者說其它附加條件的代數(shù)化 步驟三 三譯 圖形構成特點的代數(shù)化 或者說其它附加條件的代數(shù)化 前面兩個步驟都是高度模式化的 他們構成了解決所有問題的基礎 在解析幾何題目里 事實上就是附加了前面兩個步驟都是高度模式化的 他們構成了解決所有問題的基礎 在解析幾何題目里 事實上就是附加了 一些特殊條件的問題 如我們可以附加兩條直線垂直的條件 也可以附加一條直線與一條曲線相切的條件 等等 一些特殊條件的問題 如我們可以附加兩條直線垂直的條件 也可以附加一條直線與一條曲線相切的條件 等等 當然 我們不用太擔心 這些條件都是與我們教材上的基本數(shù)學概念相對應的 它們分別與一個或一組固定模式當然 我們不用太擔心 這些條件都是與我們教材上的基本數(shù)學概念相對應的 它們分別與一個或一組固定模式 的方程相對應 而且 通過少數(shù)幾條通用規(guī)則就可以把所有這些方程羅列出來 而我們要做的 就是針對這些特的方程相對應 而且 通過少數(shù)幾條通用規(guī)則就可以把所有這些方程羅列出來 而我們要做的 就是針對這些特 定條件選擇合適的通用規(guī)則來列方程 這個步驟涉及的主要通用規(guī)則 定條件選擇合適的通用規(guī)則來列方程 這個步驟涉及的主要通用規(guī)則 1 兩點的距離 兩點的距離 2 兩個點的對稱點 兩個點的對稱點 3 條直線垂直 條直線垂直 4 兩條直線平行 兩條直線平行 5 兩條直線的夾角 兩條直線的夾角 6 點到直線的距離 點到直線的距離 7 正余弦定理及面積公式 正余弦定理及面積公式 8 向量規(guī)則 向量規(guī)則 9 直線與曲線的位置關系 直線與曲線的位置關系 把直線方程代入曲線方程 得形如把直線方程代入曲線方程 得形如的一元二次方程 的一元二次方程 當當時 直線與曲線有一個交點 時 直線與曲線有一個交點 當當時 直線與曲線相切 時 直線與曲線相切 當當時 直線與曲線有兩個交點 時 直線與曲線有兩個交點 當當時 或當時 或當時 直線與曲線無交點 時 直線與曲線無交點 這個步驟的處理關鍵是根據條件的特點選擇適當?shù)耐ㄓ靡?guī)則組合 這個步驟的處理關鍵是根據條件的特點選擇適當?shù)耐ㄓ靡?guī)則組合 步驟四 四處理 按答案的要求解方程組 把結果轉化成答案要求的形式 步驟四 四處理 按答案的要求解方程組 把結果轉化成答案要求的形式 一般情況步驟一般情況步驟 1 2 3 完成后 會得到一組方程 而答案就是這組方程組的解 這個步驟就是方程組的求完成后 會得到一組方程 而答案就是這組方程組的解 這個步驟就是方程組的求 解了 解方程組實際上就是用加減乘除四則混合運算以及乘方 開方等來消除方程的參數(shù) 不過 這里我們也給解了 解方程組實際上就是用加減乘除四則混合運算以及乘方 開方等來消除方程的參數(shù) 不過 這里我們也給 出三條消參的原則 出三條消參的原則 1 把方程中的所有未知量都視為參數(shù) 比如 如果某個點的坐標為 把方程中的所有未知量都視為參數(shù) 比如 如果某個點的坐標為 而 而都是未知的 我們把都是未知的 我們把 它們都視為方程組的參數(shù) 它們都視為方程組的參數(shù) 2 消參的原則是 把與答案無關的參數(shù)消去 留下與答案有關的參數(shù) 或者說在解方程組的時候 用與答 消參的原則是 把與答案無關的參數(shù)消去 留下與答案有關的參數(shù) 或者說在解方程組的時候 用與答 案有關的參數(shù)來表示與答案無關的參數(shù) 案有關的參數(shù)來表示與答案無關的參數(shù) 3 消參完成后 把結果表示成答案要求的形式 消參完成后 把結果表示成答案要求的形式 例題例題 1 全國卷 全國卷 理 理 21 年高文科 年高文科 22 本小題滿分 本小題滿分 12 分 分 3 已知已知為坐標原點 為坐標原點 為橢圓為橢圓在軸正半軸上的焦點 過在軸正半軸上的焦點 過且斜率為且斜率為的直線的直線 與與交交 與與兩點 點兩點 點滿足滿足 I 證明 點證明 點在在上 上 II 設點設點關于點關于點的對稱點為的對稱點為 證明 證明 四點在同一圓上四點在同一圓上 例題例題 2 理數(shù)北京卷 已知橢圓 理數(shù)北京卷 已知橢圓 過點 過點作圓作圓的切線的切線 交橢圓交橢圓于于 C 1 4 2 2 y x 0 m1 22 yx lCA 兩點兩點 求橢圓求橢圓的焦點坐標和離心率 的焦點坐標和離心率 將將表示為表示為的函數(shù) 并求的函數(shù) 并求的最大值 的最大值 BC AB m AB 4 例題例題 3 新課標卷第 新課標卷第 20 題 在平面直角坐標系題 在平面直角坐標系中 已知點中 已知點 點在直線點在直線上 上 點滿點滿 xOy 1 0 A B 3 y M 足足 點的軌跡為曲線點的軌跡為曲線 求求的方程 的方程 OAMB BAMBABMA MCC 為為上的動點 上的動點 為為在在點處的切線 求點點處的切線 求點到到 距離的最小值距離的最小值 PClCPOl 例題例題 4 理數(shù)四川卷 橢圓有兩頂點 理數(shù)四川卷 橢圓有兩頂點 過其焦點 過其焦點的直線的直線 與橢圓交于與橢圓交于 兩點 兩點 0 1 A 0 1B 1 0F lCD 并與并與軸交于點軸交于點 直線 直線與直線與直線交于點交于點 當當時 求直線時 求直線 的方程 的方程 xPACBD Q 2 2 3 CD l 當點當點異于異于 兩點時 求證 兩點時 求證 為定值 為定值 PAB OQOP 5 例題例題 5 理數(shù)全國卷第 理數(shù)全國卷第 21 題 已知題 已知為坐標原點 為坐標原點 為橢圓為橢圓 在在軸正半軸上的焦點 過軸正半軸上的焦點 過 OFC 1 2 2 2 y x y 且斜率為且斜率為的直線的直線 與與交與交與 兩點 點兩點 點滿足滿足 F2 lCABP0 OPOBOA 證明 點證明 點在在上 上 PC 設點設點關于點關于點的對稱點為的對稱點為 證明 證明 四點在同一圓上 四點在同一圓上 PO Q APB Q 6 答案例題答案例題 5 理數(shù)全國卷第理數(shù)全國卷第 21 題題 解 由已知有解 由已知有 1 0F 由已知有直線由已知有直線 的方程為 的方程為 l12 xy 設設 11 y xA 22 y xB 12 11 xy 12 22 xy 將直線將直線 的方程代入橢圓方程 整理得的方程代入橢圓方程 整理得l 01224 2 xx 2 2 21 xx 4 1 21 xx 其中 其中 恒成立恒成立024168 設設 33 x xP 由已知由已知 0 0 332211 yxyxyxOPOBOA 11212 2 2 11213 213 xxyyy xxx 在在上上 1 2 2 PC 由已知有由已知有 1 2 2 Q 則則的中垂線為 的中垂線為 PQxy 2 2 設設 的中點為的中點為AB 33 y xD 2 1 2 1212 2 4 2 2 1121 3 21 3 xxyy y xx x 7 2 1 4 2 D 則則的中垂線為 的中垂線為 AB4 1 2 2 xy 則則的中垂線與的中垂線與的中垂線的交點為的中垂線的交點為 PQ AB 8 1 8 2 O 8 113 QOPO 到直線到直線的距離為的距離為 8 1 8 2 O AB 8 33 3 1 8 1 8 2 2 d 2 23 43 21 2 21 2 21 2 21 xxxxyyxxAB 8 113 2 2 2 d AB BOAO 即即 QOPOBOAO 四點在同一圓上 四點在同一圓上 APB Q 例例 6 理數(shù)山東卷第 理數(shù)山東卷第 22 題題 已知動直線已知動直線 與橢圓與橢圓 交于交于 兩不同點 且兩不同點 且的面積的面積 其中 其中為為lC1 23 22 yx 11 y xP 22 y xQOPQ 2 6 SO 坐標原點 坐標原點 證明 證明 和和均為定值 均為定值 2 2 2 1 xx 2 2 2 1 yy 設線段設線段的中點為的中點為 求 求的最大值 的最大值 PQM PQOM 橢圓橢圓上是否存在三點上是否存在三點 使得 使得 若存在 判斷 若存在 判斷的形狀 若的形狀 若CDEG 2 6 OEGODGODE SSSDEG 不存在 請說明理由 不存在 請說明理由 解 設直線解 設直線 的方程為 的方程為 lbkxy 8 bkxy 11 bkxy 22 將直線將直線 的方程代入橢圓方程 整理得的方程代入橢圓方程 整理得l 023632 222 bkbxxk 2 21 32 6 k kb xx 2 2 21 32 23 k b xx 其中 其中 2302321236 222222 kbbkbk 2 222 21 2 21 2 2 21 2 21 32 23162 41 k bkk xxxxkyyxxPQ 到直線到直線 的距離的距離Ol 2 1 k b d 由已知有由已知有的面積的面積OPQ 2 32 1 32 232 2 6 2 1 2 2 2 22 k bb k bk dPQS 23 13 2 2 2 k k PQ 恒為定值 恒為定值 3 32 26 32 6 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 k b k kb xxxxxx 2 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 22bxxkbxxkbkxbkxyy 恒為定值 恒為定值22 32 12 3 2 2 22 2 b k bk k 由已知有線段由已知有線段的中點的中點 PQ 2 2 2121 yyxx M 2 21 2 21 22 yyxx OM 2 2 2 21 2 21 bxxkxx 2 2 32 6 32 6 2 2 2 2 b k kb k k kb 9 2 2 322 49 k k 23 16 32 49 2 2 2 2 k k k k PQOM 4129 41396 24 24 kk kk 4129 16 24 2 k