橢圓中的最值種1

橢圓中的最值橢圓中的最值 一 一 的最值問題 的最值問題 為一焦點(diǎn) 為一焦點(diǎn) 為橢圓內(nèi)部一定點(diǎn) 為橢圓內(nèi)部一定點(diǎn) 為橢圓上一動(dòng)為橢圓上一動(dòng)PMPF FMP 點(diǎn) 點(diǎn) 例 1 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn) 為橢圓的右焦點(diǎn) 為橢圓上一動(dòng) 22 1 43 xy 1 1 M FP 點(diǎn) 則的最大值為 最小值為 PMPF 解析 如圖 設(shè)橢圓的另一左焦點(diǎn)為 由橢圓的定義及基本不等式得 F PMPF 當(dāng)且PM4PF 44PMPFMF 22 4 1 1 0 1 45 僅當(dāng) M P 共線在 MF 延長(zhǎng)線上時(shí)取得等號(hào) 即有 max F P PMPF 45 又 4 且僅當(dāng)PMPF PM4PF 445PFPMMF M P 共線在的延長(zhǎng)線上時(shí)取得等號(hào) 即有 minF PF M PMPF 45 x y 0 F M F P 二 二 的最小值問題 的最小值問題 為一焦點(diǎn) 為一焦點(diǎn) 為其內(nèi)部一點(diǎn) 為其內(nèi)部一點(diǎn) 為橢圓上一動(dòng)為橢圓上一動(dòng) 1 PMPF e FMP 點(diǎn) 點(diǎn) P 例 2 已知如圖 點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn) 為右焦點(diǎn) 點(diǎn)為其內(nèi)部一P 22 1 43 xy FM 點(diǎn) 坐標(biāo)為 1 則的最小值 2PMPF x 小小 y 0 F M P 解析 作出橢圓的右準(zhǔn)線 易求其方程為 過作右準(zhǔn)線的垂線 垂足為 4x PA 易知該橢圓的離心率為 故 即 所以 1 2 PF PA 1 2 2 PFPA 2PMPF 當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立 即4 13PMPAMA MPA min 32PMPF 三 三 的最值問題 的最值問題 為橢圓上動(dòng)點(diǎn) 為橢圓上動(dòng)點(diǎn) 為其焦點(diǎn) 為其焦點(diǎn) 12 PFPF P 1 F 2 F 例 3 已知 為橢圓的左右焦點(diǎn) 點(diǎn)為橢圓上動(dòng)點(diǎn) 則 1 F 2 F 2 2 1 4 x y P 的最大值為 最小值為 12 PFPF 解析 設(shè)點(diǎn) 則 由焦半徑公式有 P x y22x 1 3 2 2 PFexax 所以 易知當(dāng)時(shí) max 2 PF 3 2 2 aex x 12 PFPF 2 3 4 4 x 0 x 12 PFPF 當(dāng)或時(shí) min 4 2x 2 12 PFPF 1 四 四 的最值問題的最值問題AxBy 例 4 已知 則的最大值為 2222 1 1 4xyxy 23xy 最小值為 解析 不難發(fā)現(xiàn) 的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到兩 2222 1 1 4xyxy x y 定點(diǎn) 的距離之和等于 4 故動(dòng)點(diǎn)的軌跡應(yīng)為以 為焦點(diǎn) 1 0 1 0 x y 1 0 1 0 長(zhǎng)軸為 4 的橢圓 所以方程等價(jià)于 化為 2222 1 1 4xyxy 22 1 43 xy 參數(shù)方程為 為參數(shù) 故 2cos 3sin x y 23xy 所以 max 4cos3 3sin43sin tan 4 3 9 23xy 43 min 23xy 43 五 五 的最值問題 的最值問題 為橢圓上動(dòng)點(diǎn) 為橢圓上動(dòng)點(diǎn) 為其焦點(diǎn) 為其焦點(diǎn) 12 FPF P 1 F 2 F 例 5 已知橢圓 為其左右焦點(diǎn) 在橢圓上是否存在一點(diǎn) 22 1 43 xy 1 F 2 FP 使 證明你的結(jié)論 12 PFPF 解析 為敘述簡(jiǎn)便起見 不妨設(shè) 則有 12 FPF 12 PFm PFn 且 由余弦定理知4mn 12 2FF cos 22 222 1212 2 22 mnFFmnFFmn mnmn 即 2 16426661 111 242 2 mn mn mnmn 1 cos 2 又 對(duì)任意橢圓而言 由余弦函數(shù)的單調(diào)性知 也即0180 060 的最大值為 當(dāng) 即時(shí) 取到最大值 故符合條件的點(diǎn) 60 mn 12 PFPF 60