【提優(yōu)教程】江蘇省2012高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 第16講圓中比例線段、根軸教案

用心 愛心 專心1 第第 1616 講講 圓中比例線段 根軸圓中比例線段 根軸 本節(jié)主要介紹圓冪定理及其應(yīng)用 介紹根軸的有關(guān)知識(shí) 圓冪定理是指相交弦定理 切 割線定理及割線定理 它們揭示了與圓有關(guān)的線段的比例關(guān)系 是平面幾何中研究有關(guān)圓 的性質(zhì)的一組很重要的定理 應(yīng)用及其廣泛 圓冪定理通常可以通過相似三角形得到 因此 研究圓中的比例線段 一般離不開相似三角形 相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等 切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線 切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段 長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線 這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的 積相等 上述三個(gè)定理統(tǒng)稱為圓冪定理 它們的發(fā)現(xiàn)距今已有兩千多年的歷史 它們有下面的 同一形式 圓冪定理 過一定點(diǎn)作兩條直線與圓相交 則定點(diǎn)到每條直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的 積相等 即它們的積為定值 這里切線可以看作割線的特殊情形 切點(diǎn)看作是兩個(gè)重合的交點(diǎn) 若定點(diǎn)到圓心的距離 為d 圓半徑為r 則這個(gè)定值為 d2 r2 當(dāng)定點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí) d2 r20 d2 r2等于從定點(diǎn)向圓所引切線長(zhǎng)的平方 特別地 我們把d2 r2稱為定點(diǎn)對(duì)于圓的冪 一般地我們有如下結(jié)論 到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線 如果此二圓相交 那么該軌跡是此二圓的公共弦所在直線 這條直線稱為兩圓的 根軸 對(duì)于根軸我們有如下結(jié)論 三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行 那么它們交于一點(diǎn) 這一點(diǎn)稱為三圓的 根心 三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪 當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí) 三條公 共弦 就是兩兩的根軸 所在直線交于一點(diǎn) A類例題 例 1 試證明圓冪定理 分析 涉及到圓中線段 我們可以運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行證明 證明 如圖 當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí) 過點(diǎn)O作OQ AB于Q 連結(jié)OP OB 則QA QB 于是 PA PB PQ QA QB PQ QB2 PQ2 OB2 OQ2 OP2 OQ2 OB2 OP2 r2 d 2 d2 r2 當(dāng)點(diǎn)P在圓上和圓外時(shí) 同理可得PA PB d2 r2 說明 關(guān)于圓冪定理的證明方法很多 同學(xué)們可以自己再思考幾種證明方法 鏈接 1 此結(jié)論也可以在橢圓中得到推廣 有興趣同學(xué)可以自己去研 究研究 Q O B A P Q B O A P 用心 愛心 專心2 例 2 利用 圓冪定理證明 在直角三角形 中 斜邊上的 高是兩條直角 邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng) 每一直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng) 分析 本題可以用相似三角形來證明 但本題要求用圓冪定理 顯然要有圓 可以考慮 三角形的外接圓 于是有下面的證法 E D A B C 證明 如圖 在 Rt MAC中 ACB 90 做的外接圓 CD是斜邊AB上的高 延長(zhǎng) CD 交外 接圓于 E 由相交弦定理 得AD DB CD DE 因CD DE 故CD2 AD DB 又因?yàn)?BC是外接圓直徑 所以AC切圓BDC于C 由切割線定理有AC2 AD AB 同理有 BC2 BD BA 例 3 已 知 AB 切 O 于 B M為AB的 中點(diǎn) 過M作 O的割線MD 交 O于C D兩點(diǎn) 連AC并延長(zhǎng)交 O于E 連AD交 O于F 求證 EF AB 分析 要證明EF AB 可以證明內(nèi)錯(cuò)角相等 即要證明 MAE AEF 而 CEF CDF 即 要證明 MAC MDA 于是可以通過三角形相似 證明對(duì)應(yīng)角相等 證明 AB是 O的切線 M是AB中點(diǎn) MA2 MB2 MC MD MAC MDA MAC MDA CEF CDF MAE AEF 2 圓中線段還有很多有趣的結(jié)論 例如 Ptolemy 定理 圓內(nèi)接四邊形 對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和 想一想如何證明 參見本書第十八講 3 對(duì)于相交弦定理的逆命題也是成立 即若線段AB CD相交于點(diǎn)P 且AP PB CP PD 則A B C D四點(diǎn)共圓 證明請(qǐng)讀者自己思考 鏈接 本題通過構(gòu)造圓 應(yīng)用圓冪定理證明等積問題 構(gòu)思巧妙 這種方 法在數(shù)學(xué)中是常見的 例如 如圖 四邊形ABCD中 AB CD AD DC DB p BC q 求對(duì)角線AC的長(zhǎng) 分析 由 AD DC DB p 可知A B C在半徑為p的 D上 利用圓的 性質(zhì)即可找到AC與p q的關(guān)系 解 解 延長(zhǎng)CD交半徑為p的 D于E點(diǎn) 連結(jié)AE 顯 然A B C在 D上 AB CD 從而 BC AE BC AE q 在 ACE中 CAE 90 CE 2p AE q 故AC 22 AECE 22 4qp O E F D A B C M A E D C B 用心 愛心 專心3 EF AB 情景再現(xiàn) 1 AD是 Rt ABC斜邊BC上的高 B的平分線交AD于M 交AC于N 求證 AB2 AN2 BM BN 2 如圖 O內(nèi)的兩條弦AB CD的延長(zhǎng)線相交于圓外一點(diǎn)E 由E引AD的平行線與直線 BC交于F 作切線FG G為切點(diǎn) 求證 EF FG 3 已知如圖 兩圓相交于M N 點(diǎn)C為公共弦MN上任意一點(diǎn) 過C任意作直線與兩 圓的交點(diǎn)順次為A B D E 求證 AB BC ED DC B類例題 例 4 如圖 ABCD是 O的內(nèi)接四邊形 延長(zhǎng)AB和DC相交于E 延 長(zhǎng)AB和DC相 交于E 延長(zhǎng)AD和BC相交于F EP和FQ分別切 O于P Q 求證 EP2 FQ2 EF2 分析 因EP和FQ是 O的切線 由結(jié)論聯(lián)想到切割線定理 構(gòu)造輔助 圓使EP FQ向EF轉(zhuǎn)化 證明 如圖 作 BCE的外接圓交EF于G 連 結(jié)CG 因 FDC ABC CGE 故F D C G四點(diǎn)共圓 由切割線定理 有 EF2 EG GF EF EG EF GF EF EC ED FC FB EC ED FC FB EP2 FQ2 即EP2 FQ2 EF2 鏈接 本題結(jié)論也可以改為EP FQ EF可以作為一個(gè)直角三角形的三 邊 例 5 AB是 O的直徑 ME AB于E C為 O上任一點(diǎn) AC EM交于點(diǎn)D BC交DE 于F 求證 EM2 ED EF 證明 延長(zhǎng)ME與 O交于N 由相交弦定理 EM EN EA EB 但EM EN EM2 EA EB MN AB G F E B A C D A O Q P C B G F E D C BA F M N OE D C D B N M A E 用心 愛心 專心4 B 90 BFE D 故 AED FEB AE ED FE EB 即EA EB ED EF EM2 ED EF 例 6 1997 年全國高中理科實(shí)驗(yàn)班招生考試 如圖所示 PA PB是 O的兩條切線 PEC是 O的一條割線 D是AB與PC 的交點(diǎn) 若PE 2 CD 1 求DE的長(zhǎng) 解 設(shè)DE x 連PO交AB于F PA2 PE PC 2 3 x 在直角三角形PAF中 PA2 PF2 AF2 PF2 AF2 2 3 x 在直角三角形PDF中 PF2 DF2 PD2 PF2 DF2 2 x 2 AF2 DF2 2 3 x 2 x 2 AF2 DF2 AF DF AF F AD BD DE CD x 1 6 2x 4 4x x2 x 即x2 3x 2 0 x 但x 0 x 2 173 2 317 DE 2 317 情景再現(xiàn) 4 如圖 P為兩圓公共弦AB上一點(diǎn) 過點(diǎn)P分別作兩圓 的弦CD EF 求證 C D E F四點(diǎn)共圓 5 正 ABC內(nèi)接于 O M N分別是AB AC的中點(diǎn) 延 長(zhǎng)MN交 O于點(diǎn)D 連結(jié)BD交AC于P 求 PC PA 6 如圖 已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為 3 的 O 對(duì)角 線AC是直徑 AC BD交于點(diǎn)P AB BD 且PC 0 6 求此四邊 形的周長(zhǎng) 1999 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 C類例題 例 7 如圖 自圓外一點(diǎn)P向 O引割線交圓于R S兩點(diǎn) 又作切線 PA PB A B為切點(diǎn) AB與PR相交于Q 求證 1 PR 1 PS 2 PQ 分析 要證 成立 也就是要證 1 PR 1 PS 2 PQ 明 成立 即 也就是要 1 PR 1 PQ 1 PQ 1 PS RQ PR QS PS 證明 成 RQ QS PR PS 立 于是可通過三角形相似及圓中的比例線段來證 Q R B A O P S F O P E C B A D F P B A D C E A B C MN D P O G A B C D O P 用心 愛心 專心5 證明 如圖 連結(jié)AR AS RB BS PA是 O的切線 PAR PSA 又 APR SPA PAR PSA PA PS AR AS PR PA 2 即 PA PS PR PA AR AS PR PS AR2 AS2 同理 即 PR PS BR2 BS2 AR2 AS2 BR2 BS2 AR AS BR BS 又 RAQ BSQ AQR SQB AQR SQB AR SB AQ SQ RQ BQ 同理 AQS RQB BR SA RQ AQ BQ SQ AR SB BR SA AQ SQ RQ AQ RQ SQ 又 AR AS BR BS RQ SQ AR2 AS2 從而 PR PS RQ SQ 又 1 PR 1 PS 2 PQ 1 PR 1 PQ 1 PQ 1 PS RQ PR QS PS 本題得證 說明 當(dāng) 時(shí) 我們稱PR PQ PS成調(diào)和數(shù)列 1 PR 1 PS 2 PQ 鏈接 本題證明過程中 我們得到了不少結(jié)論 等 RQ PR QS PS RQ SQ AR2 AS2 PR PS AR2 AS2 AR AS BR BS 同學(xué)們可以再研究 還有不少有趣的結(jié)論 例 8 AB是 O的弦 M是其中點(diǎn) 弦CD EF經(jīng)過點(diǎn)M CF DE交AB于P Q 求證 MP QM 證明 設(shè)MP x QM y AM BM a 由正弦定理 得 四式相乘并化簡(jiǎn) 得 PM sin 3 PC sin 1 QD sin 1 MQ sin 4 EQ sin 2 MQ sin 3 PM sin 4 PF sin 2 A B D E F M 1 2 3 4 O P Q 用心 愛心 專心6 QD QE PM2 PF PC MQ2 由相交弦定理 得 QD QE AQ QB a y PC PF AP PB a x 代入 式 得 a2 x2 y2 a2 y2 x2 化簡(jiǎn) 得x2 y2 所以MP QM 說明 本題是著名的蝴蝶定理 由于該定理的圖形像一只翩翩起舞蝴蝶而得名 作為一 個(gè)古老的定理 證明方法多種多樣 而且有多種推廣 有興趣的同學(xué)可參考本書第十八 十九講的內(nèi)容 例 9 給出銳角 ABC 以AB為直徑的圓與AB邊的高CC 及其延 長(zhǎng)線交于M N 以AC為直徑的圓與AC邊的高BB 及其延長(zhǎng)線將于 P Q 求證 M N P Q四點(diǎn)共圓 第 19 屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 分析 設(shè)PQ MN交于K點(diǎn) 連接AP AM 欲證M N P Q四 點(diǎn)共圓 須證MK KN PK KQ 即證 MC KC MC KC PB KB PB KB 或MC 2 KC 2 PB 2 KB 2 不難證明 AP AM 從而有AB 2 PB 2 AC 2 MC 2 故 MC 2 PB 2 AB 2 AC 2 AK2 KB 2 AK2 KC 2 KC 2 KB 2 由 即得 命題得證 證明 略 說明 本題再次用到了相交弦定理的逆定理 情景再現(xiàn) 7 O1與 O2相交于M N AB CD為公切線 A B C D為切點(diǎn) 直線MN交AB于P 交CD于Q 求證 PQ2 AB2 MN2 8 以O(shè)為圓心的圓通過 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A C 且與 AB BC兩邊分別相交于K N兩點(diǎn) ABC和 KBN的兩外接圓交 于B M兩點(diǎn) 證明 OMB為直角 1985 年第 26 屆國際數(shù)學(xué) 競(jìng)賽 9 如圖 自圓外一點(diǎn)P向 O作切線 PA PB A B為切 點(diǎn) AB與PO相交于C 弦EF過點(diǎn)C 求證 APE BPF F C B A O E P A BC K M N P Q B C O 2 P Q 1 D A B C M N O O A C B K N M P 用心 愛心 專心7 用心 愛心 專心8 習(xí)題 16 1 已知 AD是 O的直徑 AD BC AB AC分別與圓交于E F 那么 下列等式中一定成立的是 A AE BE AF CF B AE AB AO AD C AE AB AF AC D AE AF AO AD 2 設(shè) A的直徑等于等邊三角形ABC的邊長(zhǎng) 等腰三角形 AB C 的周長(zhǎng)與 ABC的周長(zhǎng)相同 且B C 與 A相切 那么 A B AC 120 B B AC 120 C B AC r2 連心線O1O2的中 點(diǎn)為D 且O1O2上有一點(diǎn)H 滿足 2DH O1O2 r12 r22 過H作垂 直于O1O2的直線l 證明直線l上任一點(diǎn)M向兩圓所引切線長(zhǎng)相 等 12 如圖 設(shè)D為線段AB上任一點(diǎn) 以AB AD BD為直徑分 別作三個(gè)半圓 O O O EF是半圓O O 的公切線 E F為 切點(diǎn) DC AB 交半圓O于C 求證四邊形DFCE為矩形 本節(jié) 情景再現(xiàn) 解答 1 分析 因AB2 AN2 AB AN AB AN BM BN 而由題設(shè)易 知AM AN 聯(lián)想割線定理 構(gòu)造輔助圓即可證得結(jié)論 證明 證明 如圖 2 3 4 5 90 又 3 4 1 5 1 2 從而 AM AN 以AM長(zhǎng)為半徑作 A 交AB于F 交BA的延長(zhǎng)線于E 則 AE AF AN 由割線定理有BM BN BF BE AB AE AB AF AB AN AB AN AB2 AN2 即AB2 AN2 BM BN 2 證明 EF AD FEA A C A C FEA FEB FCE FE2 FB FC FG是 O的切線 FG2 FB FC EF FG 3 證明 根據(jù)相交弦定理 得 MC CN AC CD MC CN BC CE AC CD BC CE AB BC CD BC CD DE AB CD BC DE 即 AB BC ED DC 4 證明 由相交弦定理 得AP PB CP PD AP PB EP PF CP PD EP PF 由相交弦定理的逆定理 可得C D E F四點(diǎn)共圓 5 解 延長(zhǎng)NM交 O于E 設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a ND x 由相交弦 定理得 ND NE AN NC x x 即x2 x 0 解得 a 2 a 2 a 2 a 2 a2 4 x 1 PDN PBC 1 以PN a 45 PN PC ND BC x a 1 45 a PC代入得 1 即 1 2 1 45 PC a PC PA PC a PC 6 解 作AD的垂直平分線BE 垂足為E AB BD BE過 點(diǎn)O AC為直徑 ABC ADC 90 BO CD E O H A B M O2 1D O F D C AB O O E E A N C DB F M 1 2 345 A B C MN D P O E G A B C D O P E 用心 愛心 專心10 BPO DPC OP PC BO CD BP DP BO OC 1 5 PC 0 6 OP 1 5 0 6 0 9 CD 1 AD2 AC2 CD2 8 AD 22 由OE CD 0 5 得BE 2 AB2 BE2 AE2 6 AB 2 1 6 BC 3 22 ABAC 所求周長(zhǎng) 22361 7 證明 PQ2 PM MQ 2 PM2 MN NQ 2 2PM MQ PM2 MN2 NQ2 2MN NQ 2PM MQ PM NQ PN MQ PQ2 2PM2 2MN PM 2PM PN M N2 2PM PM MN 2PM PN MN2 PM PN PA2 4PA2 MN2 PA PB 故 AB 2PA PQ2 AB2 MN2 8 證明 由BM KN AC三線共點(diǎn)P 知PM PB PN PK PO2 r2 由 PMN BKN CAN 得P M N C共圓 故 BM BP BN BC BO2 r2 得 PM PB BM BP PO2 BO2 即 PM BM PM BM PO2 BO2 就是 PM2 BM2 PO2 BO2 于是OM PB 9 證明 如圖 連結(jié)OA OB OE OF 顯然O A P B四點(diǎn)共圓 于是 AC CB OC CP 又因?yàn)锳C CB EC CF 所以O(shè)C CP EC CF 所以O(shè) E P F四點(diǎn)共圓 又因?yàn)镺E OF 所以 OPE OPF從而 APE BPF F C B A P E O O A C B K N M P 用心 愛心 專心11 本節(jié) 習(xí)題 16 解答 1 解 連DE 則由AD為 O的直徑 故DE AB AD BC B E D D 四點(diǎn)共 圓 AE AB AD AD 同理 AF AC AD AD AE AB AF AC 故選C 2 解 設(shè)切點(diǎn)為T 且BT x AT r 則得 解得x r 由于rxxr3 22 4 3 tan60 故 B AC 120 故選C 4 3 3 解 在直角三角形OPM中 PO2 OM2 PM2 即 8 R 2 R2 122 解得R 5 故選C 或由切 割線定理 得 122 8 8 2R 2R 10 4 解 設(shè) FBE x 則 FDE x BDE 60 由 BDF 60 得 ABD BDF A 32 BFD 32 但 BFD FBE C 即 32 x 30 故x 2 選B 5 解 PM2 MT2 MB MA PMB AMP MAC BPM BPM BDC DC MP 設(shè) DC交AM于點(diǎn)E 則 PMB DEB 且 AEC AMP PMB 即圖中有 3 個(gè)與 MPB相似 的三角形 故選C 6 解 延長(zhǎng)線BD與 O交于E 于是BA2 BC BE BE 12 DE 6 取CE中點(diǎn)G 連OG 則DG 1 5 OG2 22 3 2 2 OE2 OG2 GE2 22 即OE 故選