概率論與混沌論

概率論與混沌理論的關(guān)系概率論與混沌理論的關(guān)系 摘要 通過對保守系統(tǒng)混沌運動的分析 試圖說明混沌理論如何架起確定論與概率論由此及 彼的橋梁 并揭示了傳統(tǒng)觀念中確定論與概率論的對立是基于兩種形而上學(xué)的信念 自然 界本質(zhì)上是辯證統(tǒng)一的 確定論和概率論是對客觀實在的互補描述 關(guān)鍵詞 概率論 混沌理論 隨機(jī)性 確定性與隨機(jī)性 決定論與概率論 或者說必然性與偶然性的關(guān) 系一直是科學(xué)和哲學(xué)爭論不休的問題 混沌理論的產(chǎn)生 繼量子力 學(xué)之后又一次將這一問題的討論推向高潮 人們相信 通過混沌理 論可以架起確定論和概率論由此及彼的橋梁 然而兩者如何溝通 詳細(xì)論述甚少 而且認(rèn)為兩者的對立是源于無限過程的理想化極限 的觀點 仍沒有超出歷史上通過對保守系統(tǒng)混沌運動的分析 下面 我試圖對這一問題進(jìn)行探討 并說明傳統(tǒng)確定論與概率論的對立是 基于兩種形而上學(xué)的信念 自然界本質(zhì)上是辯證統(tǒng)一的 確定論與 概率論是對客觀實在的互補描述 一 什么是混沌理論 混沌理論 是近三十年才興起的科學(xué)革命 它與相對論與量子 力學(xué)同被列為二十世紀(jì)的最偉大發(fā)現(xiàn)和科學(xué)傳世之作 量子力學(xué)質(zhì) 疑微觀世界的物理因果律 而混沌理論則緊接著否定了包括宏觀世 界拉普拉斯 Laplace 式的決定型因果律 美國氣象學(xué)家洛倫茨在 20 世紀(jì) 60 年代初研究天氣預(yù)報中大氣 流動問題時 揭示出混沌現(xiàn)象具有不可預(yù)言性和對初始條件的極端 敏感依賴性這兩個基本特點 同時他還發(fā)現(xiàn)表面上看起來雜亂無章 的混沌 仍然有某種條理性 其對初始條件的極端敏感依賴性表現(xiàn) 為蝴蝶效應(yīng) 今天北京一只蝴蝶展翅翩翩對空氣造成擾動 可能導(dǎo) 致下個月紐約的大風(fēng)暴 混沌的發(fā)現(xiàn)揭示了我們對規(guī)律與由此產(chǎn)生的行為之間 即原 因與結(jié)果之間 關(guān)系的一個基本性的錯誤認(rèn)識 我們過去認(rèn)為 確定性的原因必定產(chǎn)生規(guī)則的結(jié)果 但現(xiàn)在我們知道了 它們可以 產(chǎn)生易被誤解為隨機(jī)性的極不規(guī)則的結(jié)果 我們過去認(rèn)為 簡單的 原因必定產(chǎn)生簡單的結(jié)果 這意昧著復(fù)雜的結(jié)果必然有復(fù)雜的原因 但現(xiàn)在我們知道了 簡單的原因可以產(chǎn)生復(fù)雜的結(jié)果 我們認(rèn)識到 知道這些規(guī)律不等于能夠預(yù)言未來的行為 所以可以說 當(dāng)人們做未來行為預(yù)測的時候 其實就是一種對未 來概率的預(yù)測 也就是說 發(fā)生某類事情的概率是多少 或者是發(fā) 生另一類概率的事是多大 天氣預(yù)報也是如此 天氣預(yù)報不僅是一個混沌的模型 更是一個難以預(yù)測的概率模型 所以很有必要研究混沌和概率論之間的關(guān)系 而概率論和確定論又 是一對矛盾的統(tǒng)一對立 因此研究他們?nèi)咧g的關(guān)系是很有必要 的 二 傳統(tǒng)觀念中的確定論與概率論 在物理學(xué)中存在兩種類型的規(guī)律 一類是以牛頓力學(xué)為代表 它能夠給出事件實現(xiàn)與否的準(zhǔn)確預(yù)言 人們稱之為力學(xué)決定論規(guī)律 或力學(xué)因果性規(guī)律 另一類是由量子力學(xué)和經(jīng)典物理學(xué)中的統(tǒng)計決 定論規(guī)律或統(tǒng)計因果性規(guī)律 對于事件的實現(xiàn)與否 它只能以確定 的概率加以預(yù)言這兩類自然界的規(guī)律 或者說這兩類規(guī)律對于自然 界的描述 究竟何者為根本這個問題是長期以來在哲學(xué)的自然觀層 次上進(jìn)行爭論的核心問題 從一定意義上說 力學(xué)規(guī)律性和統(tǒng)計規(guī)律性是兩套基本精神相反 的描述長期以來 人們對于物理學(xué)規(guī)律的認(rèn)識 受到力學(xué)決定論的 深刻影響 形成了根深蒂固的力學(xué)規(guī)律觀不少人認(rèn)為如著名的玻耳 茲曼定理所描述的動力學(xué)規(guī)律是自然界的基本規(guī)律 統(tǒng)計規(guī)律只是 對事物的因果聯(lián)系不夠了解的一種近似 或者說是大量遵循統(tǒng)計規(guī) 律的粒子的統(tǒng)計平均 統(tǒng)計學(xué)規(guī)律可以還原為動力學(xué)的規(guī)律 對于 確定性方程來說 隨機(jī)性是一種外在的干擾 是一種漲落和噪音確 定性方程得出確定性結(jié)果 隨機(jī)性方程則得出統(tǒng)計性結(jié)論 這表明 確定性和隨機(jī)性 必然性和偶然性的關(guān)系是外在的 并列的 所以 統(tǒng)計決定論是以一種權(quán)益的方法進(jìn)物理學(xué)統(tǒng)計力學(xué) 他沒有駁倒拉 普拉斯決定論 而是將它作為客觀世界的真實反映 這是科學(xué)所永 遠(yuǎn)追求的理想 量子力學(xué)的產(chǎn)生 由于測不準(zhǔn)關(guān)系 微觀客體在某時刻不能同 時具有坐標(biāo)和動量的準(zhǔn)確值 這種情況下用坐標(biāo)和動量來確定微觀 體系的狀態(tài) 在原則上是沒有意義的 所以必須用波函數(shù)來描述 由于波函數(shù)具有統(tǒng)計意義的內(nèi)容 即波函數(shù)的模量平方洲給出粒子 在時刻 T 位置 R 出現(xiàn)的幾率 微觀粒子應(yīng)遵從統(tǒng)計規(guī)律性 因此 在量子力學(xué)時代 人們相信微觀粒子的運動規(guī)律本質(zhì)上是統(tǒng)計性的 因而我們說量子力學(xué)的產(chǎn)生在一定程度上加劇了確定論和概率論的 分離 從一個極端走向另一個極端混沌理論的產(chǎn)生才真正架起了兩 者互相溝通的橋梁下面我們將通過對混沌理論的分析來說明這一問 題 三 保守系統(tǒng)中的混沌運動 混沌理論的產(chǎn)生和發(fā)展 基本上是沿著兩條路線展開的 實質(zhì)上 反映了混沌的兩個層次 第一 關(guān)于保守系統(tǒng)中的混沌運動 即哈 米頓函數(shù)不顯含時問 在時問演化中遵從劉維定理的可積系統(tǒng) 當(dāng) 其變得足夠復(fù)雜時 會不會有隨機(jī)性和統(tǒng)計描述的必要 甚至出現(xiàn) 不可逆性 這是確定論的牛頓力學(xué)方程的內(nèi)隨機(jī)性問題 即混沌的 微觀層次 第二 耗散系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象 即描述運動流體 化學(xué) 反應(yīng)介質(zhì)的帶有耗散項的非線性宏觀方程 它們本身是純確定論的 但其解在長時間范圍內(nèi)呈現(xiàn)出很混亂的需要統(tǒng)計描述的運動狀態(tài) 這是混沌的宏觀層次本文將通過對保守系統(tǒng)中混沌運動的分析 試 圖說明混沌理論如何架起確定論和概率論由此及彼的橋梁 對于稍微復(fù)雜的系統(tǒng) 由于軌道的不穩(wěn)定會使其出現(xiàn)隨機(jī)行為 未來狀態(tài)對初始條件極為敏感 從而使精確預(yù)測成為不可能 確定 論的牛頓力學(xué)方程具有內(nèi)在的不確定性 隨著人類認(rèn)識的深化 從 服從牛頓確定論規(guī)律的可積系統(tǒng)到由定理做穩(wěn)定性保證的近可積系 統(tǒng) 人們發(fā)現(xiàn) 能夠通過正則變換而消除自由度間相互作用的可積 系統(tǒng)很難 現(xiàn)實中大多數(shù)系統(tǒng)都是不可積系統(tǒng) 其混沌行為有力地 破壞了牛頓力學(xué)所描繪的確定論的封閉的宇宙畫面 從根本上沖擊 著牛頓力學(xué)的自然觀 為我們探討確定論和概率論的關(guān)系提供了新 的科學(xué)依據(jù) 四 混沌理論架起了確定論與概率論的橋梁 傳統(tǒng)觀念中 一個確定論的牛頓力學(xué)方程 只要給定了初始條件 就可以根據(jù)方程決定系統(tǒng)以后的任一狀態(tài) 宇宙就像有一個拉普拉 斯式的智能 這樣的智能 將用同樣一個公式囊括大至宇宙中最重 天體 小至最輕原子的運動 對于它來說 再沒有什么更確定的東 西 未來和過去同樣在它的眼前 未來狀態(tài)的可預(yù)言性及對初始條 件的不敏感便構(gòu)成了經(jīng)典確定論力學(xué)的基本特征 只有一個具有大 量自由度 各自由度之間互相作用和傳遞能量的系統(tǒng)才會表現(xiàn)出統(tǒng) 計性質(zhì) 然而混沌理論指出 自由度很小 甚至只有兩個自由度的 系統(tǒng)都會出現(xiàn)內(nèi)在隨機(jī)性 混沌出現(xiàn)時 隨機(jī)覆蓋整個相空間 這 時作為牛頓力學(xué)基礎(chǔ)的軌道概念便失去了意義 我們只能研究相點 和概率在某個區(qū)域出現(xiàn)的可能性 概率統(tǒng)計成了力學(xué)描述不可缺少 的部分 力學(xué)要擴(kuò)大自己 統(tǒng)計進(jìn)人到確定論力學(xué)的領(lǐng)域 混沌理論的產(chǎn)生 不僅使確定論牛頓力學(xué)發(fā)生了新的轉(zhuǎn)折 而且 也堪稱現(xiàn)代統(tǒng)計物理學(xué)發(fā)展中的一個里程碑 過去認(rèn)為多體效應(yīng)和 大數(shù)假設(shè)的統(tǒng)計性質(zhì)不可能出現(xiàn) 其實在自由度不多的系統(tǒng)中 由 于非線性的相互作用也能出現(xiàn)以前研究的隨機(jī)性 源于自由度的平 均和漲落 或者源于系統(tǒng)外部的無規(guī)則干擾 混沌理論揭示了一種 而且是廣泛存在的隨機(jī)性 內(nèi)在隨機(jī)性 由于力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部軌道 的不穩(wěn)定 傳統(tǒng)物理學(xué)中所研究的隨機(jī)性無論是長時間還是短時間 都是不可預(yù)測的 而內(nèi)隨機(jī)性只出現(xiàn)在系統(tǒng)的長時間范圍內(nèi) 短時 間的行為還是可以預(yù)測的 外隨機(jī)運動只能確定到它的統(tǒng)計數(shù)字特 征 混沌運動卻是確定論系統(tǒng)中出現(xiàn)的完全確定的運動 因此 我 們說混沌理論也擴(kuò)大了統(tǒng)計物理學(xué)的領(lǐng)域 使其深人到了確定論的 動力學(xué)體系 確定論和概率論的描述 在混沌理論中沿著兩個方面 終于走到了一起 從混沌理論的觀點來看 嚴(yán)格決定論只描述了極少數(shù)的可積系統(tǒng) 即可以通過正則變換而消除相互作用的系統(tǒng) 但自然界是普遍聯(lián)系 的 對于絕大多數(shù)系統(tǒng) 相互作用并不能通過正則變換而消除 因 此 在幾乎所有存在初始條件和參數(shù)變化的實際系統(tǒng)中 都會出現(xiàn) 混沌 只是混沌也許很弱或被其他因素所掩蓋 或者相互作用很小 短時間中此種不穩(wěn)定不足以影響整個系統(tǒng)的行為 所以 我認(rèn)為嚴(yán) 格決定論觀點其實包含了兩條形而上學(xué)的假定 1 可以用無限精確的測量來確定和區(qū)分力學(xué)方程所描述的運動軌 跡 2 確定論的方程 只要初始條件給定 其軌道無論在何時必然是 完全確定的 本身不包含任何不穩(wěn)定因素 即使存在不穩(wěn)定點其測 度也為零 第一條是從科學(xué)觀層次上來說明的 其涉及某種無窮過程的理想 極限然而科學(xué)所涉及的都是有限現(xiàn)象 因此 科學(xué)所研究的一切過 程都在必然中包含著偶然性的成分 只要承認(rèn)科學(xué)發(fā)展的任何階段 都存在著測量精度限制 確定論軌道就成為不能確定的抽象 現(xiàn)在 大多數(shù)人僅從人類認(rèn)識的意義上來批判嚴(yán)格的確定論 但是這一條 正像玻耳茲曼和玻恩一樣仍然暗含了客觀自然界在原則上是決定論 的 確定論描述和概率論描述的絕對對立仍源于人類認(rèn)識的局限性 測量永遠(yuǎn)是不可能完善的 但牛頓力學(xué)給人的信念是只要近似知 道了一個系統(tǒng)的初始條件和自然規(guī)律 就可以計算系統(tǒng)的近似行為 事物的行為方式有一種收斂性 任意小的影響是不會放大為任意大 的結(jié)果的 近似和收斂的信念一直存在于傳統(tǒng)科學(xué)哲學(xué)核心里 然 而混沌理論從自然界本身的意義上對經(jīng)典信念的反駁 使我們真正 看到嚴(yán)格決定論只是一個武斷的夢幻 混沌理論表明 在不可積系 統(tǒng)中存在著在相互作用下能發(fā)生重大變化的不穩(wěn)定軌道 這類軌道 在系統(tǒng)演化中會迅速增多 且對初始條件極為敏感 對此類軌道 無論實驗精度如何 都不可能預(yù)言和確定其長時間行為 可見 確 定性本身包含著不確定性 蘊涵著隨機(jī)的種子 這種隨機(jī)性決不會 因測量精度的無限提高而消除 另外還有許多最初不包含任何隨機(jī)因素的確定論方程 如帶有耗散 項的非線性迭代方程 由于相互作用 不同自由度間的耦合 或者 方程的迭代 使系統(tǒng)的復(fù)雜性不可逆地增強(qiáng) 不穩(wěn)定和隨機(jī)性也逐 漸增大 概率論的描述也就變得不可缺少 確定論方程中就會滋生 出隨機(jī)性 這種隨機(jī)性是復(fù)雜系統(tǒng)演化的必然結(jié)果 與測量毫無關(guān) 系 由此可見 隨機(jī)性并非完全和偶然性相伴 確定性也并非永遠(yuǎn) 必然 因此 確定性之中包含隨機(jī)性 嚴(yán)格的決定論描述要用概率 論來補充 即使存在一個拉普拉斯式的決定方程 它也無法從上述 確定論系統(tǒng)中得到混沌態(tài)時系統(tǒng)軌道的準(zhǔn)確預(yù)言 偶然性與隨機(jī)性 是客觀世界的一種必然特性 它們并不能因人類知識的無限增加 技術(shù)手段的不斷提高而消除 偶然性 隨機(jī)性同必然性 確定性一 樣是客觀實在的固有特性 是事物運動發(fā)展中互相滲透 互相包含 的兩個方面 純粹的確定性和隨機(jī)性只是出現(xiàn)在兩個極限條件下 即當(dāng)相互作用為零時 系統(tǒng)是完全確定的 而當(dāng)相互作用趨于無窮 大時 系統(tǒng)才會表現(xiàn)出無限增加的復(fù)雜性和不穩(wěn)定性 現(xiàn)實客觀系 統(tǒng)的運動 都是確定性與隨機(jī)性的對立統(tǒng)一 確定論與概率論是對 自然界必然性與偶然性的互補描述 兩者不存在誰為最根本的問題 確定論反映了自然界發(fā)展的必然性方面 而概率論則是對事物偶然 性 隨機(jī)性所遵從規(guī)律的描述 愛因斯坦指出 關(guān)于統(tǒng)計論與決定 論的對立問題 是這樣的 從直接經(jīng)驗的觀點來看 并沒有精確的 決定論 這一點大家完全同意 問題在于對自然界的理論描述 究 竟是不是存在一個原則上完全非統(tǒng)計性的概念圖像 通過對混沌理論的分析 我們認(rèn)為即使原則上也不存在完全非統(tǒng) 計性的關(guān)于實在的概念的圖像 嚴(yán)格的確定論與絕對的統(tǒng)計論都是 形而上學(xué)的兩極 實際上兩者是統(tǒng)一的 它們的關(guān)系是互補的 只 有將兩者結(jié)合起來 才能描述出實在的完整圖像 我們相信 科學(xué) 是走在一個沒有終點的道路上 形而上學(xué)的目標(biāo)在于吸引和激發(fā)著 人類理性不斷地努力追求 但人類認(rèn)識卻處于無限的發(fā)展中 一旦 達(dá)到了形而上學(xué)的終極 它也就走到了僵化的盡頭 成為辯證唯物 主義所批判的 形而上學(xué) 混沌理論在自然觀層次上對確定性與 隨機(jī)性的統(tǒng)一還帶給我們更深刻的哲學(xué)啟迪 康德因為 道德 的需要 認(rèn)為自由意志必須有 否則便談不上道德 又因為因果律 的存在 康德卻不能依他自己所構(gòu)筑的哲學(xué)體系的標(biāo)準(zhǔn) 邏輯地證 明自由意志的客觀存在 他只能主觀地設(shè)定它 而混沌理論把生氣 勃勃的智力創(chuàng)造和主體能動性加人了曾被完全物化了的經(jīng)典科學(xué) 加人了決定論 它既承認(rèn)世界的因果聯(lián)系的普遍性 又強(qiáng)調(diào)其特殊 性 既肯定有序 又肯定無序 并找到了兩者獨特的結(jié)合方式 既 肯定了事物的決定論結(jié)構(gòu) 又論證了內(nèi)在隨機(jī)性 并引人了自由意 志 正如圣克魯斯分校的混沌學(xué)家多內(nèi)法默所說 在哲學(xué)層次上 混沌給我們的印象是一種定義了自由意志的實用方式 這種方式使自 由意志和決定論相統(tǒng)一 同時 它也使我們深切地感受到 科學(xué)作 為人類理解自身所處環(huán)境的一種文化活動 對象化活動 它所提 供