二元一次方程組競賽題集(答案+解析)

二元一次方程組典型例題二元一次方程組典型例題 例例 1 1 已知方程組的解 x y 滿足方程 5x y 3 求 k 的值 思考與分析 本題有三種解法 前兩種為一般解法 后一種為巧解法 由已知方程組消去 k 得 x 與 y 的關(guān)系式 再與 5x y 3 聯(lián)立組成方程組求出 x y 的值 最后將 x y 的值代入方程組中任一方程即可求出 k 的值 把 k 當(dāng)做已知數(shù) 解方程組 再根據(jù) 5x y 3 建立關(guān)于 k 的方程 便可求出 k 的 值 將方程組中的兩個方程相加 得 5x y 2k 11 又知 5x y 3 所以整體代入即可 求出 k 的值 把代入 得 解得 k 4 解法二 3 得 17y k 22 解法三 得 5x y 2k 11 又由 5x y 3 得 2k 11 3 解得 k 4 小結(jié) 解題時我們要以一般解法為主 特殊方法雖然巧妙 但是不容易想到 有 思考巧妙解法的時間 可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了 當(dāng)然 巧妙解法很容 易想到的話 那就應(yīng)該用巧妙解 二元一次方程組能力提升講義二元一次方程組能力提升講義 知識提要知識提要 1 二元一次方程組的解的情況有以下三種 222 111 cybxa cybxa 當(dāng)時 方程組有無數(shù)多解 兩個方程等效 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 當(dāng)時 方程組無解 兩個方程是矛盾的 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 當(dāng) 即 a1b2 a2b1 0 時 方程組有唯一的解 2 1 2 1 b b a a 這個解可用加減消元法求得 1221 2112 1221 1221 baba acac y baba bcbc x 2 方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時 一般是不定解 即有無數(shù)多解 若要求整數(shù)解 可 按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行 3 求方程組中的待定系數(shù)的取值 一般是求出方程組的解 把待定系數(shù)當(dāng)己知數(shù) 再 解含待定系數(shù)的不等式或加以討論 見例 2 3 例題例題 例 1 選擇一組 a c 值使方程組 1 有無數(shù)多解 2 無解 3 有唯一的 cyax yx 2 75 解 例例 2 2 解方程組 思考與分析 本例是一個含字母系數(shù)的方程組 解含字母系數(shù)的方程組同解含字母 系數(shù)的方程一樣 在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)時 也需要弄清字母的取值 是否為零 解 由 得 y 4 mx 把 代入 得 2x 5 4 mx 8 解得 2 5m x 12 當(dāng) 2 5m 0 即 m 時 方程無解 則原方程組無解 當(dāng) 2 5m 0 即 m 時 方程解為 將代入 得 故當(dāng) m 時 原方程組的解為 例 3 a 取什么值時 方程組 的解是正數(shù) 3135yx ayx 例 4 m 取何整數(shù)值時 方程組的解 x 和 y 都是整數(shù) 14 42 yx myx 二元一次方程組的特殊解法二元一次方程組的特殊解法 1 1 二元一次方程組的常規(guī)解法 二元一次方程組的常規(guī)解法 是代入消元法和加減消元法 是代入消元法和加減消元法 這兩種方法都是從 消元 這個基本思想出發(fā) 先把 二元 轉(zhuǎn)化為 一元 把解二元一次方程組的問題歸結(jié)為解一元一次方程 在 消元 法中 包含了 未知 轉(zhuǎn)化到 已知 的重要數(shù)學(xué)化歸思想 2 2 靈活消元 靈活消元 1 1 整體代入法 整體代入法 1 1 解方程組 yx xy 1 4 2 3 231 2 2 先消常數(shù)法 先消常數(shù)法 2 2 解方程組 4331 32152 xy xy 3 3 設(shè)參代入法 設(shè)參代入法 3 解方程組 xy x y 321 4 32 4 4 換元法 換元法 4 4 解方程組 xyxy xyxy 23 6 34 5 5 簡化系數(shù)法 簡化系數(shù)法 5 5 解方程組 4331 3442 xy xy 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1 不解方程組 判定下列方程組解的情況 963 32 yx yx 324 32 yx yx 153 153 yx yx 2 a 取哪些正整數(shù)值 方程組的解 x 和 y 都是正整數(shù) ayx ayx 243 52 3 要使方程組的解都是整數(shù) k 應(yīng)取哪些整數(shù)值 12yx kkyx 二元一次方程組應(yīng)用探索二元一次方程組應(yīng)用探索 知識鏈接知識鏈接 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為 審 找 列 解 答 五步 即 1 審 通過審題 把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題 分析已知數(shù)和未知數(shù) 并用字母表 示其中的兩個未知數(shù) 2 找 找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系 3 列 根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式 從而列出方程組 4 解 解這個方程組 求出兩個未知數(shù)的值 5 答 在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上 寫出答案 二元一次方程組是最簡單的方程組 其應(yīng)用廣泛 尤其是生活 生產(chǎn)實踐中的許多問 題 大多需要通過設(shè)元 布列二元一次方程組來加以解決 現(xiàn)將常見的幾種題型歸納如下 一 數(shù)字問題一 數(shù)字問題 例 1 一個兩位數(shù) 比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大 9 如果交換十位上的數(shù)與個 位上的數(shù) 所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大 27 求這個兩位數(shù) 分析 設(shè)這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為 x 個位上的數(shù)為 y 則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其 之間的關(guān)系可用下表表示 解方程組 109 101027 xyxy yxxy 得 1 4 x y 因此 所求的兩位數(shù)是 14 點評 由于受一元一次方程先入為主的影響 不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元 然后列一元 一次方程求解 雖然這種方法十有八九可以奏效 但對有些問題是無能為力的 象本題 如果直接設(shè)這個兩位數(shù)為 x 或只設(shè)十位上的數(shù)為 x 那將很難或根本就想象不出關(guān)于 x 的 方程 一般地 與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題 一般應(yīng)設(shè)各個數(shù)位上的數(shù)為 元 然后 列多元方程組解之 二 利潤問題二 利潤問題 例 2 一件商品如果按定價打九折出售可以盈利 20 如果打八折出售可以盈利 10 元 問此商品的定價是多少 分析 商品的利潤涉及到進(jìn)價 定價和賣出價 因此 設(shè)此商品的定價為 x 元 進(jìn)價 十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系 原兩位數(shù)xy10 x y10 x y x y 9 新兩位數(shù)y 10y x10y x 10 x y 27 為 y 元 則打九折時的賣出價為 0 9x 元 獲利 0 9x y 元 因此得方程 0 9x y 20 y 打八 折時的賣出價為 0 8x 元 獲利 0 8x y 元 可得方程 0 8x y 10 解方程組 0 920 0 810 xyy xy 解得 200 150 x y 因此 此商品定價為 200 元 點評 商品銷售盈利百分?jǐn)?shù)是相對于進(jìn)價而言的 不要誤為是相對于定價或賣出 價 利潤的計算一般有兩種方法 一是 利潤 賣出價 進(jìn)價 二是 利潤 進(jìn)價 利潤率 盈利百分?jǐn)?shù) 特別注意 利潤 和 利潤率 是不同的兩個概念 三 配套問題三 配套問題 例 3 某廠共有 120 名生產(chǎn)工人 每個工人每天可生產(chǎn)螺栓 25 個或螺母 20 個 如果 一個螺栓與兩個螺母配成一套 那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓 多少名工人生產(chǎn)螺母 才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套 分析 要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套 只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套 根 據(jù)題意 每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式 每天生產(chǎn)的螺栓數(shù) 2 每天生產(chǎn)的螺母數(shù) 1 因此 設(shè)安排 人生產(chǎn)螺栓 人生產(chǎn)螺母 則每天可生產(chǎn)螺栓 25 個 螺母 20 個 依題意 得 120 502201 xy xy 解之 得 20 100 x y 故應(yīng)安排 20 人生產(chǎn)螺栓 100 人生產(chǎn)螺母 點評 產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一 如何分配生產(chǎn)力 使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰 好配套成為主管生產(chǎn)人員常見的問題 解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等 關(guān)系 其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是 1 二合一 問題 如果 件甲產(chǎn)品和 件乙產(chǎn)品配成一套 那么甲產(chǎn)品數(shù)的 倍等 于乙產(chǎn)品數(shù)的 倍 即 ab 甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù) 2 三合一 問題 如果甲產(chǎn)品 件 乙產(chǎn)品 件 丙產(chǎn)品 件配成一套 那么各種 產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿足的相等關(guān)系式是 abc 甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù) 四 行程問題四 行程問題 例 4 在某條高速公路上依次排列著 A B C 三個加油站 A 到 B 的距離為 120 千米 B 到 C 的距離也是 120 千米 分別在 A C 兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同 時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場 正在 B 站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命 令后立即以相同的速度分別往 A C 兩個加油站駛?cè)?結(jié)果往 B 站駛來的團(tuán)伙在 1 小時后 就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住 而另一團(tuán)伙經(jīng)過 3 小時后才被另一輛巡邏車追趕 上 問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少 研析 設(shè)巡邏車 犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為 x y 千米 時 則 3120 120 xy xy 整理 得 40 120 xy xy 解得 80 40 x y 因此 巡邏車的速度是 80 千米 時 犯罪團(tuán)伙的車的速度是 40 千米 時 點評 相向而遇 和 同向追及 是行程問題中最常見的兩種題型 在這兩種題型中都 存在著一個相等關(guān)系 這個關(guān)系涉及到兩者的速度 原來的距離以及行走的時間 具體表 現(xiàn)在 相向而遇 時 兩者所走的路程之和等于它們原來的距離 同向追及 時 快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離 五 貨運問題五 貨運問題 典例 5 某船的載重量為 300 噸 容積為 1200 立方米 現(xiàn)有甲 乙兩種貨物要運 其 中甲種貨物每噸體積為 6 立方米 乙種貨物每噸的體積為 2 立方米 要充分利用這艘船的 載重和容積 甲 乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸 分析 充分利用這艘船的載重和容積 的意思是 貨物的總重量等于船的載重量 且 貨 物的體積等于船的容積 設(shè)甲種貨物裝 x 噸 乙種貨物裝 y 噸 則 300 621200 xy xy 整理 得 300 3600 xy xy 解得 150 150 x y 因此 甲 乙兩重貨物應(yīng)各裝 150 噸 點評 由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡 因此 解實際問題的方程組時要 注意先化簡 再考慮消元和解法 這樣可以減少計算量 增加準(zhǔn)確度 化簡時一般是去分 母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最大公約數(shù)或移項 合并同類項等 六 工程問題六 工程問題 例 6 某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù) 要求在規(guī)定期限內(nèi)完成 按照這個服 裝廠原來的生產(chǎn)能力 每天可生產(chǎn)這種服裝 150 套 按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限 內(nèi)只能完成訂貨的 4 5 現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程 每天可生產(chǎn)這種工作服 200 套 這樣不僅比規(guī)定時間少用 1 天 而且比訂貨量多生產(chǎn) 25 套 求訂做的工作服是幾 套 要求的期限是幾天 分析 設(shè)訂做的工作服是 x 套 要求的期限是 y 天 依題意 得 4 150 5 200125 yx yx 解得 3375 18 x y 點評 工程問題與行程問題相類似 關(guān)鍵要抓好三個基本量的關(guān)系 即 工作量 工作 時間 工作效率 以及它們的變式 工作時間 工作量 工作效率 工作效率 工作量 工作時 間 其次注意當(dāng)題目與工作量大小 多少無關(guān)時 通常用 1 表示總工作量 例例 7 7 某種商品價格為每件 元 某人身邊只帶有 元和 元兩種面值的人民幣 各若干張 買了一件這種商品 若無需找零錢 則付款方式有哪幾種 指付出 元和 元 錢的張數(shù) 哪種付款方式付出的張數(shù)最少 思考與分析 本題我們可以運用方程思想將此問題轉(zhuǎn)化為方程來求解 我們先找 出問題中的數(shù)量關(guān)系 再找出最主要的數(shù)量關(guān)系 構(gòu)建等式 然后找出已知量和未知量設(shè) 元 列方程組求解 最后 比較各個解對應(yīng)的 x y 的值 即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少 解 設(shè)付出 元錢的張數(shù)為 x 付出 元錢的張數(shù)為 y 則 x y 的取值均為自然數(shù) 依題意可得方程 2x 5y 33 因為 5y 個位上的數(shù)只可能是 或 所以 2x 個位上數(shù)應(yīng)為 或 又因為 x 是偶數(shù) 所以 x 個位上的數(shù)是 從而此方程的解為 由得 x y 12 由得 x y 15 所以第一種付款方式 付出的張數(shù)最少 答 付款方式有 種 分別是 付出 張 元錢和 張 元錢 付出 張 元錢 和 張 元錢 付出 張 元錢和 張 元錢 其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少 例例 8 8 某中學(xué)新建了一棟 4 層的教學(xué)大樓 每層樓有 8 間教室 這棟大樓共有 4 道門 其中兩道正門大小相同 兩道側(cè)門大小也相同 安全檢查中 對 4 道門進(jìn)行了訓(xùn)練 當(dāng)同時 開啟一道正門和兩道側(cè)門時 2 分鐘內(nèi)可以通過 560 名學(xué)生 當(dāng)同時開啟一道正門和一道 側(cè)門時 4 分鐘可以通過 800 名學(xué)生 1 求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生 2 檢查中發(fā)現(xiàn) 緊急情況時因?qū)W生擁擠 出門的效率將降低 20 安全檢查規(guī)定 在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在 5 分鐘內(nèi)通過這 4 道門安全撤離 假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教 室最多有 45 名學(xué)生 問 建造的這 4 道門是否符合安全規(guī)定 請說明理由 思考與解 1 設(shè)平均每分鐘一道正門可通過 x 名學(xué)生 一道側(cè)門可以通過 y 名學(xué)生 根據(jù)題意 得 所以平均每分鐘一道正門可以通過學(xué)生 120 人 一道側(cè)門可以通過學(xué)生 80 人 2 這棟樓最多有學(xué)生 4 8 45 1440 人 擁擠時 5 分鐘 4 道門能通過 5 2 120 80 1 20 1600 人 因為 1600 1440 所以建造的 4 道門符合安全規(guī)定 答 平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過 120 名學(xué)生 80 名學(xué)生 建造的這 4 道 門符合安全規(guī)定 例例 9 9 某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表 張強(qiáng)兩次共購買香蕉 50 千克 第二次多于第一次 共付款 264 元 請問張強(qiáng)第一次 第二次分別購買香蕉多少千克 思考與分析 要想知道張強(qiáng)第一次 第二次分別購買香蕉多少千克 我們可以從香蕉 的價格和張強(qiáng)買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手 通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分 三段 分別是 6 元 5 元 4 元 相對應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段 我們可以假設(shè)張強(qiáng)兩 次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi) 利用分類討論的方法求得張強(qiáng)第一次 第二次分 別購買香蕉的千克數(shù) 解 設(shè)張強(qiáng)第一次購買香蕉 x 千克 第二次購買香蕉 y 千克 由題意 得 0 x 25 當(dāng) 0 x 20 y 40 時 由題意 得 當(dāng) 040 時 由題意 得 與 0 x 20 y 40 相 矛盾 不合題意 舍去 當(dāng) 20 x 25 時 25 y 30 此時張強(qiáng)用去的款項為 5x 5y 5 x y 5 50 250 264 不合題意 舍去 綜合 可知 張強(qiáng)第一次購買香蕉 14 千克 第二次購買香蕉 36 千克 答 張強(qiáng)第一次 第二次分