一元二次方程專題能力培優(yōu)

第第 2 章章 一元二次方程一元二次方程 2 1 一元二次方程一元二次方程 專題一專題一 利用一元二次方程的定義確定字母的取值利用一元二次方程的定義確定字母的取值 1 已知是關于 x 的一元二次方程 則 m 的取值范圍是 2 3 21mxmx A m 3 B m 3 C m 2 D m 2 且 m 3 2 已知關于 x 的方程 問 2 1 1 2 10 m mxmx 1 m 取何值時 它是一元二次方程并寫出這個方程 2 m 取何值時 它是一元一次方程 專題二專題二 利用一元二次方程的項的概念求字母的取值利用一元二次方程的項的概念求字母的取值 3 關于 x 的一元二次方程 m 1 x2 5x m2 1 0 的常數(shù)項為 0 求 m 的值 4 若一元二次方程沒有一次項 則 a 的值為 2 24 36 80axaxa 專題三專題三 利用一元二次方程的解的概念求字母 代數(shù)式利用一元二次方程的解的概念求字母 代數(shù)式 5 已知關于 x 的方程 x2 bx a 0 的一個根是 a a 0 則 a b 值為 A 1 B 0 C 1 D 2 6 若一元二次方程 ax2 bx c 0 中 a b c 0 則此方程必有一個根為 7 已知實數(shù) a 是一元二次方程 x2 2013x 1 0 的解 求代數(shù)式的值 2 2 1 2012 2013 a aa 知識要點 知識要點 1 只含有一個未知數(shù) 一元 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 二次 等號兩邊都是整式的 方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 其中 ax2是二次項 a 是二次項系數(shù) bx 是一次項 b 是一次項系數(shù) c 是常數(shù)項 3 使一元二次方程的兩邊相等的未知數(shù)的值 叫做一元二次方程的解 又叫一元二次方程 的根 溫馨提示 溫馨提示 1 一元二次方程概念中一定要注意二次項系數(shù)不為 0 的條件 2 一元二次方程的根是兩個而不再是一個 方法技巧 方法技巧 1 axk bx c 0 是一元一次方程的情況有兩種 需要分類討論 2 利用一元二次方程的解求字母或者代數(shù)式的值時常常用到整體思想 需要同學們認真領 會 答案 1 D 解析 解得 m 2 且 m 3 30 20 m m 2 解 1 當時 它是一元二次方程 解得 m 1 2 12 10 m m 當 m 1 時 原方程可化為 2x2 x 1 0 2 當或者當 m 1 m 2 0 且 m2 1 1 時 它是一元一次方程 20 10 m m 解得 m 1 m 0 故當 m 1 或 0 時 為一元一次方程 3 解 由題意 得 解得 m 1 2 10 10 m m 4 a 2 解析 由題意得解得 a 2 360 240 a a 5 A 解析 關于 x 的方程 x2 bx a 0 的一個根是 a a 0 a2 ab a 0 a a b 1 0 a 0 1 b a 0 a b 1 6 x 1 解析 比較兩個式子 會發(fā)現(xiàn) 1 等號右邊相同 2 等號左邊最后一項相同 3 第一個式子 x2對應了 第二個式子中的 1 第一個式子中的 x 對應了第二個式子中的 1 故 解得 x 1 2 1 1 x x 7 解 實數(shù) a 是一元二次方程 x2 2013x 1 0 的解 a2 2013a 1 0 a2 1 2013a a2 2013a 1 2 22 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 專題一專題一 利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值 1 1 若方程 25x2 k 1 x 1 0 的左邊可以寫成一個完全平方式 則 k 的值為 A 9 或 11 B 7 或 8 C 8 或 9 C 8 或 9 2 如果代數(shù)式 x2 6x m2是一個完全平方式 則 m 3 用配方法證明 無論 x 為何實數(shù) 代數(shù)式 2x2 4x 5 的值恒小于零 專題二專題二 利用利用 判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍 4 已知 a b c 分別是三角形的三邊 則方程 a b x2 2cx a b 0 的根的情況是 A 沒有實數(shù)根 B 可能有且只有一個實數(shù)根 C 有兩個相等的實數(shù)根D 有兩個不相等的實數(shù)根 5 關于 x 的方程 kx2 3x 2 0 有實數(shù)根 則 k 的取值范圍是 6 定義 如果一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 滿足 a b c 0 那么我們稱這個方程 為 鳳凰 方程 已知 ax2 bx c 0 a 0 是 鳳凰 方程 且有兩個相等的實數(shù)根 則下列 結 論正確的是 A a cB a b C b cD a b c 專題三專題三 解絕對值方程和高次方程解絕對值方程和高次方程 7 若方程 x2 y2 5 2 64 則 x2 y2 8 閱讀題例 解答下題 例 解方程 x2 x 1 1 0 解 1 當 x 1 0 即 x 1 時 x2 x 1 1 0 x2 x 0 解得 x1 0 不合題設 舍去 x2 1 2 當 x 1 0 即 x 1 時 x2 x 1 1 0 x2 x 2 0 解得 x1 1 不合題設 舍去 x2 2 綜上所述 原方程的解是 x 1 或 x 2 依照上例解法 解方程 x2 2 x 2 4 0 專題四專題四 一元二次方程 二次三項式因式分解 不等式組之間的微妙聯(lián)系一元二次方程 二次三項式因式分解 不等式組之間的微妙聯(lián)系 9 探究下表中的奧秘 并完成填空 10 請先閱讀例題的解答過程 然后再解答 代數(shù)第三冊在解方程 3x x 2 5 x 2 時 先將方程變形為 3x x 2 5 x 2 0 這個方程左邊可以分解成兩個一次因式的積 所以方程變形為 x 2 3x 5 0 我們 知 道 如果兩個因式的積等于 0 那么這兩個因式中至少有一個等于 0 反過來 如果兩個 因式有一個等于 0 它們的積等于 0 因此 解方程 x 2 3x 5 0 就相當于解方程 x 2 0 或 3x 5 0 得到原方程的解為 x1 2 x2 5 3 根據(jù)上面解一元二次方程的過程 王力推測 a b 0 則有 或者請判斷 0 0 a b 0 0 a b 王 力的推測是否正確 若正確 請你求出不等式 的解集 如果不正確 請說明理 51 0 23 x x 由 專題五專題五 利用根與系數(shù)的關系求字母的取值范圍及求代數(shù)式的值利用根與系數(shù)的關系求字母的取值范圍及求代數(shù)式的值 11 設 x1 x2是一元二次方程 x2 4x 3 0 的兩個根 2x1 x22 5x2 3 a 2 則 a 12 2012 懷化 已知 x1 x2是一元二次方程的兩個實數(shù)根 026 2 aaxxa 是否存在實數(shù) a 使 x1 x1x2 4 x2成立 若存在 求出 a 的值 若不存在 請你 說明理由 求使 x1 1 x2 1 為負整數(shù)的實數(shù) a 的整數(shù)值 13 1 教材中我們學習了 若關于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的兩根為 x1 x2 x1 x2 x1 x2 根據(jù)這一性質 我們可以求出已知方程關于 x1 x2的代數(shù)式的值 例如 已 b a c a 知 x1 x2為方程 x2 2x 1 0 的兩根 則 1 x1 x2 x1 x2 那么 x12 x22 x1 x2 2 2 x1 x2 請你完成以上的填空 2 閱讀材料 已知 且 求的值 22 10 10mmnn 1mn 1mn n 解 由可知 2 10nn 0n 2 11 10 nn 2 11 10 nn 又且 即 是方程的兩根 2 10 mm 1mn 1 m n 1 m n 2 10 xx 1 1 1m n 1mn n 3 根據(jù)閱讀材料所提供的的方法及 1 的方法完成下題的解答 已知 且 求的值 22 2310 320mmnn 1mn 2 2 1 m n 知識要點 知識要點 1 解一元二次方程的基本思想 降次 解一元二次方程的常用方法 直接開平方法 配 方法 公式法 因式分解法 2 一元二次方程的根的判別式 b 4ac 與一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的關系 當 0 時 一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)解 當 0 時 一元二次方程有兩個相等的實數(shù)解 0 k 0 時 a x h 2 k k 當 a 0 k0 1 p 0 9 p 0 1 10 答 平均每次下調 10 2 先下調 5 再下調 15 這樣最后單價為 7000 元 1 5 1 15 5652 5 元 銷售經(jīng)理的方案對購房者更優(yōu)惠一些 7 解 因為 60 棵樹苗售價為 120 元 60 7200 元 8800 元 所以該校購買樹苗超過 60 棵 設該校共購買了 x 棵樹苗 由題意 得 1200 5608800 xx 解得 12 220 80 xx 當時 不合題意 舍去 1 220 x 1200 5 2206040100 1 220 x 當時 2 80 x 1200 5 8060110100 2 80 x 80 x 答 該校共購買了 80 棵樹苗 8 解 1 27 0 3 26 7 2 設需要銷售出 x 部汽車可盈利 12 萬元 當銷售 10 部以內 含 10 部 時 依題可得 28 27 0 1 x 1 x 0 5x 12 解得 當銷售 6 部汽車時 當月可盈利 12 萬元 6 20 21 xx 不合題意 舍去 當銷售 10 部以上時 依題可得 28 27 0 1 x 1 x x 12 解得 均不合題意 應舍去 24 5 21 xx 答 當銷售 6 部汽車時 當月可盈利 12 萬元 9 解 1 n 3 2 設這個凸多邊形是n邊形 由題意 得 3 14 2 n n 解得 不合題意 舍去 答 這個凸多邊形是七邊形 12 7 4nn 3 不存在 理由 假設存在n邊形有 21 條對角線 由題