2011高中數(shù)學(xué)二輪基本內(nèi)容十大攻略 第06講 立體幾何新題型的解題技巧

1 解答題中綜合出現(xiàn) 解答題中綜合出現(xiàn) 3 3 多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念 性質(zhì)多在選擇題 填空題出現(xiàn)多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念 性質(zhì)多在選擇題 填空題出現(xiàn) 4 4 有關(guān)三棱柱 四棱柱 三棱錐的問題 特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點(diǎn)有關(guān)三棱柱 四棱柱 三棱錐的問題 特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點(diǎn) 此類題目分值一般在此類題目分值一般在 17 2217 22 分之間 題型一般為分之間 題型一般為 1 1 個(gè)選擇題 個(gè)選擇題 1 1 個(gè)填空題 個(gè)填空題 1 1 個(gè)解答題個(gè)解答題 考點(diǎn)透視 A A 版版 掌握兩條直線所成的角和距離的概念 對(duì)于異面直線的距離 只要求 會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離 掌握斜線在平面上的射影 直線和平面所成的角 直線和平 面的距離的概念 掌握二面角 二面角的平面角 兩個(gè)平行平面間的距離的概念 B B 版版 理解空間向量的概念 掌握空間向量的加法 減法和數(shù)乘 了解空間向量的基本定理 理解空間向量坐標(biāo)的概念 掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì) 掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積公式 理解直線的方向向量 平面的法向量 向量在平面內(nèi)的射影等概念 了解多面體 凸多面體 正多面體 棱柱 棱錐 球的概念 掌握棱柱 棱錐 球的性質(zhì) 掌握球的表面積 體積公式 會(huì)畫直棱柱 正棱錐的直觀圖 空間距離和角是高考考查的重點(diǎn)空間距離和角是高考考查的重點(diǎn) 特別是以兩點(diǎn)間距離 點(diǎn)到平面的距離 兩異面直 線的距離 直線與平面的距離以及兩異面直線所成的角 直線與平面所成的角 二面角等 作為命題的重點(diǎn)內(nèi)容 高考試題中常將上述內(nèi)容綜合在一起放在解答題中進(jìn)行考查 分為 多個(gè)小問題 也可能作為客觀題進(jìn)行單獨(dú)考查 考查空間距離和角的試題一般作為整套試卷 的中檔題 但也可能在最后一問中設(shè)置有難度的問題 不論是求空間距離還是空間角 都要按照 一作 二證 三算 的步驟來(lái)完成 即寓 證明于運(yùn)算之中 正是本專題的一大特色 求解空間距離和角的方法有兩種 一是利用傳統(tǒng)的幾何方法 二是利用空間向量 例題解析 考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離 求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度 其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂 足 當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用 典型例題 例 1 20072007 年福建卷理 年福建卷理 如圖 正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為 為中點(diǎn) 111 ABCABC 2D 1 CC 求證 平面 1 AB 1 ABD 求二面角的大小 1 AADB 求點(diǎn)到平面的距離 C 1 ABD 考查目的 考查目的 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系 二面角的 大小 點(diǎn)到平面的距離等知識(shí) 考查空間想象能力 邏輯思維 能力和運(yùn)算能力 解答過程解答過程 解法一 取中點(diǎn) 連結(jié) BCOAO 為正三角形 ABC AOBC 正三棱柱中 平面平面 111 ABCABC ABC 11 BCC B A B C D 1 A 1 C 1 B A B C D 1 A 1 C 1 B O F 2 平面 AO 11 BCC B 連結(jié) 在正方形中 分別為 1 BO 11 BBC COD 的中點(diǎn) 1 BCCC 1 BOBD 1 ABBD 在正方形中 平面 11 ABB A 11 ABAB 1 AB 1 ABD 設(shè)與交于點(diǎn) 在平面中 作于 連結(jié) 由 得 1 AB 1 ABG 1 ABD 1 GFAD FAF 平面 1 AB 1 ABD 為二面角的平面角 1 AFAD AFG 1 AADB 在中 由等面積法可求得 1 AAD 4 5 5 AF 又 1 1 2 2 AGAB 210 sin 44 5 5 AG AFG AF 所以二面角的大小為 1 AADB 10 arcsin 4 中 1 ABD 1 11 52 26 A BD BDADABS 1 BCD S 在正三棱柱中 到平面的距離為 1 A 11 BCC B3 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為 C 1 ABD d 由 得 11 ABCDCA BD VV 1 11 3 33 BCDA BD SSd AA 1 32 2 BCD A BD S d S 點(diǎn)到平面的距離為 C 1 ABD 2 2 解法二 取中點(diǎn) 連結(jié) BCOAO 為正三角形 ABC AOBC 在正三棱柱中 平面平面 111 ABCABC ABC 11 BCC B 平面 AD 11 BCC B 取中點(diǎn) 以為原點(diǎn) 的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角 11 BC 1 OOOB 1 OO OA xyz 坐標(biāo)系 則 10 0 B 110 D 1 0 2 3 A 0 03 A 1 12 0 B 1 123 AB 210 BD 1 123 BA x z A B C D 1 A 1 C 1 B O F y 3 1 2200AB BD A 11 1430AB BA A 1 ABBD 11 ABBA 平面 1 AB 1 ABD 設(shè)平面的法向量為 1 A AD xyz n 113 AD 1 0 2 0 AA AD n 1 AA n 1 0 0 AD AA A A n n 30 20 xyz y 0 3 y xz 令得為平面的一個(gè)法向量 1z 3 01 n 1 A AD 由 知平面 1 AB 1 ABD 為平面的法向量 1 AB 1 ABD cos n1 1 1 336 42 2 2 AB AB AB A AA n n 二面角的大小為 1 AADB 6 arccos 4 由 為平面法向量 1 AB 1 ABD 1 2 0 0 123 BCAB 點(diǎn)到平面的距離 C 1 ABD 1 1 22 22 2 BC AB d AB A 小結(jié)小結(jié) 本例中 采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離 解法二采用了平面向量的計(jì)算方法 把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算 1 AMB 1 AMB 方法 這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法 解法一采用了等體積法 這種方法可以避免復(fù)雜的幾 何作圖 顯得更簡(jiǎn)單些 因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法 例例 2 2 2006 年湖南卷 如圖 已知兩個(gè)正四棱錐P ABCD與Q ABCD的高分別為 1 和 2 AB 4 證明PQ 平面ABCD 求異面直線AQ與PB所成的角 求點(diǎn)P到平面QAD的距離 命題目的命題目的 本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系 異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離 基本知識(shí) 考查空間想象能力 邏輯思維能力和運(yùn)算能力 4 過程指引過程指引 方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距 離和角 方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角 的一般方法 解答過程解答過程 方法一 取AD的中點(diǎn) 連結(jié)PM QM 因?yàn)镻 ABCD與Q ABCD都是正四棱錐 所以AD PM AD QM 從而AD 平面PQM 又平面PQM 所以PQ AD PQ 同理PQ AB 所以PQ 平面ABCD 連結(jié)AC BD設(shè) 由PQ 平面ABCD及OBDAC 正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上 從而P A Q C四點(diǎn)共面 取OC的中點(diǎn)N 連接PN 因?yàn)?所以 2 1 2 1 OC NO OA NO OQ PO OA NO OQ PO 從而AQ PN BPN 或其補(bǔ)角 是異面直線AQ與PB所成的角 因?yàn)?2222 2 2 13PBOBOP 222 2 13 PNONOP 10 2 22 2 2 22 ONOBBN 所以 9 3 332 1039 2 cos 222 PNPB BNPNPB BPN 從而異面直線AQ與PB所成的角是 9 3 arccos 連結(jié)OM 則 11 2 22 OMABOQ 所以 MQP 45 由 知AD 平面PMQ 所以平面PMQ 平面QAD 過 P 作 PH QM 于 H PH 平面QAD 從而 PH 的長(zhǎng)是點(diǎn)P到平面QAD的距離 又 0 3 2 3 sin45 2 PQPOQOPHPQ 即點(diǎn)P到平面QAD的距離是 3 2 2 方法二 連結(jié)AC BD 設(shè) OBDAC 由P ABCD與Q ABCD都是正四棱錐 所以PO 平面ABCD QO 平面ABCD Q B C P A D z yx O Q B C P A D O M 5 從而P O Q三點(diǎn)在一條直線上 所以PQ 平面ABCD 由題設(shè)知 ABCD是正方形 所以AC BD 由 QO 平面ABCD 故可分別以直線CA DB QP為x軸 y軸 z軸建立空間 直角坐標(biāo)系 如圖 由題條件 相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P 0 0 1 A 0 0 22 Q 0 0 2 B 0 0 22 所以 2 0 22 AQ 0 2 2 1 PB 于是 9 3 cos PBAQ 由 點(diǎn)D的坐標(biāo)是 0 0 22 0 22 22 AD 設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量 由 0 0 3 PQ zyxn 得 0 0 ADn AQn 0 02 yx zx 取x 1 得 2 1 1 n 所以點(diǎn)P到平面QAD的距離 3 2 2 PQ n d n 考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 異面直線的距離異面直線的距離 此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法 考綱只要求掌握已給出公垂線段 的異面直線的距離 典型例題 例例 3 3 已知三棱錐 底面是邊長(zhǎng)為的正三角形 棱的長(zhǎng)為 2 且垂直于ABCS 24SC 底面 分別為的中點(diǎn) 求CD與SE間的距離 DE ABBC 思路啟迪思路啟迪 由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找 所以設(shè)法 將所求異面直線的距離 轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離 再進(jìn)一步 轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離 解答過程解答過程 如圖所示 取BD的中點(diǎn)F 連結(jié)EF SF CF 為的中位線 面 EF BCD EF CDCD SEF 到平面的距離即為兩異面直線間的距離 CD SEF 又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面 CDSEF 的距離 設(shè)其為h 由題意知 D E F分別是24 BC 6 AB BC BD的中點(diǎn) 2 2 6 2 1 62 SCDFCDEFCD 3 32 226 2 1 3 1 2 1 3 1 SCDFEFV CEFS 在 Rt中 SCE 32 22 CESCSE 在 Rt中 SCF 302244 22 CFSCSF 又3 6 SEF SEF 由于 即 解得hSVV SEFCEFSSEFC 3 1 3 32 3 3 1 h 3 32 h 故CD與SE間的距離為 3 32 小結(jié)小結(jié) 通過本例我們可以看到求空間距離的過程 就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程 考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 直線到平面的距離直線到平面的距離 此類題目再加上平行平面間的距離 主要考查點(diǎn)面 線面 面面距離間的轉(zhuǎn)化 典型例題 例例 4 4 如圖 在棱長(zhǎng)為 2 的正方體中 G是的中點(diǎn) 求BD到平面的距離 1 AC 1 AA 11D GB 思路啟迪思路啟迪 把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離 再用點(diǎn)到平面距離 的方法求解 解答過程解答過程 解析一 平面 BD 11D GB 上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求 以下求BD 11D GB 點(diǎn)O平面的距離 11D GB 平面 1111 CADB AADB 111 11D B 11ACC A 又平面 11D B 11D GB 平面 兩個(gè)平面的交線是 1111 DGBACCA GO1 作于 H 則有平面 即OH是O點(diǎn)到平面的距離 GOOH 1 OH 11D GB 11D GB 在中 OGO1 222 2 1 2 1 1 1 AOOOS OGO BA C D O G H 1 A 1 C 1 D 1 B 1 O 7 又 3 62 23 2 1 2 1 1 1 OHOHGOOHS OGO 即BD到平面的距離等于 11D GB 3 62 解析二 平面 BD 11D GB 上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求 以下求點(diǎn)B平面的距離 BD 11D GB 11D GB 設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h 將它視為三棱錐的高 則 11D GB 11D GBB 由于6322 2 1 111111 DGBGBBDDGBB SVV 3 4 222 2 1 3 1 11 GBBD V 3 62 6 4 h 即BD到平面的距離等于 11D GB 3 62 小結(jié)小結(jié) 當(dāng)直線與平面平行時(shí) 直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等 都是線面距離 所以求 線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn) 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離 本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離 解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離 考點(diǎn)考點(diǎn) 4 4 異面直線所成的角異面直線所成的角 此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角 然后通過解三角形來(lái)求角 異面直線所 成的角是高考考查的重點(diǎn) 典型例題 例例 5 5 20072007 年北京卷文 年北京卷文 如圖 在中 斜邊 可以通RtAOB 6 OAB 4AB RtAOC 過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到 且二面角的直二RtAOB AOBAOC 面角 是的中點(diǎn) DAB I 求證 平面平面 COD AOB II 求異面直線與所成角的大小 AOCD 思路啟迪思路啟迪 II 的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi) 解答過程解答過程 解法 1 I 由題意 COAO BOAO 是二面角是直二面角 BOC BAOC 又 COBO AOBOO 平面 CO AOB 又平面 CO COD 平面平面 COD AOB II 作 垂足為 連結(jié) 如圖 則 DEOB ECEDEAO 是異面直線與所成的角 CDE AOCD O C A D B E O C A D B x y z 8 在中 RtCOE 2COBO 1 1 2 OEBO 22 5CECOOE 又 1 3 2 DEAO 在中 RtCDE 515 tan 33 CE CDE DE 異面直線與所成角的大小為 AOCD 15 arctan 3 解法 2 I 同解法 1 II 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則 Oxyz 0 0 0 O 0 0 2 3 A 2 0 0 C 013 D 0 0 2 3 OA 213 CD cos OA CD OACD OA CD A A 66 42 3 2 2 A 異面直線與所成角的大小為 AOCD 6 arccos 4 小結(jié)小結(jié) 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形 作法有 平移法 在異面直 線中的一條直線上選擇 特殊點(diǎn) 作另一條直線的平行線 如解析一 或利用中位線 如 解析二 補(bǔ)形法 把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體 其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間 的關(guān)系 如解析三 一般來(lái)說(shuō) 平移法是最常用的 應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法 同 時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍 2 0 例例 6 6 2006 年廣東卷 如圖所示 AF DE分別是 O O1的直徑 AD與兩圓所在的平面 均垂直 AD 8 BC是 O 的直徑 AB AC 6 OE AD 求二面角B AD F的大小 求直線BD與EF所成的角 命題目的命題目的 本題主要考查二面角以及異面直線所成的角等基 本知識(shí) 考查空間想象能力 邏輯思維能力和運(yùn)算能力 過程指引過程指引 關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角并 掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法 解答過程解答過程 AD與兩圓所在的平面均垂直 AD AB AD AF 故 BAF是二面角B AD F的平面角 是矩形的直徑 是圓 ABFCOBCAF 是正方形 又ABFCACAB 6 由于ABFC是正方形 所以 BAF 450 即二面角 B AD F 的大小為 450 9 以 O 為原點(diǎn) BC AF OE 所在直線為坐標(biāo)軸 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 則 O 0 0 0 A 0 0 B 0 0 D 0 8 E 0 0 8 23 2323 F 0 0 23 所以 8 23 0 8 23 23 FEBD 0 186482 cos 10 10082 BD FE BD FE BDFE 設(shè)異面直線BD與EF所成角為 則 82 coscos 10 BD FE 故直線BD與EF所成的角為 10 82 arccos 考點(diǎn)考點(diǎn) 5 5 直線和平面所成的角直線和平面所成的角 此類題主要考查直線與平面所成的角的作法 證明以及計(jì)算 線面角在空間角中占有重要地位 是高考的常考內(nèi)容 典型例題 例例 7 7 20072007 年全國(guó)卷年全國(guó)卷 理 理 四棱錐中 底面為平行四邊形 側(cè)面底面 已知 SABCD ABCDSBC ABCD45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 證明 SABC 求直線與平面所成角的大小 SDSAB 考查目的 考查目的 本小題主要考查直線與直線 直線與平面的位置關(guān)系 二面角的大小 點(diǎn)到平面的距離等知識(shí) 考查空間想象能力 邏輯思維能力和運(yùn)算能力 解答過程 解答過程 解法一 作 垂足為 連結(jié) 由側(cè)面底面 SOBC OAOSBC ABCD 得底面 SO ABCD 因?yàn)?所以 SASB AOBO 又 故為等腰直角三角形 45ABC AOB AOBO 由三垂線定理 得 SABC 由 知 依題設(shè) SABC ADBC 故 由 得SAAD 2 2ADBC 3SA 2AO 1SO 11SD 的面積 SAB 2 2 1 11 2 22 SABSAAB A D B C A S O D B C A S 10 連結(jié) 得的面積DBDAB 2 1 sin1352 2 SAB AD A 設(shè)到平面的距離為 由于 得DSABh D SABSABD VV 解得 12 11 33 h SSO S AA 2h 設(shè)與平面所成角為 則 SDSAB 222 sin 1111 h SD 所以 直線與平面所成的我為 SDSBC 22 arcsin 11 解法二 作 垂足為 連結(jié) 由側(cè)面底面 得平面SOBC OAOSBC ABCDSO ABCD 因?yàn)?所以 SASB AOBO 又 為等腰直角三角形 45ABC AOB AOOB 如圖 以為坐標(biāo)原點(diǎn) 為軸正向 建立直角坐標(biāo)系 OOAxOxyz 2 0 0 A 02 0 B 02 0 C 0 01 S 2 01 SA 所以 0 2 2 0 CB 0SA CB ASABC 取中點(diǎn) ABE 22 0 22 E 連結(jié) 取中點(diǎn) 連結(jié) SESEGOG 22 1 442 G 22 1 442 OG 22 1 22 SE 22 0 AB 與平面內(nèi)兩條相交直線 垂直 0SE OG A0AB OG AOGSABSEAB 所以平面 與的夾角記為 與平面所成的角記為 則OG SABOGDS SDSAB 與互余 2 2 2 0 D 2 2 21 DS 22 cos 11 OG DS OG DS A A 22 sin 11 所以 直線與平面所成的角為 SDSAB 22 arcsin 11 D B C A S O E G y x z 11 小結(jié)小結(jié) 求直線與平面所成的角時(shí) 應(yīng)注意的問題是 1 先判斷直線和平面的位置關(guān)系 2 當(dāng)直線和平面斜交時(shí) 常用以下步驟 構(gòu)造 作出斜線與射影所成的角 證明 論證作出的角為所求的角 計(jì)算 常用解三角形的方法求角 結(jié)論 點(diǎn)明直 線和平面所成的角的值 考點(diǎn)考點(diǎn) 6 6 二面角二面角 此類題主要是如何確定二面角的平面角 并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個(gè) 合適的三角形中進(jìn)行求解 二面角是高考的熱點(diǎn) 應(yīng)重視 典型例題 例例 8 8 20072007 年湖南卷文 年湖南卷文 如圖 已知直二面角 PQ APQ B C CACB 直線和平面所成的角為 45BAP CA 30 I 證明 BCPQ A B C Q P II 求二面角的大小 BACP 命題目的命題目的 本題主要考查直線與平面垂直 二面角等基本知識(shí) 考查空間想象能力 邏輯 思維能力和運(yùn)算能力 過程指引過程指引 I 在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn) 連結(jié) CCOPQ OOB 因?yàn)?所以 PQ CO 又因?yàn)?所以 CACB OAOB 而 所以 45BAO 45ABO 90AOB 從而 又 BOPQ COPQ 所以平面 因?yàn)槠矫?故 PQ OBCBC OBCPQBC II 解法一 由 I 知 又 BOPQ PQ 所以 BO BO 過點(diǎn)作于點(diǎn) 連結(jié) 由三垂線定理知 OOHAC HBHBHAC 故是二面角的平面角 BHO BACP 由 I 知 所以是和平面所成的角 則 CO CAO CA 30CAO A B C Q P O H 12 不妨設(shè) 則 2AC 3AO 3 sin30 2 OHAO 在中 所以 RtOAB 45ABOBAO 3BOAO 于是在中 RtBOH 3 tan2 3 2 BO BHO OH 故二面角的大小為 BACP arctan2 解法二 由 I 知 故可以為原點(diǎn) 分別以直O(jiān)COA OCOB OAOB O 線為軸 軸 軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 OBOAOC xyz 因?yàn)?所以是和平面所成的角 則 COa CAO CA 30CAO 不妨設(shè) 則 2AC 3AO 1CO 在中 RtOAB 45ABOBAO 所以 3BOAO 則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 0 0 0 O 3 0 0 B 03 0 A 0 01 C 所以 33 0 AB 031 AC 設(shè)是平面的一個(gè)法向量 由得 1 n xyz ABC 1 1 0 0 n AB n AC A A 330 30 xy yz 取 得 1x 1 113 n 易知是平面的一個(gè)法向量 2 10 0 n 設(shè)二面角的平面角為 由圖可知 BACP 12 n n 所以 12 12 15 cos 5 5 1 n n nn A 故二面角的大小為 BACP 5 arccos 5 小結(jié)小結(jié) 本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問題 解法一是確定二面角的棱 進(jìn)而找出二面角的平 面角 無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑 由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱 由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱 補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱 解法二則是利 A B C Q P O x y z 13 用平面向量計(jì)算的方法 這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法 即當(dāng)二面角的平面角不 易作出時(shí) 可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小 例例 9 9 2006 年重慶卷 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA底面ABCD DAB為直角 AB CD AD CD 2AB E F分別為PC CD的中點(diǎn) 試證 CD平面 BEF 設(shè)PA k AB 且二面角E BD C的平面角大于 求k的取值范圍 30 命題目的命題目的 本題主要考查直線與平面垂直 二面角等基 本知識(shí) 考查空間想象能力 邏輯思維能力和運(yùn)算能力 過程指引過程指引 方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角 方法二關(guān)鍵是掌握利用 空間向量求空間距離和角的一般方法 解答過程解答過程 解法一 證 由已知DFAB 且DAD為直角 故 ABFD 是矩形 從而CDBF 又PA底面 ABCD CDAD 故由三垂線定理知CDPD 在 PDC中 E F分別 PC CD的中點(diǎn) 故EF PD 從而CDEF 由此得CD面BEF 連結(jié)AC交BF于G 易知G為AC的中點(diǎn) 連接EG 則在 PAC中易知EG PA 又因 PA底面ABCD 故EG底面ABCD 在底面ABCD中 過 G作GHBD 垂足為H 連接EH 由三垂線定理知EHBD 從 而EHG為二面角E BD C的平面角 設(shè)AB a 則在 PAC中 有 EG PA ka 2 1 2 1 以下計(jì)算GH 考察底面的平面圖 連結(jié)GD 因S GBD BD GH GB DF 2 1 2 1 故GH BD DFGB 在 ABD中 因?yàn)锳B a AD 2a 得BD a 5 而GB FB AD a DF AB 從而得 2 1 2 1 GH BD ABGB a aa 5 5 5 a 因此 tan EHG GH EG 2 5 5 5 2 1 k a ka 14 由k 0 知是銳角 故要使 必須EHG EHG 30 tan k 2 5 30 3 3 解之得 k 的取值范圍為k 15 152 解法二 如圖 以A為原點(diǎn) AB所在直線為x軸 AD所在直線為y軸 AP所在直線為z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)AB a 則易知點(diǎn)A B C D F的坐標(biāo)分別為 A 0 0 0 B a 0 0 C 2a 2a 0 D 0 2a 0 F a 2a 0 從而 2a 0 0 0 2a 0 DCBF 0 故 DCBFDC BF 設(shè)PA b 則P 0 0 b 而E為PC中點(diǎn) 故 E 2 b aa 從而 0 故 BE 2 0 b aDCBEDC BE 由此得CD面BEF 設(shè)E在xOy平面上的投影為G 過G作GHBD垂足為H 由三垂線定理知EHBD 從而EHG 為二面角E BD C的平面角 由PA k AB得P 0 0 ka E G a a 0 2 ka aa 設(shè)H x y 0 則 x a y a 0 a 2a 0 GHBD 由 0 得 a x a 2a y a 0 即GHBD x 2y a 又因 x a y 0 且與的方向相同 故 即BHBHBD a ax a y 2 2x y 2a 由 解得x a y a 從而 a 5 3 5 4 GH 0 5 1 5 2 aaGH 5 5 tan EHG EG GH a ka 5 5 2 k 2 5 15 由k 0 知 EHG是銳角 由EHG 得 tan EHG tan即 30 30 k 2 5 3 3 故k的取值范圍為k 15 152 考點(diǎn)考點(diǎn) 7 7 利用空間向量求空間距離和角利用空間向量求空間距離和角 眾所周知 利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定 當(dāng)掌握了用向量的方法解 決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具時(shí) 不僅會(huì)降低題目的難度 而且使得作題具有很強(qiáng)的 操作性 典型例題 例例 1010 20072007 年江蘇卷 年江蘇卷 如圖 已知 1111 ABCDABC D 是棱長(zhǎng)為3的正方體 點(diǎn)E在 1 AA上 點(diǎn)F在 1 CC上 且 1 1AEFC 1 求證 1 EBFD 四點(diǎn)共面 2 若點(diǎn)G在BC上 2 3 BG 點(diǎn)M在 1 BB上 GMBF 垂足為H 求證 EM 平面 11 BCC B 3 用 表示截面 1 EBFD和側(cè)面 11 BCC B所成的銳二面角的大小 求tan 命題意圖 本小題主要考查平面的基本性質(zhì) 線線平行 線面垂直 二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和命題意圖 本小題主要考查平面的基本性質(zhì) 線線平行 線面垂直 二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和 基本運(yùn)算 考查空間想象能力 邏輯推理能力和運(yùn)算能力 基本運(yùn)算 考查空間想象能力 邏輯推理能力和運(yùn)算能力 過程指引過程指引 解法一 1 如圖 在 1 DD上取點(diǎn)N 使1DN 連結(jié)EN CN 則1AEDN 1 2CFND 因?yàn)锳EDN 1 NDCF 所以四邊形ADNE 1 CFD N都為平行四邊形 從而ENAD 1 FDCN 又因?yàn)锳D BC 所以ENBC 故四邊形BCNE是平行四邊形 由此推知CNBE 從而 1 FDBE 因此 1 EBFD 四點(diǎn)共面 2 如圖 GMBF 又BMBC 所以BGMCFB CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C N 16 tantanBMBGBGMBGCFB AA 23 1 32 BC BG CF A 因?yàn)锳E BM 所以ABME為平行四邊形 從而ABEM 又AB 平面 11 BCC B 所以EM 平面 11 BCC B 3 如圖 連結(jié)EH 因?yàn)镸HBF EMBF 所以BF 平面EMH 得EHBF 于是EHM 是所求的二面角的平面角 即EHM 因?yàn)镸BHCFB 所以sinsinMHBMMBHBMCFB AA 2222 33 1 13 32 BC BM BCCF A tan 13 EM MH 解法二 1 建立如圖所示的坐標(biāo)系 則 3 01 BE 0 3 2 BF 1 333 BD 所以 1 BDBEBF 故 1 BD BE BF 共面 又它們有公共點(diǎn)B 所以 1 EBFD 四點(diǎn)共面 2 如圖 設(shè) 0 0 Mz 則 2 0 3 GMz 而 0 3 2 BF 由題設(shè)得 2 320 3 GM BFz AAA 得1z 因?yàn)?0 01 M 3 01 E 有 3 0 0 ME 又 1 0 0 3 BB 0 3 0 BC 所以 1 0ME BB A 0ME BC A 從而 1 MEBB MEBC 故ME 平面 11 BCC B 3 設(shè)向量 3 BPxy 截面 1 EBFD 于是BPBE BPBF 而 3 01 BE 0 3 2 BF 得330BP BEx A 360BP BFy A 解得 1x 2y 所以 12 3 BP 又 3 0 0 BA 平面 11 BCC B 所以BP 和BA 的夾角等于 或 為銳角 于是 1 cos 14 BP BA BP BA A A 故tan13 CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C z y x 17 小結(jié)小結(jié) 向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo) 再用公式求夾角 點(diǎn) 面距離一般轉(zhuǎn)化為在面BDF的法向量上的投影的絕對(duì)值 ABn 例例 1111 2006 年全國(guó) 卷 如圖 l1 l2是互相垂直的兩條異面直線 MN是它們的公垂線段 點(diǎn) A B在l1上 C在l2上 AM MB MN I 證明ACNB II 若 求NB與平面ABC所成角的余弦值 60ACB 命題目的命題目的 本題主要考查異面直線垂直 直線與平面所成角的有關(guān) 知識(shí) 考查空間想象能力 邏輯思維能力和運(yùn)算能力 過程指引過程指引 方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g角 方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間角的一般方法 解答過程解答過程 解法一 由已知l2 MN l2 l1 MN l1 M 可得 l2 平面ABN 由已知MN l1 AM MB MN 可知AN NB 且AN NB 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影 AC NB Rt CAN Rt CNB AC BC 又已知 ACB 60 因此 ABC為正三角形 Rt ANB Rt CNB NC NA NB 因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心 連結(jié)BH NBH為NB與平面ABC所成的角 在 Rt NHB中 cos NBH HB NB 3 3 AB 2 2 AB 6 3 解法二 如圖 建立空間直角坐標(biāo)系M xyz 令 MN 1 則有A 1 0 0 B 1 0 0 N 0 1 0 MN是 l1 l2的公垂線 l1 l2 l2 平面ABN l2平行于z軸 故可設(shè)C 0 1 m 于是 1 1 m 1 1 0 1 1 0 0 AC NB 1 1 m 1 1 m 又已知 ACB 60 ABC為正三角形 AC BC AB 2 在 Rt CNB中 NB 可得NC 故C 0 1 222 連結(jié)MC 作NH MC于H 設(shè)H 0 0 2 0 1 0 1 22 N M H C B A N M H x C B o z y N M C B A 18 1 2 0 1 3 H 0 可得 0 連結(jié)BH 則 1 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 0 0 又MC BH H HN 平面ABC NBH為NB與平面ABC所成的 2 9 2 9 角 又 1 1 0 cos NBH 4 3 2 3 2 6 3 考點(diǎn)考點(diǎn) 8 8 簡(jiǎn)單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用 主要考查多面體的概念 性質(zhì) 主要以填空 選擇簡(jiǎn)單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用 主要考查多面體的概念 性質(zhì) 主要以填空 選擇 題為主 通常結(jié)合多面體的定義 性質(zhì)進(jìn)行判斷題為主 通常結(jié)合多面體的定義 性質(zhì)進(jìn)行判斷 典型例題 例 12 如圖 1 將邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形 再沿 虛線折起 做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器 當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 時(shí)容積最大 思路啟迪 設(shè)四邊形一邊AD 然后寫出六棱柱體積 利用均值不等式 求出體積取最值時(shí) AD長(zhǎng)度即可 解答過程 如圖 2 設(shè)AD a 易知 ABC 60 且 ABD 30 AB a 3 BD 2a正六棱柱體積為V V aa360sin21 2 1 6 2 aa 2 21 2 9 aaa4 21 21 8 9 3 3 2 8 9 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2a 4a a 時(shí) 體積最大 6 1 此時(shí)底面邊長(zhǎng)為 1 2a 1 2 6 1 3 2 答案為 6 1 例 13 如圖左 在正三角形ABC中 D E F分別為各邊的中點(diǎn) G H I J分別為 AF AD BE DE的中點(diǎn) 將 ABC沿DE EF DF折成三棱錐后 GH與IJ所成角的度數(shù)為 B AC DE FG H I J A B C D E F GH I J 19 A 90 B 60 C 45 D 0 思路啟迪 畫出折疊后的圖形 可看出GH IJ是一對(duì)異面直線 即求異面直線所成角 過點(diǎn)D分別作IJ和GH的平行線 即AD與DF 所以 ADF即為所求 因此GH與IJ所成角為 60 答案 B 例 14 長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 設(shè)對(duì)角線D1B與自D1出發(fā)的三條棱分別成 角 求證 cos2 cos2 cos2 1 設(shè)D1B與自D1出發(fā)的三個(gè)面成 角 求證 cos2 cos2 cos2 2 思路啟迪 因?yàn)槿齻€(gè)角有一個(gè)公共邊即D1B 在構(gòu)造 的直角三角形中 角的鄰邊分別是從長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)出 發(fā)的三條棱 在解題中注意使用對(duì)角線長(zhǎng)與棱長(zhǎng)的關(guān)系 利用長(zhǎng)方體性質(zhì) 先找出 然后利用各邊 所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解 解答過程 連接BC1 設(shè) BD1C1 長(zhǎng)方體三條棱 長(zhǎng)分別為a b c 設(shè)D1B l 則 cos2 同理cos2 cos2 2 2 l a 2 2 l b 2 2 l c cos2 cos2 cos2 1 2 222 l c ba 連接D1C BC 平面DCC1D1 BD1C即是D1B與平面DCC1D1所成的角 不妨設(shè) BD1C 則 cos2 2 22 l ba 同理 cos2 cos2 2 22 l cb 2 22 l ac 又 2 a2 b2 c2 l cos2 cos2 cos2 2 2 222 2 l c b a 考點(diǎn)考點(diǎn) 9 9 簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算 棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積 棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積 直棱柱體積V等于底面積與高的乘積 AB C A D A1 B1 C1 D1 20 棱錐體積V等于Sh其中S是底面積 h是棱錐的高 3 1 典型例題 例 15 如圖 在三棱柱ABC A1B1C1中 AB a BC CA AA1 a 2 A1在底面 ABC上的射影O在AC上 求AB與側(cè)面AC1所成角 若O恰好是AC的中點(diǎn) 求此三棱柱的側(cè)面積 思路啟迪 找出AB與側(cè)面AC1所成角即是 CAB 三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個(gè)側(cè)面面積之和 側(cè)面BCC1B1是正 方形 側(cè)面ACC1A1和側(cè)面ABB1A1是平行四邊形 分別求其 面積即可 解答過程 點(diǎn)A1在底面ABC的射影在AC上 平面ACC1A1 平面ABC 在 ABC中 由BC AC a AB a 2 ACB 90 BC AC BC 平面ACC1A1 即 CAB為AB與側(cè)面AC1所成的角在Rt ABC中 CAB 45 AB與側(cè)面AC1所成角是 45 O是AC中點(diǎn) 在Rt AA1O中 AA1 a AO a 2 1 AO1 a 2 3 側(cè)面ACC1A1面積S1 2 1 2 3 a AOAC 又BC 平面ACC1A1 BC CC1 又BB1 BC a 側(cè)面BCC1B1是正方形 面積S2 a2 過O作OD AB于D A1O 平面ABC A1D AB 在Rt AOD中 AO a CAD 45 2 1 OD a 4 2 在Rt A1OD中 A1D 222 1 2 2 3 4 2 aaO AODa 8 7 側(cè)面ABB1A1面積S3 aaD AAB 8 7 2 1 2 2 7 a A1 B1 C1 A B C D O 21 三棱柱側(cè)面積 S S1 S2 S3 2 732 2 1 a 例 16 等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為 4 M N分別為 AB AC的中點(diǎn) 沿MN將 AMN折起 使得面AMN與面 MNCB所成的二面角為 30 則四棱錐A MNCB的體積 為 A B C 2 3 2 3 3 D 3 思路啟迪 先找出二面角平面角 即 AKL 再在 AKL中求出棱錐的高h(yuǎn) 再利用V Sh 即可 3 1 解答過程 在平面圖中 過A作AL BC 交MN于 K 交BC于L 則AK MN KL MN AKL 30 則四棱錐A MNCB的高h(yuǎn) 30sinAK 2 3 KL 2 42 SMNCB 33 2 3 33 3 1 V MNCBA 2 3 答案 A 例 17 如圖 四棱錐P ABCD中 底面是一個(gè)矩形 AB 3 AD 1 又 PA AB PA 4 PAD 60 求四棱錐的體積 求二面角P BC D的大小 思路啟迪 找棱錐高線是關(guān)鍵 由題中條件可設(shè) PAD的 高PH即是棱錐的高 找出二面角平面角 PEH 在Rt PHE中即可求出此角 解答過程 PA AB AD AB AB 面PAD 又AB面ABCD 面PAD 面ABCD 在面PAD內(nèi) 作PH AD交AD延長(zhǎng)線于H 則PH 面ABCD 即PH就是四棱錐的高 又 PAD 60 PH 32 2 3 460sin PA A BC MN K L A B C M N K L P A H E D B C 22 323213 3 1 S 3 1 V ABCDABCDP PH 過H作HE BC交BC延長(zhǎng)線于E 連接PE 則HE AB 3 PH 面ABCD PE BC PEH為二面角P BC D的平面角 tan PEH 3 32 HE PH 即二面角的大小為 arctan 3 32 例 18 2006 年全國(guó)卷 已知圓O1是半徑為R的球O的一 個(gè)小圓 且圓O1的面積與球O的表面積的比值為 則線段 9 2 OO1與R的比值為 命題目的 球截面的性質(zhì) 球表面積公式 過程指引 依面積之比可求得 再在Rt OO1A中即得 R r 解答過程 設(shè)小圓半徑為r 球半徑為R 則 9 2 4 2 2 R r 9 2 4 2 2 R r 3 22 R r cos OAO1 3 22 R r 而 3 1 9 8 1sin 1 R OO 故填 3 1 專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè) 一 選擇題 1 如圖 在正三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB 1 D在BB1上 且BD 1 若AD與側(cè)面AA1CC1所成的角為 則的值為 A B 3 4 C D 4 10 arctan 4 6 arcsin 2 直線a與平面成角 a是平面的斜線 b是平面 內(nèi)與a異面的任意直線 則a與b所成的角 C B A 1 A 1 B 1 C D A BC D E A1 B1 C1 R rA O1 O 23 A 最小值 最大值 B 最小值 最大值 2 C 最小值 無(wú)最大值 D 無(wú)最小值 最大值 4 3 在一個(gè)的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成角 則此直線與二面角 45 45 的另一平面所成的角為 A B C D 30 45 60 90 4 如圖 直平行六面體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為 2 則對(duì)角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成 60BAD 的角的正弦值為 A B 2 1 2 3 C D 2 2 4 3 5 已知在中 AB 9 AC 15 它所在平面外一點(diǎn)P到三頂ABC 120BACABC 點(diǎn)的距離都是 14 那么點(diǎn)P到平面的距離為 ABC A 13 B 11 C 9 D 7 6 如圖 在棱長(zhǎng)為 3 的正方體ABCD A1B1C1D1中 M N分別是 棱A1B1 A1D1的中點(diǎn) 則點(diǎn)B到平面AMN的距離是 A B 2 9 3 C D 2 5 56 7 將 邊長(zhǎng)MN a的菱形MNPQ沿對(duì)角線NQ折 60QMN 成的二面角 則MP與NQ間的距離等于 60 A B C D a 2 3 a 4 3 a 4 6 a 4 3 8 二面角的平面角為 在內(nèi) 于B AB 2 在內(nèi) 于 l 120 lAB lCD D CD 3 BD 1 M是棱 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 則AM CM的最小值為 l A B C D 52222662 9 空間四點(diǎn)A B C D中 每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a 動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上 動(dòng)點(diǎn)Q 在線段CD上 則P與Q的最短距離為 A B C D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 10 在一個(gè)正四棱錐 它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a 現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包 BA C D D1C1 B1 A1 A D B A D1 C1 B1 A1 M N 24 住 不能裁剪紙 但可以折疊 那么包裝紙的最小邊長(zhǎng)應(yīng)為 A B C D a 62 a 2 62 a 31 a 2 31 11 已知長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 A1A AB 2 若棱AB上存在點(diǎn)P 使 則棱PCPD 1 AD的長(zhǎng)的取值范圍是 A B C D 1 0 2 0 2 0 2 1 12 將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起 使點(diǎn)D在平面ABC外 則DB與平面ABC所成的角一 定不等于 A B C 30 45 D 60 90 二 填空題 1 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1 E是A1B1的 中點(diǎn) 則下列四個(gè)命題 E到平面ABC1D1的距離是 2 1 直線BC與平面ABC1D1所成角等于 45 空間四邊形ABCD1在正方體六個(gè)面內(nèi)的射影圍成 面積最小值為 2 1 BE與CD1所成的角為 10 10 arcsin 2 如圖 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 P是A1C1 上的動(dòng)點(diǎn) E為CD上的動(dòng)點(diǎn) 四邊形ABCD滿 足 時(shí) 體積恒為定值 寫上 AEBP V 你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可 3 邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形ABC中 沿BC邊高線AD 折起 使得折后二面角B AD C為 60 則點(diǎn)A到 BC的距離為 點(diǎn)D到平面ABC的距離 為 4 在水平橫梁上A B兩點(diǎn)處各掛長(zhǎng)為 50cm 的細(xì)繩 AM BN AB的長(zhǎng)度為 60cm 在MN處掛長(zhǎng)為 60cm 的木條 MN平行于橫梁 木條的中點(diǎn)為O 若木條 繞過O的鉛垂線旋轉(zhuǎn) 60 則木條比原來(lái)升高了 5 多面體上 位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的 如圖 正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi) 其余頂點(diǎn)在的同 側(cè) 正方體上與頂點(diǎn) A 相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分 別是 1 2 和 4 P 是正方體其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè) 則 P 到平面的距離可能是 D C B A E D1 A1 C1 B1 AB D C P E A1 D1 C1 B1 25 3 4 5 6 7 以上結(jié)論正確的為 寫出所有正確結(jié)論的編號(hào) 6 如圖 棱長(zhǎng)為 1m 的正方體密封容器的三個(gè)面上有三個(gè)銹 蝕的小孔 不計(jì)小孔直徑 O1 O2 O3它們分別是所在面的中 心 如果恰當(dāng)放置容器 容器存水的最大容積是 m3 三 解答題 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 底面邊長(zhǎng)為 a D 為 BC 為中點(diǎn) M 在 BB1上 且 BM B1M 又 CM AC1 1 3 1 求證 CM C1D 2 求 AA1的長(zhǎng) 2 如圖 在四棱錐 P ABCD 中 底面是矩形且 AD 2 AB PA PA 底面 ABCD E 是 AD 的中點(diǎn) F 在 PC 上 2 1 求 F 在何處時(shí) EF 平面 PBC 2 在 1 的條件下 EF 是不是 PC 與 AD 的公垂線段 若是 求 出公垂線段的長(zhǎng)度 若不是 說(shuō)明理由 3 在 1 的條件下 求直線 BD 與平面 BEF 所成的角 3 如圖 四棱錐 S ABCD 的底面是邊長(zhǎng)為 1 的正方形 SD 垂直于底面 ABCD SB 3 1 求證 BCSC 2 求面 ASD 與面 BSC 所成二面角的大小 3 設(shè)棱 SA 的中點(diǎn)為 M 求異面直線 DM 與 SB 所成角的 大小 O1 O2 O3 26 4 在直角梯形 ABCD 中 D BAD 90 AD DC AB a 如圖一 將 ADC 沿 AC 折起 使 D 2 1 到 記面 AC為 面 ABC 為 面 BC為