吉林省長春市2016屆高三質(zhì)量監(jiān)測文科數(shù)學(xué)試卷（四）含答案

第 1 頁 共 9 頁 2016 四模文科 長春市普通高中 2016 屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四） 數(shù)學(xué)文 科 第 卷 （選擇題，共 60 分） 一、選擇題（本大題包括 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出的四個選項中， 只有一項 是符合題目要求的，請將正確選項涂在答題卡上） 1. 已知 集合 4 2 1 , 5 A ， ， ， | 2 B x y x ，則 元素的個數(shù)為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知 復(fù)數(shù) z 滿足 52z i ，則 |z A. 2 B. 5 C. 3 D. 5 3. 設(shè) , ， 則“22lo g lo 是“ 21 ”的 與平面 ， ，下列命題中 錯誤 的是 ,， 則 B. 若 , / / ， 則 , ， 則 D. 若 m n n / , ， 則 m / 5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出 k 的值為 8 ，則判斷框內(nèi)可填入的條件是 A. 34sB. 56sC. 1112sD. 2524s6. 祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異” .“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，體積相等 圖所示的幾何體滿足“冪勢同”，則 該 不規(guī)則 幾何體的 體 積為 第 2 頁 共 9 頁 2016 四模文科 A. 42B. 483C. 8 D. 82 7. 函數(shù) ( ) s i n ( ) ( 0 0 0 )2f x A x A ,的部分圖象如圖所示，則 2()9f A. 3 B. 1 C. 2 D. 2 8. 已知等比數(shù)列 足1 5 49 1 0a a a a 2,， 則數(shù)列 q A. 13B. 13C. 23D. 3 x x 的大致圖像為 10. 如圖，從高為 h 的氣球 ()A 上測量待建規(guī)劃鐵橋 ()長，如果測得橋頭 ()B 的俯角是 ，橋頭 ()C 的俯角是 ，則橋 長為 A. )B. )C. )D. )11. 棱長為 1 的正四面體 ， E 為棱 一點（不含 兩點），點 E 到平面 平面 距離分別為 ,則 11最小值為 第 3 頁 共 9 頁 2016 四模文科 A. 2 B. 23 C. 763D. 26 12. M 為雙曲線 22: 1 ( 0 0 )a ,右支上一點， A 、 F 分別為雙曲線 的左頂點和右焦點，且為等邊三角形， 則雙曲線 C 的離心率為 B. 51 C. 2 D. 6 第 卷 （非選擇題，共 90 分） 本卷包括必考題和選考題兩部分，第 13 題 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答，第 22 題 24題為選考題，考生根據(jù)要求作答 . 二、填空題 (本大題包括 4小題，每小題 5分，共 20 分，把正確答案填在答題 卡 中的橫線上 ). | a |=| b | ， 2 （ ）a b a ，則 a 與 b 的夾角為 _ 14. 等差數(shù)列 n 項和為已知10 0S ，15 25S ，則使小值的 n 等于 . 15. 已知圓 C 的圓心在直線 2 1 0 上，且經(jīng)過原點和點 ( 1, 5) ，則圓 C 的方程為 _. 16. 下列說法中正確的有： _.（將你認(rèn)為正確的命題序號 全部填在橫線上） 電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知“每排（每排人數(shù)相等）座位號為 14 的觀眾留下來座談”是系統(tǒng)抽樣； 推理過程“因為指數(shù)函數(shù) 是增函數(shù)，而 2是指數(shù)函數(shù)，所以 2是增函數(shù)”中，小前提是錯誤的； 對命題“正三角形與其內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體與其內(nèi)切球切于各面中心； 在判斷兩個變量 y 與 x 是否相關(guān)時，選擇了 3 個不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù) 2R 分別為：模型 1 為098. ，模型 2 為 080. ，模型 3 為 050. ； 三、解答題（本大題包括 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） . 17.（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) ( ) c o s ( ) s i x x x . （ 1）利用“五點法”列表，并畫出 ()33 ,上的圖象； （ 2） 分別是銳角 中角 的對邊 a ， 3()2求 面積 的取值范圍 . 18. （本小題滿分 12 分） 某便攜式燈具廠的檢驗室，要檢查該廠生產(chǎn)的某一批次產(chǎn)品在使用時的安全性。檢查人員從中隨機(jī)抽取 5 件，通過對其加以不同的電壓（單位：伏 特）測得相應(yīng)電流（單位：安培），數(shù)據(jù)見下表： 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00 6 0 8 1 4 1 2 1 5 編 號 電 壓電 流 . . . . .()()（ 1）試估計如對該批次某件產(chǎn)品加以 110 伏電壓，產(chǎn)生的電流是多少？ （ 2）依據(jù)其行業(yè)標(biāo)準(zhǔn) ，該類產(chǎn)品電阻在 18,22內(nèi)為合格 品 ，電阻的計算方法是電壓除以電流現(xiàn)從上述件產(chǎn)品中隨機(jī)抽件，求這兩件產(chǎn)品中至少有一 件是合格品的概率 （附： 回歸方程： y bx a， 1221()y n x yb a y b xx n x ， 第 4 頁 共 9 頁 2016 四模文科 參考數(shù)據(jù)： ） 552 1 i = 1= 2 0 1 1 = 1 2 1 2 2 5 0y x y x, . , , 19. （本小題滿分 12 分） 在四棱錐 P 中， D ， 平面 2 2 3A D = B C = ， 30 ，M 為 點 . （ 1）證明： 面 （ 2）若三棱錐 M 的體積為 36，求 M 到平面 距離 20 （本小題滿分 12 分） 已知橢圓 : 1 ( 0 ) = a 22 的左、右焦點分別為12過點1l 交橢圓于 兩 點， 的最小值為 3，且2. （ 1）求橢圓的方程； （ 2）當(dāng)直線 l 不垂直于 x 軸時，點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為 A ，證明直線 恒過定點，并求此定點坐標(biāo) . 21.（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) ( ) l n ( )f x = x + a x a R. （ 1）若曲線 ()y= f x 在點 (1, (1)f 處與直線 32y = x 相切，求 a 的值； （ 2）若 ()f x a 恒成立，求 a 的取值范圍 . 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果 多做，則按所做的第一題記分 . 22. （本小題滿分 10 分）選修 4 1：幾何證明選講 . 如圖， 圓 O 的直徑，弦 延長線相交于點 M ， 直 延 長線于點 N . 第 5 頁 共 9 頁 2016 四模文科 （ 1） 求證： 的角平分線 ； (2) 求證： 2 2 2 2B M A B A M A B A N . 23. （本小題滿分 10 分）選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 . 在極坐標(biāo)系中，點 P 的坐標(biāo)是 (1,0) ，曲線 C 的方程為 2 2 c o s ( )4軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為 1 的直線 l 經(jīng)過點 P . （ 1）寫出 直線 l 的參數(shù)方程和 曲線 C 的直角坐標(biāo)方程 ； （ 2）若 直線 l 和 曲線 C 相交于兩點 ，求 22| | | |P A P B 的值 . 24. （本小題滿分 10 分）選修 4 5：不等式選講 . 已知函數(shù) ( ) | 1 | | 2 |f x x x ， 不等式 ()f x t 對 xR 恒 成 立 . (1)求 t 的取值范圍； (2) 記 t 的最大值為 T ，若正實數(shù) 滿足 22a b T，求證： 2611 2. 長春市普通高中 2016 屆高三質(zhì)量監(jiān)測（ 四 ） 數(shù)學(xué) (文 科 )參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題 (本大題包括 12小題 ，每小題 5分，共 60分 ) 1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B 9. C 10. A 11. D 12. A 簡答與提示： 1. 【試題解析】 C 由題意可知 2| 所以 1, 2 , 5I . 故選 C. 2. 【試題解析】 B 復(fù)數(shù) 22 5,則 5| z . 故選 B. 3. 【試題解析】 A “ 2 ”等價于“ 0，“ 12 等價于“ ”，故 選 A. 4. 【試題解析】 D D 選項，若 ，則 m 或 m ，所以 D 錯誤 . 故選 D. 5. 【 試題解析】 C 由程序框圖可知，要輸出 8k ，需1211614121 242581614121 而1211s. 故選 C. 6. 【試題解析】 C 由 祖暅原理 可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖幾何體體積相 等 ，圖示 幾何體第 6 頁 共 9 頁 2016 四模文科 是一個正方體去掉一個半圓柱，從而其體積為 8 . 故選 C. 7. 【試題解析】 B 由題意 可知 3 , , 26 A ， 進(jìn)而 2 s i n 36f x x ，從而 2( ) 19f . 故選 B. 8. 【試題解析 】 B 由 109424251 ，且 n 可知 92 a ， 14a ，可求得31q（31. 故選 B. 9. 【試題解析】 C 由題意，定義域為 0| 排除 A；當(dāng) x 時， y ，排除 B；當(dāng) 0 ，單調(diào)遞增，排除 D. 故選 C. 10. 【試題解析】 A 設(shè)氣球在地面上的射影點為 D ，在 中，在 中，s i n ( )s i n ( )s i n s i n s i h . 故選 A. 11. 【試題解析】 D 連結(jié) ,E ，由正四面體棱長為 1，有 63由于A B C D E B C D E A C V ，有 63 ，由 2a b 可得214 6()a b a b ，所以 1 1 6 1 263a b a b . 故選 D. 12. 【試題解析】 A 由題意可知，設(shè)雙曲線左焦點為 F ，由 為等邊三角形 ，所以| | | |M F A F a c ，從而 | | 3M F a c ，在 中，由余弦定理得，2 2 2( 3 ) ( ) 4 2 ( )a c a c c c a c ，解得 4e 或 1e （ 舍） . 故選 A. 二、 填空題 (本大題包括 4小題，每小題 5分，共 20分 ) 13. 314. 5 15. 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 16. 簡答與提示： 13. 【試題解析】 由 ( ) 2,a b a r r r 得 3所以 1c o | | | 夾角為 3 . 14. 【試題解析】 由題意可知5 6 8 50, 3a a a ，故數(shù)列 以560, 0，所以 使n . 15. 【試題解析】 由題意可知，該圓心 在 原點和點 ( 1, 5) 的中垂線 2 1 0 2 6 0 上，又在直線2 1 0 上，因此圓心為 (2, 3) ，半徑為 13 ，因此圓的方程為 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 . 16. 【試題解析】 由題意可知，是系統(tǒng)抽樣，正確；推理過程是大前提錯誤，而不是小前提，錯誤 ；滿足合情推理，因此正確；根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義可知，相關(guān)指數(shù)越接近于 1，模型的擬合效果越好，因此正確 . 故答案為 . 三、解答題 (本大題必做題 5小題，三選一選 1小題，共 70 分 ) 17. (本小題滿分 12分 ) 【試題解析】 解： (1) 將函數(shù) s c o s ()( 化簡成為 ( ) s i n ( )3f x x ，根據(jù)列表 可知函數(shù)圖像如圖所示 3x 0 2 322 x 36237653y 0 1 0 1 0 第 7 頁 共 9 頁 2016 四模文科 (6 分 ) (2) 在 中，23)(,3 知3A ，由正弦定理可知 2s i n s i n s i na b C ，即2， 2， 1 3 2s i n 3 s i n s i n 3 s i n s i n ( )2 4 3S b c A b c B C B B ， 則 3 3 3 3 3s i n 2 c o s 2 s i n ( 2 )4 4 4 2 6 4S B B B ，其中 203B ， 因此 S 的取值范圍是 33(0, 4. (12 分 ) 18. (本小題滿分 12分 ) 【試題解析】 (1)由題意可得 0 4 , 0 ，所以回歸直線 0 4 0 ，故當(dāng)電壓加為 110伏時，估計電流為 培 (6 分 ) (2)經(jīng)計算，產(chǎn)品編號為 的是不合格品，其余為合格品，從中隨機(jī)抽 2 件共有如下 10 種情況： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中至少有一件是合格品有 9 種情況，故所求事件的概率為 910. (12 分 ) 19. (本小題滿分 12分 ) 【試題解析】 解： 取 中點為 N ，連結(jié) ,N (1) 中點， 1/ / , 2M N B C M N B C /且 2D ， /N M A D N M A D且 ， 四邊形 平行四邊形， /D ，又 平面 平面 所以 /面 (6 分 ) (2) 中點， 1326M P C D P C 三 棱 錐 三 棱 錐 1 1 3 32 3 13 3 2 3 3B C C D P B C S P A P A P A 三 棱 錐 三 棱 錐所以 1 ,C D A D C D P AQ ， 平面 D 又 1, 3 , 2 , 1P C A D P D S M 到平面 距離為 h ， 則 1 1 3 31,3 3 6 2P C C h h h 三 棱 錐， 8 頁 共 9 頁 2016 四模文科 故 M 到平面 距離 為 32(12 分 ) 20. (本小題滿分 12分 ) 【試題解析】 解： (1) 因為 過焦點1以當(dāng) AB x 軸時， |小，且最小值為 22題意可知 22 3，再由橢圓定義知，2周長為 4a ，所以 2, 3，所以橢圓的方程為22143(4 分 ) (2)設(shè) 程為1 1 2 2 1 1( 1 ) , ( , ) , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y A x y ， 則 22( 1)143y k ，化簡得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k 所以 212 2834k ， 212 24 1 234k 則2121,AB 的方程為 211121()y x 化簡有1 2 1 2 1 22 1 2 1( ) 2 2 ( )k x x k k x x k x x x x ，將 代入可得 2 2 22 1 2 11 6 2 4 6 43 4 3 4 ( 3 4 ) ( )k k ky x xx x k k k x x ， 所以直線 恒過定點 ( 4,0) (12 分 ) 21. (本小題滿分 12分 ) 【試題解析】 解： (1) ( ) 1 , ( 1 ) = 3 , 2af x f (4 分 ) (2) ( ) 1 , 0a x af x 當(dāng) 0a 時， ()0, ) 上單調(diào)遞增 ，且值域為 R ； 當(dāng) 0a 時， ()0, ) 上單調(diào)遞增； 當(dāng) 0a 時， ()0, )a 上單調(diào)遞減， ( , )a 上單調(diào)遞增 當(dāng) 0a 時， ()f x a 不可能恒成立； 當(dāng) 0a 時， ( ) 0f x x，成立； 當(dāng) 0a 時， () 處取得最小值 ()，則只需 ()f a a 即 )a a a a ，所以 ) 2a，解得 2 ，所以 2 0 綜上所述： 2 ,0 (12 分 ) 22. (本小題滿分 10分 ) 【試題解析】 解 (1) 圓 O 的直徑， ,即 90 又 直 延長線于點 N，即 90 M、