初中數(shù)學(xué)公式定理總結(jié)

第 1 頁 中考數(shù)學(xué)常用公式定理中考數(shù)學(xué)常用公式定理 一 數(shù)與代數(shù)一 數(shù)與代數(shù) 1 整數(shù) 整數(shù) 包括 正整數(shù) 0 負(fù)整數(shù) 和分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù) 包括 有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù) 都是有理數(shù)有理數(shù) 如 3 0 231 0 無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)無理數(shù) 如 如 0 兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù) 實(shí)數(shù) 2 絕對(duì)值絕對(duì)值 a 0丨a丨 a a 0丨a丨 a 如 如 丨 丨 丨3 14 丨 3 14 3 一個(gè)近似數(shù)近似數(shù) 從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起 到最末一個(gè)數(shù)字止 所有的數(shù)字 都叫做這個(gè)近似數(shù)的 有效數(shù)字有效數(shù)字 如 0 05972精確到0 001得0 060 結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6 0 特別提醒 特別提醒 3 24萬精確到百位 而不是百分位 有3個(gè)有效數(shù)字3 2 4 又 又 精確到千位 有3個(gè) 5 5 17 10 有效數(shù)字5 1 7 4 把一個(gè)數(shù)寫成 a 10n的形式 其中1 a 10 n是整數(shù) 這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法 科學(xué)記數(shù)法 如 如 40700 4 07 105 0 4 3 10 5 5 乘法公式 乘法公式 反過來就是因式分解的公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a2 b2 a b 2 2ab a b 2 a b 2 4ab 6 冪的運(yùn)算性質(zhì) 冪的運(yùn)算性質(zhì) am an am n am an am n am n amn ab n anbn n n a n 特別 特別 n n a0 1 a 0 1 n a 如 如 a3 a2 a5 a6 a2 a4 a3 2 a6 3a3 3 27a9 3 1 5 2 2 2 3 14 1 0 1 7 二次根式 二次根式 2 a a 0 丨a丨 a 0 b 0 如 3 2 45 6 a 0時(shí) a 的平方根 4的平方 根 2 平方根 立方根 算術(shù)平方根的概念 第 2 頁 8 一元二次方程一元二次方程 對(duì)于一元二次的一般式方程 ax2 bx c 0 a 0 求根公式求根公式是x 2 4 2 bbac a 其中 b2 4ac叫做根的判別式 若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2 并且二次三項(xiàng)式ax2 bx c可分解為a x x1 x x2 以a和b為根的一元二次方程是x2 a b x ab 0 二 統(tǒng)計(jì)與概率二 統(tǒng)計(jì)與概率 9 統(tǒng)計(jì)初步 統(tǒng)計(jì)初步 1 概念 概念 所要考察的對(duì)象的全體叫做總體總體 其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體 個(gè)體 從總體 中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本樣本 樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量 樣本容量 在一組數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次 數(shù)最多的數(shù) 有時(shí)不止一個(gè) 叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)眾數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列 把處在最中間的一 個(gè)數(shù) 或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù) 叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 中位數(shù) 2 公式 公式 設(shè)有 n 個(gè)數(shù)x1 x2 xn 那么 平均數(shù)為 12 n xxx x n 極差 用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍 用這種方法得到的差稱 為極差 即 極差 最大值 最小值 方差 數(shù)據(jù) 的方差為 則 1 x 2 x n x 2 s 2 s 222 12 1 n xxxxxx n 標(biāo)準(zhǔn)差 方差的算術(shù)平方根 數(shù)據(jù) 的標(biāo)準(zhǔn)差 則 1 x 2 x n xss 222 12 1 n xxxxxx n 一組數(shù)據(jù)的方差越大 這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大 越不穩(wěn)定 10 頻率與概率 頻率與概率 1 頻率 各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù) 各小組的頻率之和等于 1 頻率分布直方圖中各個(gè)小長(zhǎng) 總數(shù) 頻數(shù) 方形的面積為各組頻率 當(dāng) 0時(shí) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根當(dāng) 0時(shí) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù) 根 當(dāng) 0 時(shí) 方程沒有實(shí)數(shù)根 注意 注意 當(dāng) 0 時(shí) 方程有實(shí)數(shù)根 第 3 頁 2 概率 大數(shù)次實(shí)驗(yàn)的頻率 概率 如果用 P 表示一個(gè)事件 A 發(fā)生的概率 則 0 P A 1 P 必然事件 1 P 不可能事件 0 在具體情境中了解概率的意義 運(yùn)用列舉法 包括列表 畫樹狀圖 計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率 大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值 三 函數(shù)三 函數(shù) 11 平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí) 平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí) 1 對(duì)稱性 對(duì)稱性 若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) P a b 則 P 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)為 P1 a b P 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 的點(diǎn)為 P2 a b 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為 P3 a b 2 坐標(biāo)平移 坐標(biāo)平移 若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) P a b 向左平移 h 個(gè)單位 坐標(biāo)變?yōu)?P a h b 向右平移 h 個(gè)單位 坐標(biāo)變?yōu)?P a h b 向上平移 h 個(gè)單位 坐標(biāo)變?yōu)?P a b h 向下平移 h 個(gè)單位 坐標(biāo)變?yōu)?P a b h 如 點(diǎn) A 2 1 向上平移 2 個(gè)單位 再向右平移 5 個(gè)單位 則坐標(biāo)變?yōu)?A 7 1 12 一次函數(shù)一般式 一次函數(shù)一般式y(tǒng) kx b k 0 的圖象是一條直線 與x軸交于 與y軸交于 0 b k 0 b 1 一次函數(shù)性質(zhì) 一次函數(shù)性質(zhì) 特別 當(dāng)b 0時(shí) y kx k 0 又叫做正比例函數(shù) y與x成正比例 圖象必過原點(diǎn) K決定 決定 直線傾斜方向 1 0 0 kyx kyx 當(dāng) 時(shí) 隨的增大而增大直線從左向右上升直線必過一 三象限 當(dāng) 時(shí) 隨的增大而減小直線從左向右下降直線必過二 四象限 直線傾斜程度 2 x x k k 越大 直線越陡峭 直線與軸的夾角越大 越小 直線越平緩 直線與軸的夾角越小 3 111222 yk xbyk xb 對(duì)于直線與直線 1212 1212 1 kkyy k kyy A當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) b決定決定 0 0 0 by b by 當(dāng)直線與軸交于正半軸 當(dāng) 直線必過原點(diǎn) 當(dāng)直線與軸交于負(fù)半軸 13 反比例函數(shù) 反比例函數(shù)y k 0 的圖象叫做雙曲線 1 反比例函數(shù)性質(zhì) 反比例函數(shù)性質(zhì) 第 4 頁 當(dāng)k 0時(shí) 雙曲線在一 三象限 在每一象限內(nèi) 從左向右降 當(dāng)k 0時(shí) 雙曲線在二 四象限 在每一象限內(nèi) 從左向右上升 因此 它的增減性與一次函數(shù)相反 2 雙曲線矩形 雙曲線矩形 Sk 3 雙曲線三角形 雙曲線三角形 2 k S 特別提醒特別提醒 1 直線 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為二元一次方程組的交點(diǎn)坐標(biāo)為二元一次方程組的解 的解 23y32yxx 與 23 32 yx yx 2 直線 直線與雙曲線與雙曲線的交點(diǎn)是方程組的交點(diǎn)是方程組的解 的解 21yx 4 y x 21 4 yx y x 14 二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí) 二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí) 1 定義定義 一般地 如果是常數(shù) 那么叫做的二次函數(shù) cbacbxaxy 2 0 ayx 2 拋物線的三要素拋物線的三要素 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn) 的符號(hào)決定拋物線的開口方向 當(dāng)時(shí) 開口向上 當(dāng)時(shí) 開口向下 a0 a0 a 相等 拋物線的開口大小 形狀相同 a 平行于軸 或重合 的直線記作 特別地 軸記作直線 yhx y0 x 3 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下 0 a 函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo) 2 axy 軸 0 xy 0 0 kaxy 2 軸 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 hx h k cbxaxy 2 當(dāng)時(shí)0 a 開口向上 當(dāng)時(shí)0 a 開口向下 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 4 求拋物線的頂點(diǎn) 對(duì)稱軸的方法求拋物線的頂點(diǎn) 對(duì)稱軸的方法 第 5 頁 1 公式法 公式法 頂點(diǎn)是 對(duì)稱軸是直 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 線 a b x 2 2 配方法 配方法 運(yùn)用配方的方法 將拋物線的解析式化為 0 的形式 得到頂點(diǎn) khxay 2 a 為 對(duì)稱軸是直線 h khx 3 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性 由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形 對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn) 若已知拋物線上兩點(diǎn) 及 y 值相同 則對(duì)稱軸方程可以表示為 12 x yxy 12 2 xx x 5 拋物線拋物線 0 中 中 的作用的作用cbxaxy 2 acba 決定決定開口方向及開口大小 這與中的完全一樣 1 1a 2 axy a 和和共同決定共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置 由于拋物線 0 的對(duì)稱軸是直線 2 2b acbxaxy 2 a 故 時(shí) 對(duì)稱軸為軸 即 同號(hào) 時(shí) 對(duì)稱軸在軸左側(cè) a b x 2 0 by0 a b aby 即 異號(hào) 時(shí) 對(duì)稱軸在軸右側(cè) 0 a b aby 的大小決定的大小決定拋物線 0 與軸交點(diǎn)的位置 3 3c cbxaxy 2 ay 當(dāng)時(shí) 拋物線 0 與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) 0 0 xcy cbxaxy 2 ayc 拋物線經(jīng)過原點(diǎn) 與軸交于正半軸 與軸交于負(fù)半軸 0 c0 cy0 cy 以上三點(diǎn)中 當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí) 仍成立 如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè) 則 y0 a b 15 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 1 一般式 一般式 0 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì) 的值 通常選擇一般式 cbxaxy 2 axy 2 頂點(diǎn)式 頂點(diǎn)式 0 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸 通常選擇頂點(diǎn)式 khxay 2 a 3 交點(diǎn)式 交點(diǎn)式 已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 通常選用交點(diǎn)式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 16 直線與拋物線的交點(diǎn)直線與拋物線的交點(diǎn) 1 軸與拋物線 0 得交點(diǎn)交點(diǎn)為 0 ycbxaxy 2 ac 2 拋物線與軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)x 二次函數(shù) 0 的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 是對(duì)應(yīng)一元二次方程cbxaxy 2 ax 1 x 2 x 第 6 頁 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 0 2 cbxaxa 拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定 x 有兩個(gè)交點(diǎn) 拋物線與軸相交 0 x 有一個(gè)交點(diǎn) 頂點(diǎn)在軸上 拋物線與軸相切 x 0 x 沒有交點(diǎn) 拋物線與軸相離 0 x 3 平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)x 同 2 一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn) 1 個(gè)交點(diǎn) 2 個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí) 兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 設(shè)縱坐 標(biāo)為 則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 kkcbxax 2 4 一次函數(shù)的圖像 與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn) 由方 0 knkxyl 0 2 acbxaxyG 程組 的解的數(shù)目來確定 方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn) cbxaxy nkxy 2 lG 方 程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn) 方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn) lG lG 5 拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離 若拋物線與軸兩交點(diǎn)為 xcbxaxy 2 x 00 21 xBxA 則 12 ABxx 17 銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù) 含義含義 A的正弦 sinA A的余弦 cosA A的正切 tanA 平方關(guān)系 平方關(guān)系 sin2A cos2A 1 倒數(shù)關(guān)系 倒數(shù)關(guān)系 1 tan tan 90 增減性 增減性 0 sinA 1 0 cosA 1 tanA 0 A越大 A的正弦和正切值越大 余弦值反而越小 余角公式余角公式 sin 90 A cosA cos 90 A sinA 特殊角的三角函數(shù)值 特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù)三角函數(shù) 0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 sin 0 0 2 1 2 2 2 3 1 1 cos 1 1 2 3 2 2 2 1 0 0 tan 0 0 3 3 1 13 不存在不存在 第 7 頁 cot 不存在不存在 31 1 3 3 0 0 斜坡的坡度 斜坡的坡度 i 設(shè)坡角為 則i tan 鉛垂高度 水平寬度 四 空間與圖形四 空間與圖形 線段 射線 直線 線段 射線 直線 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 兩點(diǎn)確定一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或 等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 性質(zhì) 性質(zhì) 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中 垂線段最短 7 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn) 有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行 這兩條直線也互相平行 9 同位角相等 兩直線平行 10 內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行 11 同旁內(nèi)角互補(bǔ) 兩直線平行 平行線判定 平行線判定 12 兩直線平行 同位角相等 13 兩直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等 14 兩直線平行 同旁內(nèi)角互 補(bǔ) 三角形邊角關(guān)系 三角形邊角關(guān)系 15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊 三角形的內(nèi)角與外角 三角形的內(nèi)角與外角 17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180 18 推論 1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 19 推論 2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 20 推論 3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角 全等三角形性質(zhì) 全等三角形性質(zhì) 21 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊 對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)高線 對(duì)應(yīng)中線 對(duì)應(yīng)角平分線相等 面積 周長(zhǎng)也相等 全等三角形判定 全等三角形判定 22 邊角邊公理 SAS 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 23 角邊角公理 ASA 有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 24 推論 AAS 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 25 邊邊邊公理 SSS 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 26 斜邊 直角邊公理 HL 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 角平分線定理 角平分線定理 27 定理 1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 28 定理 2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn) 在這個(gè)角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合 等腰三角形 等腰三角形 30 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 即等邊對(duì)等角 31 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論 3 等邊三角形的各角都相等 并且每一個(gè)角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等 那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等 等角 對(duì)等邊 35 推論 1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個(gè)角等于 60 的等腰三角形是等邊三角形 h l 第 8 頁 Rt 中兩個(gè)一半 中兩個(gè)一半 37 在直角三角形中 如果一個(gè)銳角等于 30 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 中垂線定理中垂線定理 39 定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 40 逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn) 在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 軸對(duì)稱性質(zhì) 軸對(duì)稱性質(zhì) 42 定理 1 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形 43 定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱 那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線 44 定理 3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱 如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交 那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上 45 逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分 那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì) 稱 勾股定理勾股定理 46 勾股定理 直角三角形兩直角邊 a b 的平方和 等于斜邊 c 的平方 即 222 abc 47 逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng) a b c 有關(guān)系 那么這個(gè)三角形是直角三角形 222 abc 多邊形內(nèi)角和外角多邊形內(nèi)角和外角 48 定理 四邊形的內(nèi)角和等于 360 49 四邊形的外角和等于 360 50 多邊形內(nèi)角和定理 n 邊形的內(nèi)角的和等于 n 2 180 51 推論 任意多邊的外角和等于 360 平行四邊形性質(zhì)定理平行四邊形性質(zhì)定理 52 平行四邊形性質(zhì)定理 1 平行四邊形的對(duì)角相等 53 平行四邊形性質(zhì)定理 2 平行四邊形的對(duì)邊平行且相等 54 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 55 平行四邊形性質(zhì)定理 3 平行四邊形的對(duì)角線互相平分 平行四邊形判定定理 平行四邊形判定定理 56 平行四邊形判定定理 1 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 57 平行四邊形判定定理 2 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58 平行四邊形判定定理 3 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59 平行四邊形判定定理 4 一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形 矩形性質(zhì)定理 矩形性質(zhì)定理 60 性質(zhì)定理 1 矩形的四個(gè)角都是直角 61 性質(zhì)定理 2 矩形的對(duì)角線相等 矩形判定定理矩形判定定理 62 判定定理 1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 63 判定定理 2 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 菱形性質(zhì)定理菱形性質(zhì)定理 64 菱形性質(zhì)定理 1 菱形的四條邊都相等 65 菱形性質(zhì)定理 2 菱形的對(duì)角線互相垂直 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 66 菱形面積 對(duì)角線乘積的一半 即 S a b 2 菱形判定定理菱形判定定理 67 菱形判定定理 1 四邊都相等的四邊形是菱形 68 菱形判定定理 2 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 正方形性質(zhì)定理 正方形性質(zhì)定理 69 正方形性質(zhì)定理 1 正方形的四個(gè)角都是直角 四條邊都相等 第 9 頁 70 正方形性質(zhì)定理 2 正方形的兩條對(duì)角線相等 并且互相垂直平分 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 中心對(duì)稱 中心對(duì)稱 兩個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 后能與互相重合 這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)成中心對(duì)稱 71 定理 1 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的 72 定理 2 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形 對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心 并且被對(duì)稱中心平分 73 逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn) 并且被這一點(diǎn)平分 那么這兩個(gè)圖形關(guān)于 這 一點(diǎn)成中心對(duì)稱 等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形性質(zhì)定理 74 等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等 75 等腰梯形的兩條對(duì)角線相等 等腰梯形判定定理 等腰梯形判定定理 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 77 對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形 梯形常用輔助線 梯形常用輔助線 平行線等分線段定理平行線等分線段定理 78 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等 那么在其他直線上截得的線段也相等 左上右上左上右上 左下右下左全右全 79 推論 1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線 必平分另一腰 80 推論 2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線 必平分第三邊 中位線定理 中位線定理 81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊 并且等于它的一半 82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底 并且等于兩底和的一半 L L 2 中位線 上底下底 S L 梯形中位線 高 比例性質(zhì) 比例性質(zhì) 83 1 比例的基本性質(zhì) 如果 那么 如果 那么 交叉相乘 ac bd adbc adbc ac bd 84 2 合比性質(zhì) 如果 那么 ac bd abcd bd 85 3 等比性質(zhì) 如果 那么 acem bdfn acema bdfnb 黃金分割 黃金分割 線段 AB 被點(diǎn) C 黃金分割 AC BC 點(diǎn) C 叫做線段 AB 的黃金分割點(diǎn) AC 與 AB 的比叫做黃金比 相似三角形判定定理 相似三角形判定定理 90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長(zhǎng)線 相交 所構(gòu)成的三角形與原 三角形相似 A 型圖或 X 型圖 a c A B C D E F l1 b l2 第 10 頁 91 相似三角形判定定理 1 兩角對(duì)應(yīng)相等 兩三角形相似 AA 92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似 射影定理 93 判定定理 2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等 兩三角形相似 SAS 94 判定定理 3 三邊對(duì)應(yīng)成比例 兩三角形相似 SSS 95 定理 如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例 那么這兩個(gè)直角三角形相似 HL 相似三角形性質(zhì)定理 相似三角形性質(zhì)定理 96 性質(zhì)定理 1 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比 對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 97 性質(zhì)定理 2 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 98 性質(zhì)定理 3 相似三角形面積的比等于相似比的平方 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 圓的半徑為 R 某一點(diǎn)到圓心的距離為 d 101 如果 d R 點(diǎn)在圓上 102 如果 d R點(diǎn)在圓內(nèi) 103 如果 d R點(diǎn)在圓外 三點(diǎn)共圓 三點(diǎn)共圓 104 定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓 109 三角形的外接圓圓心 外心 是三邊垂直平分線的交點(diǎn) 垂徑定理 垂徑定理 110 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧 111 推論 1 平分弦 不是直徑 的直徑垂直于弦 并且平分弦所對(duì)的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心 并且平分弦所對(duì)的兩條弧 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑 垂直平分弦 并且平分弦所對(duì)的另一條弧 112 推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113 圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形 垂徑定理及其推論可概括為 過圓心 垂直于弦 直徑 平分弦 知二推三 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 平分弦所對(duì)的劣弧 四量定理 四量定理 弦 弧 弦心距 圓心角 114 定理 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對(duì)的弧相等 所對(duì)的弦相等 所對(duì)的弦的弦心距相等 115 推論 在同圓或等圓中 如果兩個(gè)圓心角 兩條弧 兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等 有一必有三 圓周角定理圓周角定理 116 定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 117 推論 1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 同圓或等圓中 相等的圓周角所對(duì)的弧也相等 118 推論 2 半圓 或直徑 所對(duì)的圓周角是直角 90 的圓周角所對(duì)的弦是直徑 119 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半 那么這個(gè)三角形是直角三角形 C ABD 第 11 頁 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 設(shè) R 為圓的半徑 d 為圓心到直線的距離 1 直線與圓相離d R 直線與圓沒有交點(diǎn) 2 直線與圓相切d R 直線與圓沒有唯一交點(diǎn) 3 直線與圓相交d R 直線與圓沒有有兩個(gè)交點(diǎn) 圓的內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形 120 定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角 相交弦定理相交弦定理 O 中 弦 AB 與弦 CD 相交與點(diǎn) E 則 AEBE CEDE 切線的判定與性質(zhì) 切線的判定與性質(zhì) 122 切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123 切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 124 推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 125 推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 切線長(zhǎng)定理 切線長(zhǎng)定理 126 切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線 它們的切線長(zhǎng)相等 圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條 切線的夾角 弦切角定理 弦切角定理 127 圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角 129 推論