幾何綜合之全等三角形手拉手模型(二)

全等三角形之手拉手模型專題 基本圖形1 圖 1 中 C 點(diǎn)為線段AB 上一點(diǎn) ACM CBN 是等邊三角形 AN 與BM 相等嗎 說(shuō)明理由 如圖 2 C 點(diǎn)為線段AB 上一點(diǎn) 等邊三角形ACM 和等邊三角形CBN 在 AB 的異側(cè) 此時(shí)AN 與BM 相等嗎 說(shuō)明理由 如圖 3 C 點(diǎn)為線段AB 外一點(diǎn) ACM CBN 是等邊三角形 AN 與BM 相等嗎 說(shuō)明理由 分析 題中三問(wèn)均是對(duì)等邊三角形性質(zhì)的考查以及全等三角形的證明 由 已知條件 利用等邊三角形的性質(zhì)可找出對(duì)應(yīng)邊及夾角相等 證明全等 即可得到線段相等 解 1 相等 證明如下 ACM CBN 是等邊三角形 AC CM CN BC 又 ACN MCN 60 MCB MCN 60 ACN MCB ACN MCB AN BM 2 相等 證明如下 ACM CBN 是等邊三角形 AC CM CN BC 又 ACN MCB ACN MCB AN BM 3 相等 證明如下 ACM CBN 是等邊三角形 AC CM CN BC 又 ACN MCN 60 MCB MCN 60 ACN MCB ACN MCB AN BM 點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì) 可圍 繞結(jié)論尋找全等三角形 運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等 證得三 角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵 變形2 1 如圖1 點(diǎn)C 是線段AB 上一點(diǎn) 分別以AC BC 為邊在AB 的同側(cè) 作等邊 ACM 和 CBN 連接AN BM 分別取BM AN 的中點(diǎn)E F 連接 CE CF EF 觀察并猜想 CEF 的形狀 并說(shuō)明理由 2 若將 1 中的 以AC BC 為邊作等邊 ACM 和 CBN 改為 以 AC BC 為腰在AB 的同側(cè)作等腰 ACM 和 CBN 如圖2 其他條件不變 那么 1 中的結(jié)論還成立嗎 若成立 加以證明 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理 由 點(diǎn)評(píng) 1 先求證 ACN MCB 得出AN BM ANC MBA 再證 NFC BEC 得出CE CF BCE NCF 利用等邊三角形的角度60 得出 ECF 60 證得結(jié)論成立 2 證明過(guò)程如上 1 中的結(jié)論只有CE CF 而 ECF 只等于等腰三角 形的頂角 60 得出結(jié)論不成立 解 1 如圖1 CEF 是等邊三角形 理由 等邊 ACM 和 CBN AC MC BC NC ACN MCB 在 ACN 和 MCB 中 NC BC ACN MCB AC MC ACN MCB SAS AN MB ANC MBA 在 NFC 和 BEC 中 NC BC FNC EBC NF BE NFC BEC SAS EC CF BCE ECN 60 BCE NCF ECF 60 CEF 是等邊三角形 2 如圖2 不成立 首先 ACN MCB ACN 與 MCB 不全等 如果有兩個(gè)等腰三角形的頂角相等 那么結(jié)論也不成立 證明方法與上面類似 只能得到CE CF 而 ECF 只等于等腰三角形的頂角 60 點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)與判定 三角形全等的判定與性 質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn) 變形3 如圖 在 ABC 中 已知 DBC 60 AC BC 又 ABC BCA CAB 都是 ABC 形外的等邊三角形 而點(diǎn)D 在AC 上 且BC DC 1 證明 C BD B DC 2 證明 AC D DB A 證明 1 C BD 與 ABC 中 BC DC AB BC C BD 60 ABD ABC C BD ABC C D AC 又在 BCA 與 DCB 中 BC DC AC B C ACB B C