3-2-5 分式的大小比較講義學生版

3式的大小比較 講義 教師版 內容 基本要求 略高要求 較高要求 分式的概念 了解分式的概念，能確定分式有意義 的條件 能確定使分式的值為零的條件 分式的性質 理解分式的基本性質，并能進行簡單 的變型 能用分式的性質進行通分和約分 分式的運算 理解分式的加、減、乘、除運算法則 會進行簡單的分式加、減、乘、除運算，會運用適當的方法解決與分式有關的問題 【例 1】 語句 “若 ，則 22”顯然是不正確的 。試分別按照下列要求，將它改為正確的語句： （ 1）增加條件，使結論不變；（ 2）條件不變，改變結論。 【考點】整式的大小比較 【難度】 2星 【題型】解答 【關鍵詞】 【解析】答案不唯一 【答案】（ 1）可增加條件： 都是正數，或 0x ，或 | | | |等 （ 2）可改變結論： 33，也可改變22。 【例 2】 若實數 1a ，則實數 2 2 133a N P ， ，的大小關系為 ( ) A P N M B M N P C N P M D M P N 【考點】 整式的大小比較 【難度】 4星 【題型】 選擇 【關鍵詞】 作差法 【解析】 本題主要考查代數式大小的比較有兩種方法：其一，由于選項是確定的，我們可以用特值法，取1a 內的任意值即可；其二， 用作差法和不等式的傳遞性可得 M N P， ， 的關系 中考要求 分式 的大小比較 例題精講 3式的大小比較 講義 教師版 方法一：取 2a ，則 45233M N P， ，由此知 M P N ，應選 D 方 法二：由 1a 知 10a 又 2 1 1 033 a ， ； 2 1 2 1 03 3 3a a ， M P N ，應選 D 【答案】 D 【例 3】 比較下列各題中的兩個式子的大?。?與 ； 221 ( 2)2 與221 ( 2 1)3 【考點】整式的大小比較 【難度】 3星 【題型】 解答 【關鍵詞】 作差法 【解析】 比較兩個代數式的大小一般用求差法，即：若 0，則 ；若 0，則 ；若0，則 ，在比較的過程中，常常需借助非負數的性質來判斷差的符號，當差的符號無法確定時，應分情況進行討論 ( ) ( ) 2a b a b a b a b b 當 0b 時， 20b ， a b a b ； 當 0b 時， 20b ， a b a b ； 當 0b 時， 20b ， a b a b ； 2 2 2 2 2 21 1 1( 2 ) ( 2 1 ) ( 4 )2 3 6a b a b a b 2 0a ， 2 0b 2240 即221 ( 4 ) 06 2 2 2 211( 2 ) ( 2 1 )23a b a b 當所比較的兩個代數式 “同號 ”時，也可用求商法，看其商與 1的大小關系是什么，進而判斷代斷式的大小 【答案】（ 1）當 0b 時， a b a b ； 當 0b 時， a b a b ； 當 0b 時， a b a b ； （ 2）2 2 2 211( 2 ) ( 2 1 )23a b a b 【例 4】 已知 x ， y ， z 是三個互不相同的非零實數，設 2 2 2a x y z ， b xy yz ，2 2 21 1 1c x y z ，1 1 1d xy yz 則 a 與 b 的大小關系是 ； c 與 d 的大小關系是 【考點】 分式的大小比較 【難度】 4星 3式的大小比較 講義 教師版 【題型】 填空 【關鍵詞】 作差法 ,第 15屆 ,希望杯 ,第 1試 【解析】 ,三個互不相同的非零實數， 2 2 2 ()a b x y z x y y z z x 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 02 x y y z z x 又 2 2 21 1 1 1 1 1cd x y z x y y z z x 22 21 1 1 1 1 1 102 x y y z z x ， 【答案】 ， 【例 5】 已知 a ， b ， c 為正數，且 ，若 1 1 1 ， 1 1 1y a b b c c a ，則 x 與 y 的大小關系是 ( ) A B C D 隨 a ， b ， c 的取值而變化 【考點】根式的大小比較 【難度】 4星 【題型】 選擇 【關鍵詞】 第 10屆，希望杯，第 2試， 作差法 【解析】 由題意有 2 2 2 2 2 222xy a b c a b b c a c 1 2 1 1 2 1( ) ( )a b b ca b b c 1 2 1() 2 2 21 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 又 ， 211( ) 0，211( ) 0，211( ) 0 0， 選 A 【答案】 A 【例 6】 已知正實數 a b c d、 、 、 滿足 a b c d 且 1，且 S ， ， ， ， ，求 a b c d、 、 、 的大小關系 【考點】分式的大小比較 【難度】 5星 【題型】 解答 【關鍵詞】 河北省，初中數學競賽 【解析】 由 ( ) ( 1 ) 0a b b a c d ，所以 ， 由 ( ) (1 ) 0d c d c a b ，所以 ， 由 ( ) ( 1 ) 0b d d b a c ，所以 ， 所以 c d b a 【答案】 c d b a 3式的大小比較 講義 教師版 【例 7】 已知 a b m， ， 都是正數，且 ，試證明分式 的值總小于 【考點】分式的大小比較 【難度】 4星 【題型】 解答 【關鍵詞】 作差法 【解析】 略 【答案】方法 1： 求出兩個分式的差： m b aa m a a b m b a b m ab m b b b m b b m 。根據條件，這個差總小于 0， 的值總小于 方法 2： 1a m b m a b a bb m b m b m ， 1a a ， a b m， ， 都是正數，且 ，所以 a b a bb m b 故 的值總小于 【例 8】 已知 ， 是 中三邊長，試比較 22大小。 【考點】分式的大小比較 【難度】 4星 【題型】 解答 【關鍵詞】 作差法 【解析】 略 【答案】方法一 求出這兩個分式的差 222 2 2c a b c c a b a b a b a b 。 0 0 0a b c a b c ， ， ， 22 0 ，即 22 。 方法二 因為 ， 是三角形三邊長，所以 0 c a b ，所以 01 22 【例 9】 加以兩位采購員同去一家飲料公司購買兩次飼料。兩次的價格有變化，兩位采購員的購買方式也不同，其中甲每次購買 1000 千克，乙每次都用 800 元。問： （ 1）甲、乙所購買飼料的平均單價各是多少？ （ 2）誰的 購買方式更合算？ 【考點】分式的大小比較 【難度】 4星 3式的大小比較 講義 教師版 【題型】 解答 【關鍵詞】 作差法 【解析】（ 1）設兩次購買飼料的平均單價分別為 a 元 /千克和 b 元 /千克，（ 為正數，且 ） 甲所購平均單價為 1 0 0 0 1 0 0 02 0 0 0 2a b a b（元 /千克） 乙所購平均單價為 8 0 0 8 0 0 28 0 0 8 0 0（元 /千克） （ 2）甲、乙所購飼料的平均單價之差是： 22422 2 2a b a b a ba b a ba b a b a b 。 由于 均為整數，且 ， 22也是正數 22a b 。故乙的購買方式更合算。 【答案】（ 1）甲所購平均單價為2元 /千克） 乙 所購平均單價為 2元 /千克） （ 2）乙的購買方式更合算 1. 設 ， 的平均數為 M ， 的平均數為 N ， 的平均數為 P ，若 ，則 M 與 P 的大小關系是 ( ) A B C D不確定 【考點】整式的大小比較 【難度】 4星 【題型】選擇 【關鍵詞】 2000，全國初中數學競賽，做差法 【解析】 23 2 2 4a b c a b N c a b P ， ， 212a b 因為 ，所以 22 01 2 1 2a b c a c c 即 0，所以 【答案】 B 2. 證明：對于任意兩個不等的正數 ，不等式 2a b 總成立。 【考點 】分式的大小比較 【難度】 4星 【題型】解答 【關鍵詞】作差法 【解析】略 課后作業(yè) 3式的大小比較 講義 教師版 【答案】 是不等的正數， 2 2 22 2 0a b a b a b a b a b 2a b 總成立。 3. 設 , c a ba b b c c a ，則 ， 三個數的大小關系是（ ） A. c a b B. b c a C. D. c b