1963年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及其解析

19631963 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及其解析年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及其解析 把OA繞著O點(diǎn)按反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150 設(shè)A點(diǎn)到達(dá)的位置為B 寫出B點(diǎn)所表示 的復(fù)數(shù)的代數(shù)式 3 3 如圖 AB為半圓的直徑 CD AB 已知AB 1 AC CB 4 1 求 CD 4 4 從二面角內(nèi)任意一點(diǎn)向二面角的兩個(gè)面作垂線 求證這兩 條垂線所決定的平面垂直于二面角的棱 要求畫圖 5 5 利用下列常用對(duì)數(shù)表 計(jì)算lg23 28 1 1 6 6 解方程 sin3x sinx cos2x 0 7 7 用1 2 3 4 7 9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 問 1 這樣的五位數(shù)一共有多少個(gè) 2 在這些五位數(shù)中 有多少個(gè)是偶數(shù) 3 在這些五位數(shù)中 有多少個(gè)是3的倍數(shù) 限定在實(shí)數(shù)范圍內(nèi) 9 9 如圖 線段CD與 O相交于A B兩點(diǎn) 且AC BD 又CE DF分別與 O相切于E F 求證 OEC OFD 10 10 如圖 半徑為1的球 內(nèi)切于圓錐 即直圓錐 已知圓錐的母線與底面的夾 角是2 3 當(dāng) 是什么值的時(shí)候 圓錐的全面積最小 用反三角函數(shù)表示 圖中V是圓錐的頂點(diǎn) VB是母線 O是球心 A是球和圓錐底面的切點(diǎn) 19631963年試題答案年試題答案 以cos 除分式的分子和分母 得 2 2 解解 輻角是k 360 60 其中k為任何整數(shù) 2 B點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)的模數(shù)是2 而輻角的主值是60 150 210 B點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)是 2 cos210 isin210 3 3 解解 AB 1 AC CB 4 1 4 4 證法一證法一 已知 二面角M AB N P是M AB N內(nèi)任意一點(diǎn) PC垂直平面M于C PD垂直平面N 于D 求證 平面PCD AB 證明證明 PC 平面M PC和AB垂直 PD 平面N PD和AB垂直 平面PCD AB 證法二證法二 已知 同證法一 求證 同證法一 證明證明 PC 平面M 過PC的平面PCD 平面M PD 平面N 過PD的平面PCD 平面N 平面PCD垂直平面M和N的交線 而AB即是平面M和N的交線 平面PCD AB 5 5 解解 lg23 28 1 1 1 1 lg23 28 1 1 1 3670 1 5037 23 28 1 1 0 03135 6 6 解法一解法一 sin3x sinx cos2x 0 2cos2xsinx cos2x 0 cos2x 2sinx 1 0 n是整數(shù) n是整數(shù) 解法二解法二 sin3x sinx cos2x 0 3sinx 4sin3x sinx 1 2sin2x 0 整理 得4sin3x 2sin2x 2sinx 1 0 分解 得 2sinx 1 2sin2x 1 0 n是整數(shù) 7 7 解解 1 從這六個(gè)數(shù)字中 取出五個(gè)數(shù)字 共能排成 個(gè)五位數(shù) 2 在所求的偶數(shù)中 末位必須取2 4這兩個(gè)數(shù)字中的一個(gè) 這有兩種方法 取定末位后 再從其余五個(gè)數(shù)字中任取四個(gè) 排成其他四位 這有 種方法 因此 共有 個(gè)五位數(shù)是偶數(shù) 3 一個(gè)整數(shù)是不是3的倍數(shù) 要看它的各位數(shù)字之和是不是3的倍數(shù) 這六個(gè) 數(shù)字1 2 3 4 7 9之和是26 因此只有除去2 余下的五個(gè)數(shù)字之和才是3的倍 數(shù) 由此可知 所取的五個(gè)數(shù)字必須是1 3 4 7 9 因此 共有 P5 5 120 個(gè)五位數(shù)是3的倍數(shù) 8 8 解法一解法一 2 的兩邊平方 得 xy 3 x2 即 x2 xy 3 3 將 1 的兩邊乘以3 得 3x2 6xy 3y2 3 4 從 4 的兩邊分別減去 3 的兩邊 得 2x2 5xy 3y2 0 分解 得 2x y x 3y 0 2x y 0 x 3y 0 檢驗(yàn)后 x1 y1與x3 y3是原方程組的兩組解 x2 y2與x4 y4不適合方程 2 方程組的解是 解法二解法二 2 的兩邊平方 得 代入 1 得 整理 得 2x4 11x2 9 0 分解 得 x2 1 2x2 9 0 x2 1 0 x1 1 x2 1 將x的值代入 3 得 檢驗(yàn)后 x1 y1與x3 y3是原方程組的兩組解 x2 y2與x4 y4不適合方程 2 方程組的解是 9 9 證法一證法一 連結(jié)OA OB OA OB OAB OBA OAC OBD 又AC BD OAC OBD OC OD CE DF分別切 O于E F OEC OFD都是直角 在 OEC與 OFD中 OEC OFD 90 OE OF OC OD OEC OFD 證法二證法二 CE CB分別是 O的切線與割線 CE2 CA CB CA CA AB 同理 DF2 DB DA DB DB AB CA DB CE2 DF2 CE DF CE DF分別切 O于E F OEC OFD都是直角 在 OEC與 OFD中 OEC OFD 90 OE OF CE DF OEC OFD 10 10 解解 1 設(shè)C為母線VB與球相切的切點(diǎn) 連OA OB OC 則OA OC