高中數(shù)學第二講證明不等式的基本方法二綜合法與分析法同步配套教學案新人教A版選修4_5.doc

二 綜合法與分析法 對應(yīng)學生用書P211綜合法(1)定義：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2)特點：由因?qū)Ч磸摹耙阎笨础翱芍?，逐步推向“未知?3)證明的框圖表示：用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為2分析法(1)定義：證明題時，常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種“執(zhí)果索因”的思考和證明方法(2)特點：執(zhí)果索因，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”(3)證明過程的框圖表示：用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為 對應(yīng)學生用書P21用綜合法證明不等式例1已知x0，y0，且xy1，求證：9.思路點撥可將所證不等式左邊展開，運用已知和基本不等式可得證，也可以用xy取代“1”，化簡左邊，然后再用基本不等式證明法一：x0，y0，1xy2.xy.111189.當且僅當xy時等號成立法二：xy1，x0，y0，525229.當且僅當xy時， 等號成立綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進行轉(zhuǎn)換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵1已知a，b，cR，證明不明式：abc，當且僅當abc時取等號證明：因為a0，b0，c0，故有ab2，當且僅當ab時取等號；bc2，當且僅當bc時取等號；ca2，當且僅當ca時取等號三式分邊相加，得abc.當且僅當abc時取等號2已知a，b，c都是實數(shù)，求證：a2b2c2(abc)2abbcca.證明：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc.c2a22ca將以上三個不等式相加得：2(a2b2c2)2(abbcca)即a2b2c2abbcca.在不等式的兩邊同時加上“a2b2c2”得：3(a2b2c2)(abc)2即a2b2c2(abc)2.在不等式的兩端同時加上2(abbcca)得：(abc)23(abbcca)即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.用分析法證明不等式例2已知x0，y0，求證(x2y2)(x3y3).思路點撥不等式兩邊是根式，可等價變形后再證明分析每一步成立的充分條件證明要證明(x2y2)(x3y3)，只需證(x2y2)3(x3y3)2.即證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6.即證3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即證3x23y22xy.3x23y2x2y22xy.3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).(1)當所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時，可用分析法來尋找證明途徑(2)分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆3求證：0,20，要證 2.只需證明：()2(2)2.展開得：10220.即證210，即證2125(顯然成立)ab.求證：cac. 證明：要證cac，只需證ac，即證：|ac|，兩邊平方得a22acc2c2ab，也即證a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR，且ab2c，a(ab)0，b0，且ab1，求證：.思路點撥所證不等式含有開方運算且兩邊都為正數(shù)，可考慮兩邊平方，用分析法轉(zhuǎn)化為一個不含開方運算的不等式，再用綜合法證明證明要證：，只需證()26，即證(ab)226.由ab1得只需證，即證：ab.由a0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立(1)通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，如本例，這種方法充分表明了分析法與綜合法之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系5已知a，b，c都是正數(shù)，求證：23.證明：法一：要證23，只需證ab2abc3，即2c3.移項，得c23.由a，b，c為正數(shù)，得c2c3成立原不等式成立法二：a，b，c是正數(shù)，c33.即c23.故2c3.ab2abc3.23. 對應(yīng)學生用書P231設(shè)a，bR，A，B，則A，B的大小關(guān)系是()AABBABCAB DAB解析：A2()2a2b，B2ab，所以A2B2.又A0，B0，AB.答案：C2a，bR，那么下列不等式中不正確的是()A.2 B.abC. D.解析：A滿足基本不等式；B可等價變形為(ab)2(ab)0正確；C選項中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項不正確；D選項是A選項中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確答案：C3設(shè)a，b，c，那么a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BacbCbac Dba解析：由已知，可得出a，b，c，2.bca.答案：B4設(shè)ba1，則()Aaaabba BaabaabCabaaba Dabbaaa解析：ba1.0ab1.abaa.a.00.a1.aaba.abaa0，b0，若P是a，b的等差中項，Q是a，b的正的等比中項，是，的等差中項，則P，Q，R按從大到小的排列順序為_解析：P，Q，RQP，當且僅當ab時取等號答案：PQR7設(shè)abc，且恒成立，則m的取值范圍是_解析：abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)224，當且僅當abbc時取等號m(，4答案：(，48若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lglglglg alg blg c.證明：法一：(綜合法)a，b，cR，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正數(shù)，abc.lglg abc，即lg lglglg alg blg c.法二：(分析法)要證lg lg lg lg alg blg c，即證lglg abc成立只需證abc成立又0，0，0.abc0.(*)又a，b，c是不全相等的正數(shù)，(*)式等號不成立原不等式成立9已知x，y，z均為正數(shù)求證：.證明：因為x，y，z均為正數(shù)所以()，同理可得，當且僅當xyz時，以上三式等號都成立將上述三個不