高考總復(fù)習(xí)《精品課件6函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值.ppt

第六講函數(shù)的單調(diào)性與最大 小 值 回歸課本1 函數(shù)的單調(diào)性 1 單調(diào)函數(shù)的定義 2 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y f x 在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù) 那么就說y f x 在這一區(qū)間上具有單調(diào)性 區(qū)間D叫做y f x 的單調(diào)區(qū)間 3 若函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 當(dāng)f x 0時 f x 為增函數(shù) 當(dāng)f x 0時 f x 為減函數(shù) 2 函數(shù)的最值 結(jié)論M為最大值M為最小值定義在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有最大 小 值 設(shè)f x 是定義在 m n 上的單調(diào)增函數(shù) 則它的最大值是f n 最小值是f m 考點陪練1 2010 福建 下列函數(shù)f x 中 滿足 對任意x1 x2 0 當(dāng)x1f x2 的是 A B f x x 1 2C f x exD f x ln x 1 答案 A 答案 B 答案 D 答案 C 5 設(shè)x1 x2為y f x 的定義域內(nèi)的任意兩個變量 有以下幾個命題 x1 x2 f x1 f x2 0 x1 x2 f x1 f x2 0 其中能推出函數(shù)y f x 為增函數(shù)的命題為 答案 類型一函數(shù)單調(diào)性的判定與證明解題準備 判斷函數(shù)的單調(diào)性的常見方法有三種 定義法 直接法 圖象法 1 用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 1 取值 設(shè)x1 x2為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值 且x10 2 作差變形 作差 y f x2 f x1 并通過因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判斷差值符號的方向變形 3 定號 確定差值 y的符號 當(dāng)符號不確定時 可考慮分類討論 4 判斷 根據(jù)定義作出結(jié)論 2 直接法 運用已知的結(jié)論 直接得到函數(shù)的單調(diào)性 如一次函數(shù) 二次函數(shù) 反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出 了解以下結(jié)論 對直接判斷函數(shù)的單調(diào)性有好處 1 函數(shù)y f x 與函數(shù)y f x 的單調(diào)性相反 2 當(dāng)f x 恒為正或恒為負時 函數(shù)與y f x 的單調(diào)性相反 3 在公共區(qū)間內(nèi) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 減函數(shù) 增函數(shù)等 4 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷 要注意掌握 同增 異減 的原則 3 圖象法 是根據(jù)函數(shù)的圖象直觀判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性的方法 反思感悟 利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f x 的單調(diào)性時 比較f x1 與f x2 的大小常用作差法 有時可運用作商法 放縮法等 討論函數(shù)的單調(diào)性值域問題不可忽視函數(shù)的定義域 類型二函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解題準備 因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 所以結(jié)合圖象可得奇函數(shù)在 a b 與 b a 上的單調(diào)性相同 因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 所以偶函數(shù)在 a b 與 b a 上的單調(diào)性相反 分析 利用f x f x 求a b的值 x21 1 0 x22 1 0 x2 x1 0 而x1 x2 0 1 時 x1x2 10 函數(shù)y f x 是減函數(shù) 又f x 是奇函數(shù) f x 在 1 0 上是增函數(shù) 在 1 上是減函數(shù) 又x 0 1 u 1 0 時 恒有f x f u 等號只在x u 0時取到 故f x 在 1 1 上是增函數(shù) 3 由 2 知函數(shù)f x 在 0 1 上遞增 在 1 上遞減 則f x 在x 1處可取得最大值 f 1 函數(shù)的最大值為 無最小值 類型三求函數(shù)的最值解題準備 1 若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù) 常用配方法 2 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性 然后利用單調(diào)性求最值 3 基本不等式法 當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法 4 導(dǎo)數(shù)法 當(dāng)函數(shù)較復(fù)雜 如指 對數(shù)函數(shù)與多項式結(jié)合 時 一般采用此法 5 數(shù)形結(jié)合法 畫出函數(shù)圖象 找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義 在圖上找其變化范圍 分析 在解決該類型函數(shù)的最值時 首先考慮到應(yīng)用均值不等式求解 但須逐一驗證應(yīng)用均值不等式所具備的條件 若條件不具備 應(yīng)從函數(shù)單調(diào)性的角度考慮 類型四抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值解題準備 抽象函數(shù)是近幾年高考的熱點 研究這類函數(shù)性質(zhì)的根本方法是 賦值 解題中要靈活應(yīng)用題目條件賦值轉(zhuǎn)化或配湊 典例4 函數(shù)f x 對任意的a b R 都有f a b f a f b 1 并且當(dāng)x 0時 f x 1 1 求證 f x 是R上的增函數(shù) 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 分析 1 是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明 所以要用單調(diào)性的定義 2 將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號 f 運用單調(diào)性 去掉 為此需將右邊常數(shù)3看成某個變量的函數(shù)值 解 1 設(shè)x1 x2 R 且x10 則f x2 x1 1 f a b f a f b 1 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1又f x2 x1 1 0 因此f x2 f x1 故f x 在R上是增函數(shù) 2 令a b 2 則f 4 2f 2 1 又f 4 5 f 2 3 原不等式即為f 3m2 m 2 f 2 由 1 知f x 在R上是增函數(shù) 3m2 m 2 2 反思感悟 1 若函數(shù)f x 是增函數(shù) 則f x1 f x2 x1 x2 函數(shù)不等式 或方程 的求解 總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號 化為一般不等式 或方程 求解 但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行 2 在解答過程中易出現(xiàn)不能正確構(gòu)造f x2 x1 的形式或不能將不等式右邊3轉(zhuǎn)化為f 2 從而不能應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解 導(dǎo)致此種錯誤的原因是沒有熟練掌握單調(diào)性的含義及沒弄清如何利用題目中的已知條件或者不能正確地將抽象不等式進行轉(zhuǎn)化 錯源一不注意分段函數(shù)的特點 剖析 本題的錯誤在于沒有注意分段函數(shù)的特點 只保證了函數(shù)在每一段上是單調(diào)遞減的 沒有使函數(shù)f x 在 1 上的最小值大于 1 上的最大值 從而得出錯誤結(jié)果 答案 C 錯源二判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時 未弄清內(nèi) 外函數(shù)的單調(diào)性而致錯 技法一復(fù)合法 方法與技巧 復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間是一個難點 我們應(yīng)明確單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集 當(dāng)求單調(diào)區(qū)間時 必須先求出原復(fù)合函數(shù)的定義域 再根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性與 同為增 異為減 的原則判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 技法二定義法 方法與技巧 利用函數(shù)單調(diào)性的定義求單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵有兩點 一是對f x1 f x2 要正確變形 主要途徑有 因式分解 配方 通分 有理化等 二是利用x1 x2 x確定函數(shù)增減區(qū)間的分界點 劃定