2014年第十四屆“少文杯”數(shù)學邀請賽五年級試題詳解.doc

第十四屆“少文杯”數(shù)學邀請賽暨第二十屆“華杯賽”成都賽區(qū)熱身賽五年級試卷一、填空題(每小題10分，共80分)1. 算式109876123452的計算結果化成小數(shù)后的整數(shù)部分是_?？键c：分數(shù)計算分析：觀察整個算式，將分子改寫為乘法形式后，分子和分母可以約分。解:原式=1098761234512345=2110=2.1所以整數(shù)部分為22. 如圖1，俯視某花園可以分為A、B、C、D、E五個部分，現(xiàn)在園林設計師打算最多用五種不同的植物裝飾花園，要求每一部分只能用一種植物，并且相鄰部分不能使用相同的植物，不相鄰的部分可以使用相同的植物，那么按照以上要求，此花園共有_種設計方案。考點：加乘原理分析：觀察圖形，A是最特殊的，因為它和四個都相鄰。那么首先先滿足A，又知道C、E和B、D是相對的，那么C、E的顏色可以相同，B、D也可以相同。所以這里要分類。解：第一類：C、E顏色相同。先種A有5中選擇，然后種E(E不能和A相同)有4種選擇，(C和E相同，C就不用在選了)，再種B(B不能與ACE相同，CE是一種顏色)還有3種選擇，最后種D也有3種選擇，這里包含了BD相同和不相同的情況。共5433=180種。第二類：C、E顏色不相同。先種A有5中選擇，然后種E(E不能和A相同)有4種選擇，C和E不相同，C就有3種選擇，再種B，B不能和ACE一樣，那么只有2種選擇，最后種D也有2種選擇。這里包含了BD相同和不相同的情況。共54322=240最后兩類加起來：240+180=420種。3. 某工程現(xiàn)場有五袋貨物，分別重56kg、104kg、60kg、88kg、128kg，已知其中有兩袋水泥、兩袋黃沙和一袋石子，并且兩袋黃沙的重量之和是兩袋水泥的重量之和的一半，那么一袋石子的重量與兩袋黃沙的重量之差是千克?？键c：數(shù)的整除分析：這里要求一袋石子的重量與兩袋黃沙的重量之差，只要找出它們分別有多重就可以了。題中只有一個條件：兩袋黃沙的重量之和是兩袋水泥的重量之和的一半，即：兩袋水泥的重量之和是兩袋的黃沙重量之和的兩倍。那么它們的總和就是黃沙重量之和的3倍。說明它們的總和能倍3整除。解：56+104+60+88+128=436436除以3余1。因為88除以3也余1，那么這一袋就是石子。那么黃沙重量為：(436-88)3=116，即56千克和60千克。一袋石子的重量與兩袋黃沙的重量之差為：116-88=28千克。4. 如果要寫出1到2014的所有自然數(shù)，那么數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)比數(shù)字2出現(xiàn)的次數(shù)多_次。考點：數(shù)碼問題分析：這里需要用到一個抵消思想，比如1-9里面，1和2的個數(shù)相同，那么這樣的一組1和2的個數(shù)就抵消了。解：1-9里而1和2的個數(shù)相同。10-19，與20-29，1和2的個數(shù)也相同。100-199，與200-299，1和2的個數(shù)也相同。得出規(guī)律：整百、整十里面1利2的個數(shù)都相等。那么1000-1999里而，1的個數(shù)比2的個數(shù)就多1000次(都是千位上的1)。2000-2014，2的個數(shù)比1的個數(shù)多10個。那么1的個數(shù)總共比2的個數(shù)多990個。5. 己知點A是長方形EBCD外部的一點，AE=AB，長方形EBCD的面積為100平方厘米，那么三角形ABC的面積是_平方厘米。考點：直線型幾何分析：根據(jù)題目可知ABE是等腰三角形，那么過A作BE的垂線，對稱性垂足一定是BE的中點，且垂線平行于BC，我們可以將ABC的A點在垂線上滑動，其面積亦不會變，因此可將A點滑動到如下圖的位置，易得出ABC的面積為長方形的14。解：過A做EB的垂線，將A移到垂線與CD的交點處。SABC=14長方形面積= 14100=25平方厘米6. 國慶節(jié)到了，“淘寶網(wǎng)”上的服裝店小老板推出優(yōu)惠活動，上午就賣了8件衣服和16條褲子，共收入2400元。下午賣出了12件上衣和12件褲子，共收入2520元。那么，一件褲子比一件上衣便宜_元?？键c：應用題分析：整體思想，平常生活中，我們都習慣把一件衣服和一條褲子看做一套衣服。這里也可以運用這樣的思想。解：題中，8件衣服和16條褲子看做8套衣服+8條褲子。12件上衣和12件褲子看做12套衣服。即：8套衣服+8條褲子=2100元12套衣服=2520元一套衣服=252012=210元那么褲子的價格為：(2100-8210)8=90元衣服價格為：210-90=120元。所以褲子比衣服便宜30元。7. 24698100的計算結果末尾有個連續(xù)的零。考點：因數(shù)與倍數(shù)分析：如果一個數(shù)末尾有一個零，則說明其一定是10的倍數(shù)，而10=25，歸根結底必然含有因數(shù)2和5至少一個以上。解：易知數(shù)的末尾有一個零則一定含有因數(shù)2和5一組，含有兩個零一定含有2和5兩組說明零的個數(shù)取決于因數(shù)2和5的對數(shù)。從題干可知給的數(shù)全是偶數(shù)，故因數(shù)2的個數(shù)必大于50，而因數(shù)5卻是相對不足，因而0的個數(shù)取決于因數(shù)5的個數(shù)。綜上則有：1005=20個，10025=4個(兩個算式說明100內，含有因數(shù)5的數(shù)有20個；其中含有兩個因數(shù)5的有4個)202=10個，42=2個(20個5的倍數(shù)中奇數(shù)偶數(shù)各占一半；4個25的倍數(shù)中奇數(shù)偶數(shù)各占一半)綜上一共10+2=12個零。8. M博士非常喜歡寵物，有一天他對別人說：“我的家里除了兩只以外所有寵物都是狗，除了兩只以外所有寵物都是貓，除了兩只以外所有寵物都是鳥?！蹦敲碝博士家里有_只寵物?？键c：邏輯推理分析：除兩只以外，所有寵物都是狗，即說明其它寵物有兩只。解：易知M博士有三種寵物，分別是狗，貓，鳥；他的第一句話說明貓和鳥一共兩只，顯然各占一只；同理可得狗也只有一條。綜上，共3只寵物。二、解答下列各題(每小題10分，共40分，要求寫出簡要過程)9. 運動員練習長跑，計劃從A地跑到B地，再從B地按照原路返回A地，由于體力的下降，平均每小時比前一個小時少跑1千米，己知去時用了4小時，返回時用了5小時，那么AB兩地相距多少千米？考點：行程問題分析：這道題雖然是行程問題，但是其實是一個等差數(shù)列的變例。解：設運動員初始速度為x。那么前四個小時的速度為：x，x-1，x-2，x-3后五個小時為：x-4，x-5，x-6，x-7，x-8由于來回的路程是一樣的，可以列出方程：x+(x-1)+(x-2)+(x-3)=(x-4)+(x-5)+(x-6)+(x-7)+(x-8)整理得：4x-6=5x-30解得：x=24總路程為：424-6=96千米。10. 如圖3，在正方形上畫一條直線，可以將正方形分成兩部分，那么畫三條不重合的直線，最少可以把正方形分成幾部分？畫四條不重合的直線最多可以把正方形成幾部分？考點：圖形的分割。分析：如果沒有一條直線，那么平面就可以看作1個部分；如果有1條直線，那么平面就被分成2個部分；如果有2條直線，又可分為兩種情況：第2條直線與第1條直線不相交，可分平面3部分，第2條直線與第1條直線相交，可分平面4部分，同理，3條直線最多可分平面7部分，4條直線最多可分平面11部分，再把這幾個數(shù)分解，發(fā)現(xiàn)1=1，2=1+1，4=1+1+2，7=1+1+2+3，11=1+1+2+3+4。由此我們可得到直線分平面公式：n條直線最多能把平而分成1+1+2+3+n個部分，即最多能把平而分成nn+1+22個部分。解：結果如下圖：所以：最少為4部分，最多為11部分。11. 數(shù)學課堂上，老師請上了小文和小胖兩名同學參加一場數(shù)學游戲，老師在黑板上寫出了2，3，4，98，99，100，然后擦去這99個自然數(shù)中的一個，接下來由小文、小胖兩人輪流擦去一個自然數(shù)，即小文先擦去其中一個自然數(shù)，然后小胖再擦去剩下自然數(shù)數(shù)中的另一個數(shù)，如此進行下去，若最后黑板上剩下的兩個數(shù)互質，那么小胖勝，否則，小文勝。問：(1)如果老師第一個擦去的是100，那么兩名同學誰有必勝策略，必勝策略是什么？(2)如果老師第一個擦去的是99，那么兩名同學誰有必勝策略，必勝策略是什么？考點：質數(shù)與合數(shù)，游戲與對策分析：如何下手，找到解決問題的方向是這個題最大難點，如果小胖想全部留下100以內的25質數(shù)中的某兩個，必勝。但25個質數(shù)數(shù)遠不及99個數(shù)中的一半，因此這必定做不到。若能想到，相鄰的兩數(shù)必然互質，偶數(shù)間必不互質該題便可迎刃而解。解：因為相鄰的兩數(shù)必然互質，小文必然不想留下的相鄰的兩個數(shù)，所以她的最佳策略是挑奇數(shù)跳著來擦；小胖知道，他是后手，占有劣勢，如果留下的是兩個偶數(shù)，他必輸，因而他的最佳策略是擦掉小文擦掉的奇數(shù)前面的郡個偶數(shù)，如此才會有一線勝機。(1)老師擦掉100，剩下的98個數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)各占48個，小文會不斷擦掉奇數(shù)，小胖會不斷擦掉奇數(shù)前面的偶數(shù)。如此這樣擦到第46次(他們兩人各劃擦一個數(shù)稱為一次)，此時剩下4個數(shù)，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù)，而且一定存在一個奇數(shù)與另一個偶數(shù)相鄰(相鄰的奇數(shù)和偶數(shù)可以看做一組)，最后一次，小文會擦掉其中一組的奇數(shù)，小胖會擦掉該組剩下的偶數(shù)。則剩下的兩個數(shù)必是一個奇數(shù)和一個偶數(shù)且相鄰。綜上，小胖擁有強勝策略。(2)老師劃掉99(其它奇數(shù)也一樣)，剩下的98個數(shù)，奇數(shù)47個，偶數(shù)49個。當他們都按照自己的必勝策略操作，擦到第46次，此時剩下一個奇數(shù)，三個偶數(shù)，小文只需將奇數(shù)劃掉便可勝。綜上，小文擁有必勝策略。12. 在“33”的方格中，每個方格內填上一個數(shù)，使得每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和均相等，如圖6，己填好的兩個數(shù)為97和17，試求出a所代表的數(shù)。9717a圖6考點：數(shù)陣圖與幻方分析：根據(jù)三階幻方公式“兩相鄰邊之和為不相鄰角的兩倍”可得，17+a=972解：a=972-17=177三、 解答下列各題(每小題各15分，共30分，要求寫出詳細解答過程)13. 將1到60的所有自然數(shù)任意分成12組，每一組5個數(shù)，如果將每一組的5個數(shù)從小到大排列，處于中間的數(shù)稱為“少文數(shù)”，例如(11，12，13，14，15)中，那么13為“少文數(shù)”，對于每一種分法都會產生12個“少文數(shù)”，那么12個“少文數(shù)”的和最小是多少？請給出一種和最小時的分組情況?？键c：構造與論證，最值問題分析：要使12個“少文數(shù)”和最小，就應使“少文數(shù)”盡量小，也就是每組中第三個數(shù)盡量小。很顯然每組中第三個數(shù)并非最小的數(shù)，而是第三小，那就意味著需要讓每組前三個數(shù)盡量小。解：欲使12個“少文數(shù)”之和最小，需使每個“少文數(shù)”盡量小，因此也就需要使每組前三個數(shù)越小越好。一個分為12組，每組前三個盡量小，因此需要是123=36個數(shù)盡量小，則須在1到60個數(shù)中選擇136的前36個數(shù)。將這36個數(shù)放入12組，每組放三個。第一組，“少文數(shù)”最小只能是3，前兩個為1,2；第二組，“少文數(shù)”只能是剩下的33個數(shù)中的6，前兩個為4,5；第十二組，“少文數(shù)”為36，前兩個為34,35。接下來可以將剩下的數(shù)隨機的放入每組的后兩個數(shù)即可，因為剩下的數(shù)肯定會比前面的數(shù)大，不會影響“少文數(shù)”。下面即為一種“少文數(shù)”和最小的分法(不唯一)：1，2，3，37，384，5，6，39，407，8，9，41，4231，32，33，57，5834，35，36，59，60可以發(fā)現(xiàn)“少文數(shù)”都是3的倍數(shù)，因此“少文數(shù)”和為：3+6+