解幾離心率求解的基本方法.doc

精品文檔解幾求解離心率的基本方法設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率e的取值范圍。 解法1：利用曲線范圍 設(shè)P（x，y），又知，則 將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得 解法2：利用二次方程有實(shí)根由橢圓定義知 解法3：利用三角函數(shù)有界性 記 解法4：利用焦半徑 由焦半徑公式得 解法5：利用基本不等式 由橢圓定義，有 平方后得 解法6：巧用圖形的幾何特性 由，知點(diǎn)P在以為直徑的圓上。 又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P 故有水深火熱的演練一、直接求出或求出a與b的比值，以求解。在橢圓中，1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于2.已知橢圓兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的2倍，則其離心率為3.若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為,則橢圓的離心率為4.已知矩形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。5.若橢圓短軸端點(diǎn)為滿足，則橢圓的離心率為。6.已知?jiǎng)t當(dāng)mn取得最小值時(shí)，橢圓的的離心率為7.橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是8.已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，橢圓的離心率為。9.P是橢圓+=1（ab0）上一點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知 橢圓的離心率為10.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若， 則橢圓的離心率為 13.橢圓（ab0）的兩頂點(diǎn)為A（a,0）B(0,b),若右焦點(diǎn)F到直線AB的距離等于AF，則橢圓的離心率是。 14.橢圓（ab0）的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是 15.已知直線L過橢圓（ab0）的頂點(diǎn)A（a,0）、B(0,b),如果坐標(biāo)原點(diǎn)到直線L的距離為，則橢圓的離心率是 16.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 17.設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程 的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（A）必在圓內(nèi)必在圓上必在圓外以上三種情形都有可能二、構(gòu)造的齊次式，解出1已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是2以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，直線MF1與圓相切，則橢圓的離心率是3以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心作一個(gè)圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，如果MF=MO，則橢圓的離心率是4設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是5已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是6設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 （ 為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是三、尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。1已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是2已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，橢圓離心率e的取值范圍為3已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，橢圓離心率e的取值范圍為4設(shè)橢圓（ab0）的兩焦點(diǎn)為F1、F2，若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使F1QF2=120，橢圓離心率e的取值范圍為 5在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率6設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是7如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、D為一橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余四個(gè)頂點(diǎn)B、C、E、F均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是關(guān)于雙曲線離心率一、利用雙曲線性質(zhì)例1 設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，雙曲線兩焦點(diǎn)為，已知是點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離和的比例中項(xiàng)，求雙曲線離心率的取值范圍。解析：由題設(shè)得：。由雙曲線第二定義得：，由焦半徑公式得：，則，即，解得。歸納：求雙曲線離心率取值范圍時(shí)可先求出雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用性質(zhì)：若點(diǎn)在雙曲線的左支上則；若點(diǎn)在雙曲線的右支上則。二、利用平面幾何性質(zhì)例2 設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)，求雙曲線離心率的取值范圍。解析：由雙曲線第一定義得：，與已知聯(lián)立解得：，由三角形性質(zhì)得：解得：。歸納：求雙曲線離心率的取值范圍時(shí)可利用平面幾何性質(zhì)，如“直角三角形中斜邊大于直角邊”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等構(gòu)造不等式。三、利用數(shù)形結(jié)合例3 （同例2）解析：由例2可知：，點(diǎn)P在雙曲線右支上由圖1可知：，即，兩式相加得：，解得：。四、利用均值不等式例4 已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)為，最小值是，求雙曲線離心率的取值范圍。解析：，由均值定理知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，又所以，則。五、利用已知參數(shù)的范圍例5 （2000年全國高考題）已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。解析：如圖2建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，設(shè)其中是梯形的高，由定比分點(diǎn)公式得，把C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程得，兩式整理得，從而建立函數(shù)關(guān)系式，由已知得，解得。六、利用直線與雙曲線的位置關(guān)系例6 已知雙曲線與直線：交于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，求雙曲線離心率的取值范圍。解析：把雙曲線方程和直線方程聯(lián)立消去得：時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則，即且，所以，即且。七、利用點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系例7 已知雙曲線上存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求雙曲線離心率的取值范圍。解析：設(shè)，弦PQ中點(diǎn)為M，由點(diǎn)差法求得，當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線內(nèi)部時(shí)，整理得：無解；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線外部時(shí)，點(diǎn)M應(yīng)在兩漸近線相交所形成的上下區(qū)域內(nèi)，由線性規(guī)劃可知：，即，則，所以。八、利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)例8 已知過雙曲線左焦點(diǎn)的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），求雙曲