微觀經(jīng)濟學(xué)現(xiàn)代觀點(第七版)-10跨期選擇(含習(xí)題解答.pdf

Chapter 10 Intertemporal Choices Intermediate Microeconomics A Modern Approach 7th Edition Hal R Varian University of California at Berkeley 第第第第 10 章章章章 跨期選擇跨期選擇跨期選擇跨期選擇 含習(xí)題解答含習(xí)題解答含習(xí)題解答含習(xí)題解答 中級微觀經(jīng)濟學(xué) 現(xiàn)代方法 第 7 版 范里安 著 加州大學(xué)伯克利 曹乾 譯 東南大學(xué) caoqianseu 簡短說明 翻譯此書的原因是教學(xué)的需要 當(dāng)然也因為對現(xiàn)行中文翻譯版教材的不滿 范里 安的書是一碗香噴噴的米飯 但市面流行的翻譯版卻置入了大量的沙子 翻譯生硬而且含有 很多錯誤 我在美國流浪期間翻譯了此書的大部分 僅供教學(xué)和學(xué)習(xí)參考 2 10 跨期選擇 本章我們繼續(xù)研究消費者理論 以前各章研究的消費選擇都是在同一時期內(nèi)發(fā)生的 本 章研究的情形是多個時期內(nèi)的消費選擇問題 這樣的選擇稱為跨期選擇 intertemporal choices 跨期消費選擇不僅涉及消費還涉及到儲蓄問題 10 1 預(yù)算約束 假設(shè)有兩個時期 某個消費者在每個時期內(nèi)都要作出消費商品數(shù)量的選擇 我們通常假 設(shè)他消費的商品為復(fù)合商品 composite good 我們在第 2 章已介紹過這個概念 當(dāng)然 你也 可以假設(shè)這種商品為任何具體的商品 比如蘋果 令消費者在這兩個時期消費的商品數(shù)量 為 21 cc 假設(shè)商品價格恒為 1 他在兩個時期內(nèi)的收入為 21 mm 消費者可以將時期 1 的資金轉(zhuǎn)移到時期 2 假設(shè)最初消費者轉(zhuǎn)移資金的方法是儲蓄但不 計利息 而且假設(shè)他沒法借錢 因此在時期 1 他可以消費的資金最多為 1 m 這樣的情形下 他的預(yù)算線的形狀將如圖 10 1 所示 圖 10 1 預(yù)算約束 利息率為 0 且不允許借錢的情形下 消費者的預(yù)算線如圖所示 他在時 期 1 的消費越少 則在時期 2 內(nèi)他能消費的數(shù)量越多 這種情形下 消費者有兩種消費選擇 一是他可以選擇消費 21 mm 即每期消費支出 等于每期的錢數(shù) 另外一種選擇是 時期 1 他的消費支出小于 1 m 這樣他儲蓄了部分資金 用于時期 2 的消費 現(xiàn)在 允許消費者借入或貸出資金 利率為r 為方便起見 仍然假設(shè)商品價格在兩個 時期內(nèi)恒為 1 讓我們推導(dǎo)出預(yù)算約束 假設(shè)消費者在時期 1 決定做個儲蓄者 因此 11 mc 他就是個借款者 在時期 2 他需要支付的利息為 11 mcr 當(dāng)然 他還需要 歸還借入的本金 11 mc 這樣 他的預(yù)算約束為 1 112 111122 cmrm mcrmcrmc 這個式子正是我們前面得到的式子 如果 11 cm 為正 則消費者儲蓄并賺取利息 如果 11 cm 為負(fù) 則消費者借入資金并支付利息 如果 11 mc 則必有 22 mc 此時消費者既不借債也不放債 這種情形下 消費處于 波洛厄斯點 Polonius point 1 我們可以將消費者的上述預(yù)算約束變形從而得到其他兩種形式的預(yù)算約束 2121 1 1 mmrccr 10 2 r m m r c c 11 2 1 2 1 10 3 注意 上述兩個式子都意味著 22112211 mpmpxpxp 在 10 2 式中 rp 1 1 和1 2 p 在 10 3 式中 1 1 p和 1 1 2 rp 我們說 10 2 式是以終值 future value 形式表達的預(yù)算約束 10 3 式是以現(xiàn)值 present value 形式表達的預(yù)算約束 如此稱呼的原因在于 10 2 式中以遠期消費的價 格為 1 而在 10 3 式中以現(xiàn)期消費的價格為 1 換句話說 10 2 式中時期 1 的價格是對 于時期 2 價格的相對價格 10 3 式正好相反 現(xiàn)值和終值的幾何圖形解釋見圖 10 2 兩個時期資金稟賦的現(xiàn)值 是恰好能和資金稟賦 產(chǎn)生同一預(yù)算集的時期 1 的資金數(shù) 這恰好是預(yù)算線的橫截距 它表示時期 1 的最大可能消 費量 由預(yù)算線可以計算出 這個最大消費量為 1 211 rmmc 這是資金稟賦的現(xiàn)值 類似地 縱截距是時期 2 的最大可能消費量 0 1 c時 從預(yù)算線也可以計算出它等 于資金稟賦的終值 212 1 mmrc 跨期選擇的預(yù)算約束表達式中 現(xiàn)值形式的表達式相對重要一些 因為它將終值折算 為現(xiàn)值 而這正是我們看待問題的角度 從終值形式的預(yù)算約束表達式也可以推導(dǎo)出現(xiàn)值形式的預(yù)算約束的表達式 10 2 式 兩邊同除以 1 r 即可 既然消費者總能買得起 21 mm 所以預(yù)算線通過 21 mm 預(yù)算 線的斜率為 1 r 1 不要借債 也不要放債 因為放債不僅血本無歸而且會失去朋友 借債會使自己忘記勤儉 莎士比 亞 哈姆雷特 第 1 幕第 3 場 波洛厄斯告誡兒子的話 4 圖 10 2 現(xiàn)值與終值 縱截距表示終值 橫截距表示現(xiàn)值 10 2 消費偏好 我們用無差異曲線分析消費者的偏好 無差異曲線的形狀表明消費者對不同時期消費的 偏好 例如 如果無差異曲線的斜率恒為1 則表明消費者對于是在今天消費還是在時期 消費 2 消費無所謂 他在這兩個時期的邊際替代率為1 1 1 完全互補情形的無差異曲線 表明 1 c和 2 c是 1 1 互補的 即消費者在今天和明天 的消費數(shù)量是一樣的 這種情形下 消費者不愿意用一期的消費替代另一期 和往常一樣 良好性狀的偏好更為合理一些 消費者愿意用今天的消費替代明天 或者 相反 替代率大小取決于消費者需求函數(shù)的具體形式 在上述情形下 偏好為凸就比較自然 因為這意味著消費者更喜歡兩個時期的 平均 消費量 而不是今天多消費明天一點也不消費 10 3 比較靜態(tài)分析 圖 10 3 借款者和放款者 A 圖顯示的為借款者的情形 因為 11 mc B 圖顯示的為放款 者的情形 因為 11 mc 5 給定消費者在兩個時期內(nèi)的預(yù)算約束和消費偏好 我們就可以研究它的最優(yōu)選擇 21 cc 如果他的消費滿足 11 mc 則他 是個借款者 borrower 圖 10 3B 顯示了消費者為放款者的情形 下面分析消費者會對利率變化作出如何反應(yīng) 從 10 1 式可知 利率增加會使無差異 曲線轉(zhuǎn)動到更陡峭的位置 因為利率增加時 對于給定的 1 c減少量 消費者在下一期得到的 消費量會更多 由于消費者總能買得起稟賦 因此這種無差異曲線的變動實際為繞著稟賦點 轉(zhuǎn)動 我們也可以分析當(dāng)利率時消費者選擇作為借款者或放款者的后果 這樣的后果有兩種 到底為哪一種則要取決于消費者最初為借款者還是放款者 先假定消費者最初為放款者 則 可以證明當(dāng)利率增加時 消費者仍然會選擇作為放款者 我們借助圖 10 4 說明這個結(jié)論 如果消費者最初為放款者 則他的消費束必然位于稟 賦點的左側(cè) 現(xiàn)在假設(shè)利率增加 那么消費者可能在稟賦點右側(cè)右側(cè)右側(cè)右側(cè) 消費嗎 答案為否 因為如果是這樣則違反了顯示偏好原理 在原來預(yù)算集的情形下 消費者原 本可以選擇稟賦點右側(cè)的消費束 但是他卻放棄了 他選擇的消費束是如圖所示的消費束 既然在新預(yù)算線下 原來的消費束仍然可以買得起 新的最優(yōu)消費束必然位于原預(yù)算集之外之外之外之外 這意味著新的最優(yōu)選擇點必然位于稟賦點的左側(cè) 因此 當(dāng)利率增加時 消費者必然選擇仍 然作為放款者 圖 10 4 若某消費者是個放款者若某消費者是個放款者若某消費者是個放款者若某消費者是個放款者 在利率增加在利率增加在利率增加在利率增加時時時時 他必然選擇繼續(xù)作為放款者他必然選擇繼續(xù)作為放款者他必然選擇繼續(xù)作為放款者他必然選擇繼續(xù)作為放款者 利率增加 時 預(yù)算線繞著稟賦點轉(zhuǎn)動到更陡峭的位置 顯示偏好原理表明新的消費束必然位于稟賦點 的左側(cè) 類似地 如果消費者最初為借款者 利率降低時 他必然選擇繼續(xù)借款 請模仿圖 10 4 畫圖分析一下此情形 因此 如果消費者最初為放款者 利率增加時 他會繼續(xù)放款 如果消費者最初為借 款者 利率降低時 他會擇繼續(xù)借款 另一方面 如果某消費者最初為放款者 利率降低時 他可能決定轉(zhuǎn)變?yōu)榻杩钫?類似地 利率增加可能誘使借款者變?yōu)榉趴钫?但后面這兩種情 6 形無法使用顯示偏好理論進行分析 我們還可以使用顯示偏好理論 分析當(dāng)利率變化時消費者的福利變化 如果消費者最 初為借款者 利率增加時 他決定繼續(xù)作為借款者 則他的狀況變差 可以用圖 10 5 說明 這個結(jié)論 如果消費者繼續(xù)作為借款者 那么他的選擇點必然位于原預(yù)算集內(nèi) 而這樣的選 擇點都是曾經(jīng)被他放棄過的 這意味著他的狀況必定變差 圖 10 5 什么樣的情形下什么樣的情形下什么樣的情形下什么樣的情形下 當(dāng)利率增加時借款者的狀況會變差當(dāng)利率增加時借款者的狀況會變差當(dāng)利率增加時借款者的狀況會變差當(dāng)利率增加時借款者的狀況會變差 某借款者在利率增加后如 果繼續(xù)選擇作為借款者 則他的狀況會變差 10 4 斯勒茨基方程與跨期選擇 我們可以象第 9 章一樣 使用斯勒茨基方程將由利率變動引起的需求變動 分解為收入 效應(yīng)和替代效應(yīng) 利率變動對每個時期的消費有何影響 這種情形下使用終值形式的預(yù)算線進行分析會更容易一些 在這種形式的預(yù)算約束中 利率增加等價于時期 1 的消費價格提高了 與時期 2 的消費價格相比較 寫出斯勒茨基方 程可得 1 11 1 1 1 1 m c cm p c p c mst 替代效應(yīng) 和以前一樣 總是與價格變動方向相反 在該情形下 時期 1 的消費價格上 升 因此替代效應(yīng)表明消費者應(yīng)該減少時期 1 的消費 所以在上式中 我們在替代效應(yīng)下面 標(biāo)記了一個負(fù)號 假設(shè)消費品為正常商品 因此上式的最后一項即收入變動時消費如何變動 符號為正 由此可見 整個表達式即總效應(yīng)的符號取決于 11 cm 的符號 如果消費者為 借款者 則該項為負(fù) 從而總效應(yīng)的符號必定為負(fù) 因為對于借款者來說 利率增加時他必 然減少時期 1 的消費 為什么總效應(yīng)的符號為負(fù) 當(dāng)利率增加時 替代效應(yīng)會使消費者減少時期 1 的消費 若該消費者為借款者 利率增加后意味著他在時期 2 償還的利息增加 這種效應(yīng)促使他減少 借入的錢數(shù) 因此他在時期 1 的消費量會減少 7 但是 如果消費者為放款者 則總效應(yīng)的符號不明朗 總效應(yīng)等于負(fù)的凈效應(yīng)與正的 收入效應(yīng)之和 從放款者的角度看 利率增加會使他的收入增加 因此時期 1 的消費量可能 增加 利率變動的效應(yīng)并不神秘 和其他商品價格變動一樣 利率 即貨幣的價格 變動也 會引起收入效應(yīng)和替代效應(yīng) 但是如果不借助斯勒茨基方程 我們就無法將各種效應(yīng)隔離開 從而無法分解各種效應(yīng)引起的變化 正是有了這個工具 我們的分析才如此簡單 10 5 通貨膨脹 在以上的分析中 我們用于分析的商品沒有指明具體名稱 而是統(tǒng)一用 消費品 表示 我們斷言 在時期 1 你放棄c 單位的消費品 在時期 2 你可以購買cr 1 單位 但這種 斷言暗含著消費品 價格 固定不變的假設(shè) 即不存在通貨膨脹或通貨貶值 然而 上述分析稍加變動即可用于分析通貨膨脹的情形 現(xiàn)在假設(shè)消費品在不同時期的 價格不同 出于方便的考慮 通常將時期 1 的價格定為 1 而用 2 p表示時期 2 的價格 同 樣出于方便的原因 通常用消費品的單位衡量稟賦 因此稟賦在時期 2 的貨幣價值為 22m p 因此 消費者在時期 2 可用于消費的金錢數(shù)由下式給出 1 112222 cmrmpcp 由上式解出 2 c即可得到時期 2 的消費量 1 11 2 22 cm p r mc 注意 這個式子非常類似我們前面給出的式子 不同之處在于此處我們用 2 1 pr 代替了 r 1 下面我們將預(yù)算約束用通貨膨脹率表達 通貨膨脹率 是指價格上漲的比率 由于 在前面我們令1 1 p 我們有 1 2 p 將上式代入時期 2 消費量的表達式 可得 1 1 1122 cm r mc 我們引入一個新的變量 用它表示實際利率 real rate of interest 將其定義為1 1 1 1 r 因此 預(yù)算約束變?yōu)?1122 cmmc 1表示 如果你在時期 1 放棄一些消費消費消費消費 在時期 2 你可以得到多少額外的消費消費消費消費 這正是 1 為希臘字母 讀作 row 8 它為什么叫做實際利率的原因 它衡量你能得到多少額外的消費 而不是你能得到多少錢 錢的利率稱為名義利率 nominal rate of interest 我們已知道 名義利率和實際利率 的關(guān)系為 1 1 1 r 從上式可得到 的顯性表達式 1 1 1 1rr 從這個式子可計算出實際利率的確切數(shù)值 但是使用近似值更方便 如果通貨膨脹率不 大 上式的分母即 1略微比 1 大 因此可用下式估計實際利率的近似值 r 這就是說實際利率近似等于名義利率減去通貨膨脹率 符號 表示 約等于 這個近似 是合理的 如果名義利率等于 18 但價格上漲了 10 則實際利率 在當(dāng)期放棄一些消 費后在下一期能得到的額外消費量 大致等于 8 當(dāng)然在制定消費計劃時 我們通常關(guān)心未來的消費 一般來說 我們能知道下一期的 名義利率 但不知道下一期的通貨膨脹率 因此 實際利率通常用當(dāng)前利率減去預(yù)期預(yù)期預(yù)期預(yù)期 expected 通貨膨脹率來計算 由于人們對下一期的通貨膨脹率的預(yù)期不同 他們估算出 的實際利率不同 如果能夠合理地預(yù)測通貨膨脹率 那么他們估算出的實際利率不會存在大 的差異 10 6 現(xiàn)值 進一步研究 現(xiàn)在我們繼續(xù)分析本章第一節(jié)中預(yù)算約束的兩個表達式 即 10 2 式和 10 3 式 2121 1 1 mmrccr r m m r c c 11 2 1 2 1 請看上面兩個式子的右端 我們說過 第一個式子中稟賦的價值是用終值衡量的 第 二個式子則用現(xiàn)值衡量 我們先分析終值的概念 如果借款和放款的利率都為r 今天的 1 元錢在下一期的終值 是多少 答案是 1 r 元 即 利率為r時我們將 1 元錢存入銀行 則在下一期可以得到 1 r 元 換句話說 下一期的 1 r 元等價于今天的 1 元 因為如果你今天借入 1 元錢 在下一期你要償還 1 r 元 如果將下一期的 1 元作為計價物 則今天 1 元的價格即為 1 r 元 這一點可從上面第一個預(yù)算約束表達式看出 這個式子是用終值作為計價物 將 即第二期貨幣的價格定為 1 從而第一期貨幣的價格為 1 r 接下來我們分析現(xiàn)值 現(xiàn)值正好相反 一切東西的價值都用今天的錢來衡量 下一期的 1 元在今天值多少錢 答案為 1 1r 元 這是因為利率為r時將 1 1r 元錢存入銀行 在下一期就可得到 1 元 下一期兌現(xiàn)的 1 元錢的現(xiàn)值現(xiàn)值現(xiàn)值現(xiàn)值 為 1 1r 元 9 現(xiàn)值這個概念 讓我們得到了跨期消費預(yù)算線的另外一種表達方法 某消費方案是可某消費方案是可某消費方案是可某消費方案是可 行的行的行的行的 如果在該方案下如果在該方案下如果在該方案下如果在該方案下 消費品的現(xiàn)值等于收入的現(xiàn)值消費品的現(xiàn)值等于收入的現(xiàn)值消費品的現(xiàn)值等于收入的現(xiàn)值消費品的現(xiàn)值等于收入的現(xiàn)值 現(xiàn)值的概念有一個重要的應(yīng)用價值 這個應(yīng)用價值與第 9 章中的下列結(jié)論密切相關(guān) 如果消費者能以不變價格自由買和賣 則消費者總是偏好價值更高的稟賦 在跨期選擇的情 形下 這個結(jié)論意味著 如果消費者能以不變利率自由借和貸如果消費者能以不變利率自由借和貸如果消費者能以不變利率自由借和貸如果消費者能以不變利率自由借和貸 則消費者總是偏好現(xiàn)值更則消費者總是偏好現(xiàn)值更則消費者總是偏好現(xiàn)值更則消費者總是偏好現(xiàn)值更 高的收入方式高的收入方式高的收入方式高的收入方式 這個結(jié)論成立的原因和第 9 章中的上述結(jié)論成立的原因是一樣的 稟賦價值增加后預(yù) 算線向外移動 新的預(yù)算集包含原預(yù)算集 這就是說從圖形上看 新預(yù)算集等于原預(yù)算集加 上一塊新的區(qū)域 經(jīng)濟學(xué)家有時會說現(xiàn)值較高的稟賦控制 dominate 著現(xiàn)值較低的稟賦 因為在任一任一任一任一 時期 銷售前一種稟賦所得的收入都高于銷售后者所得收入 從而消費者在前一 種情形下的消費數(shù)量更大 當(dāng)然 如果一個稟賦的現(xiàn)值比另一個高 則終值也比另一個高 然而 使用現(xiàn)值衡量 跨期消費情形下的貨幣稟賦的購買力更為方便 因此我們主要研究用現(xiàn)值衡量的情形 10 7 若干時期的現(xiàn)值分析 下面我們分析一個三段時期的模型 假設(shè)在這三個時期 資金借和貸的利率都恒為r 因此 時期 2 的消費 若用時期 1 的消費衡量 則為 1 1r 時期 3 的消費的價格是什么 如果我投資 1 元錢 則下一期將增長到 1 r 元 我把這 筆錢再投資 第三期它將增長到 2 1 r 元 因此 如果今天投資 2 1 1r 元 則在時期 3 可得到 1 元錢 因此 相對于時期 1 的消費 時期 3 的消費的價格為 2 1 1r 時期 3 消 費 1 元 相當(dāng)于在時期 1 消費 2 1 1r 元 這意味著預(yù)算約束的表達式為 2 32 1 2 32 1 1 1 1 1r m r m m r c r c c 這個式子很像我們前面已經(jīng)介紹過的預(yù)算線 其中時期t的消費的價格若用今天的消費衡量 等于 1 1 1 t t r p 和以前一樣 現(xiàn)值越高的稟賦 消費者越喜歡 因為稟賦價值增高后 預(yù)算線會向外移動 我們是在利率恒定不變的假設(shè)前提下推導(dǎo)出上述預(yù)算線的表達式 但很容易將它推廣到 利率可變的情形 例如 假設(shè)時期 1 到時期 2 的利息率為 1 r 時期 2 到時期 3 的利息率為 2 r 因此時期 1 儲蓄 1 元在時期 3 可以得到 1 1 21 rr 元 因此 時期 3 的 1 元的現(xiàn)值為 1 1 1 21 rr 元 這意味著預(yù)算線的表達式為 1 1 1 1 1 1 21 3 1 2 1 21 3 1 2 1 rr m r m m rr c r c c 10 處理這個式子并不難 但我們一般更樂意處理利率為既定常數(shù)的情形 表 10 列出了未來第 T 年的 1 元錢在不同利率下的現(xiàn)值 你應(yīng)該注意到了 隨著利率 合 理 增加 現(xiàn)值下降的速度非?？?例如 利率為 10 時 未來第 20 年的 1 元錢只相當(dāng)于 今天的 0 15 元 表 10 未來第未來第未來第未來第 T 年年年年 1 元錢的現(xiàn)值元錢的現(xiàn)值元錢的現(xiàn)值元錢的現(xiàn)值 10 8 現(xiàn)值的用途 我們先給出一個重要的一般原理 將未來貨幣流折算為將未來貨幣流折算為將未來貨幣流折算為將未來貨幣流折算為 今天今天今天今天 現(xiàn)金的唯一正確方法現(xiàn)金的唯一正確方法現(xiàn)金的唯一正確方法現(xiàn)金的唯一正確方法 就是就是就是就是 使用現(xiàn)值使用現(xiàn)值使用現(xiàn)值使用現(xiàn)值 這個原理可從現(xiàn)值的定義直接推知 現(xiàn)值衡量消費者貨幣稟賦的價值 只要消費 者能以既定利率自由借和貸 那么稟賦的現(xiàn)值越高意味著各期的消費量也越多越多越多越多 不論你在各 期的消費偏好如何 你都肯定喜歡現(xiàn)值更高的貨幣流 因為這會使得你在各期的消費量更多 上述結(jié)論可用圖 10 6 說明 在此圖中 消費束 21 mm 比原來的稟賦 21 mm差 因 為它位于通過 21 mm的那條無差異曲線的下方 然而 如果消費者能以利率r借和貸 則 他會偏好 21 mm 勝于 21 mm 原因在于 擁有稟賦 21 mm 時他能夠消費得起 21 cc 21 cc顯然比他當(dāng)前的消費束好 圖 10 6 更高的現(xiàn)值 若消費者能按市場利率借和貸 則稟賦的現(xiàn)值越高 意味著他的消費 可能性越大 11 現(xiàn)值在評估不同類型投資產(chǎn)生的收入流時 非常有用 如果你想比較兩個不同的投資項 目 但它們產(chǎn)生的收入流不同 怎么知道哪個項目更好些 方法很簡單 計算這兩個項目的 現(xiàn)值 選擇現(xiàn)值大的那個項目即可 項目的現(xiàn)值越大 你越能消費更多的商品 有時有必要以分期付款 即支付流 的形式購買收入流 例如 例如 你購買公寓時可 以向銀行抵借款 在隨后幾年內(nèi)分期償還 假設(shè)可用支付流 21 PP購買 21 MM這個收入 流 為評估上述投資是否可行 我們比較這兩個貨幣流的現(xiàn)值即可 如果 r P P r M M 11 2 1 2 1 10 4 即如果收入流的現(xiàn)值大于支付流的現(xiàn)值 則投資可行 因為它可以增加我們稟賦的現(xiàn)值 評估投資可行性時 還可以使用凈現(xiàn)值 net present value 法 這種方法和現(xiàn)值方法 的思想是一致的 為了計算凈現(xiàn)值 我們先計算每個時期的凈現(xiàn)金流凈現(xiàn)金流凈現(xiàn)金流凈現(xiàn)金流 然后將其折算為現(xiàn)值 在本例中 凈現(xiàn)金流為 2211 PMPM 將其折算為現(xiàn)值可得凈現(xiàn)值 r PM PMNPV 1 22 11 例子 評估收入流 假設(shè)有兩個投資項目 A 和 B A 項目今年和明年產(chǎn)生的收入分別為 100 元 200 元 B 項目的今年和明年的收入分別為 0 元和 310 元 為簡單起見 假設(shè)這兩個項目的成本一樣大 哪個項目更好一些 答案取決于利率 如果利率為 0 將兩年的收入相加即可得到答案 因為利率為 0 時 現(xiàn)值的計算可以歸結(jié)為將收入相加 利率為 0 時 A 和 B 收入的現(xiàn)值分別為 300 元和 310 元 顯然 B 更好 但若利率比較 高 我們可能得到相反的答案 例如假設(shè)利息為 20 則兩個項目收入的現(xiàn)值分別為 67 266 20 1 200 100 A PV 33 258 20 1 310 0 A PV 現(xiàn)在 A 項目更好 由于 A 項目早期收入比較大 這意味著當(dāng)利率較高時它的現(xiàn)值較大 例子 信用卡的真實成本 使用信用卡借款代價昂貴 很多公司索要 15 21 的利率 但是如果你知道它們是怎 么計算借款費用的 你就會知道信用卡借款的真實利息率要遠高于它們使用的利率 假設(shè)在某月的第一天 某消費者使用信用卡購買了 2000 元的東西 假設(shè)利率為 1 5 如果該月末 他全部還清了 2000 元 則不需要繳納利息 如果他一分錢也沒還 在下月月 初他就需要繳納30015 02000 元的利息 12 如果消費者在借款當(dāng)月的月末償還了 1800 元 利息為多少 在本例中 消費者相當(dāng)于 只借了 200 元 因此利息為 3 元 然而很多信用卡公司索要的利息遠高于 3 元 原因在于 很多信用卡公司是根據(jù) 月度平均欠款額 計算利息的 即使你償還了部分欠款 在本例中 月度平均欠款額大約為 2000 元 1942 31 1200302000 2000 因此盡管消費者只 借款 200 元 但需要交納大約 30 元的利息 這相等于月利率為 15 10 9 債券 證券 securities 是承諾某種償還方式的金融工具 由于人們想要的償還方式很多 金融工具的種類也很多 人們在金融市場中買賣證券 相當(dāng)于他們用某一時期的現(xiàn)金流交換 另一時期的現(xiàn)金流 這些現(xiàn)金流通常用于某時期或另一時期的消費 此處我們只分析一種特別的證券即債券 bond 政府和公司都可發(fā)行債券 債券的本 質(zhì)是借錢的一種方式 借錢方 也就是債券發(fā)行者 承諾每期償還既定的x元 息票 利息 coupon 直到某個時期 T 到期日 maturity date 在到期日借錢方向債券持有人歸還 F 元 債券票面價值 face value 因此債券的支付流是 Fxxx 如果利率固定不變 債券的現(xiàn)值容易計算 計算公 式為 T r F r x r x PV 1 1 1 2 注意 如果利率上升債券的現(xiàn)值會下降 為什么 因為利率上升時 未來 1 元的現(xiàn)值將 減少 債券支付流的現(xiàn)值也因此減少 債券市場規(guī)模較大而且比較成熟 流通債券的市場價值將隨利率的波動而波動 因為債 券帶票的支付流的現(xiàn)值改變了 一種非常有趣的債券是永久付息的債券 這樣的債券稱為統(tǒng)一公債 consols 或永續(xù)年 金 perpetuities 怎樣計算此類債券的現(xiàn)值 假設(shè)該債券承諾永久性支付年息x元 計算 它的現(xiàn)值需要計算下列無窮級數(shù) 1 1 2 r x r x PV 計算的技巧是把公因子 1 1r 提取出來 從而得到 1 1 1 1 2 r x r x x r PV 注意到方括號內(nèi)的項恰好等于x加上現(xiàn)值 將現(xiàn)值 PV 代入可解得 PV r x PVPVx r PV 1 1 13 這種方法并不難 但還有一種更簡單的方法可以理解得到答案 如果利率恒為r而且你想永 遠獲得x元 你需要投入多少錢 V 你立即可寫出方程 xVr 這個式子是說V的利息一定等于x 但這樣一來 這樣一筆投資的價值為 r x V 因此 承諾永久支付x元的統(tǒng)一公債的現(xiàn)值必然等于rx 對于統(tǒng)一公債可以直接看出 利率上升時債券價值下降 例如 假設(shè)統(tǒng)一公債發(fā)行時的 利率為 10 因此 如果它承諾永久支付 10 元的年息 它的現(xiàn)值為 100 元 因為 100 元可 以產(chǎn)生 10 元的年息收入 現(xiàn)在假設(shè)利率上升為 20 上述債券的價值必然下降為 50 元 因為利率為 20 時 只 要投入 50 元就可以獲得 10 元的年息 統(tǒng)一公債價值的計算公式可用于近似計算長期債券的價值 例如如果利率為 10 30 年后的 1 元錢的現(xiàn)值約為 6 分錢 30 101 1 對于我們通常面臨的利率水平來說 30 年已經(jīng)夠長了 例子 分期償還的貸款 假設(shè)你借了 1000 元并且承諾分 12 個月償還 每月償還 100 元 你支付的利率為多大 乍看起來 似乎利率為 20 你借款 1000 元 償還了 1200 元 但這種分析是不對的 因 為你并不是全年借款 1000 元 你借了一個月的 1000 元 在你償還了 100 元后 你只借了 900 元 你本應(yīng)該支付 900 元的月利息 你借了一個月的 900 元 接著又償還了 100 元 以 此類推 我們想評估的貨幣流是 100 100 100 1000 借助計算器或者計算機 我們可以找到使上述貨幣流的現(xiàn)值為 0 的利率 該分期付款的利率 高達 35 10 10 稅收 在美國 利息收入按普通收入征稅 這表明利息收入和勞動收入的稅率是相同的 假設(shè) 邊際稅率等級為t 因此收入每增加m 你的稅負(fù)相應(yīng)增加mt 如果你投資 X 元 獲得 利息收入為rX 但你要對這筆收入繳納trX的稅 現(xiàn)在只剩下rXt 1 的稅后收入 我們 將rt 1 稱為稅后利率 after tax interest rate 如果你不是投出而是借入 X 元 結(jié)果會怎樣 這種情形下 你需要支付利息rX 在美 14 國 某些類型的利息收入 可享受稅收減免 tax deductible 例如 抵押借款產(chǎn)生的利息 享受稅收減免 但普通消費貸款則不享受 另一方面 公司絕大部分的借款利息可從收入扣 除 如果某類型的利息可以稅收減免 你可從你的其他收入中減去應(yīng)支付的利息 僅按相減 后所得的差額繳稅 因此若你支付利息rX元 意味著你可以少繳trX元的稅 這樣 借款 X 元的總成本為rXTtrXrX 1 因此對于稅率等級相同的人來說 借款和貸款的稅后利率是相同的 對儲蓄征稅會打擊 人們儲蓄的積極性 但對借款補貼則鼓勵人們積極借錢 例子 獎學(xué)金和儲蓄 美國的很多學(xué)生都可以獲得某些類型的資金資助 以幫助他們支付學(xué)費 學(xué)生領(lǐng)取的資 金資助數(shù)額取決于很多因素 但其中一個重要的因素是他的家庭支付學(xué)費的能力 美國大學(xué) 入學(xué)考試委員會 College Entrance Examination Board CEEB 負(fù)責(zé)計算學(xué)生家庭支付學(xué)費的 能力 絕大多數(shù)大學(xué)采用了這種計算方法 如果某個學(xué)生打算申請資金資助 他或他的家庭必須填寫一份調(diào)查表 該調(diào)查表詳細描 述了他的家庭財務(wù)狀況 CEEB 根據(jù)該學(xué)生父母的收入和財產(chǎn)信息 計算出 調(diào)整后的可支 配收入 父母需要根據(jù)調(diào)整后的可支配收入繳納部分學(xué)費 一般為該收入的 22 47 具 體繳納比例取決于調(diào)整后可支配收入的多少 在 1985 年 若父母的稅前收入為 35 000 美元 則需要繳納 7000 美元的學(xué)費 隨著父母收入和財產(chǎn)數(shù)額的上升 他們應(yīng)繳納學(xué)費的數(shù)額也上升 從而獲得資助的數(shù)額 也下降 CEEB 計算家庭收入的方法 實質(zhì)上是對儲蓄 用于為子女繳納大學(xué)學(xué)費的儲蓄 征稅 馬丁 菲爾德斯坦 美國國家經(jīng)濟研究局主席 哈佛大學(xué)經(jīng)濟學(xué)教授 曾計算過這種 稅收的規(guī)模 1 我們分析下面這樣的情形 子女剛讀大學(xué)時父母決定多儲蓄 1 美元 在 6 的利率下 現(xiàn)在的 1 美元在 4 年后的終值為 1 26 美元 由于聯(lián)邦政府和州政府都征收利息所得稅 征 稅后只剩下 1 19 美元 然而 由于多儲蓄了 1 美元相當(dāng)于父母的財產(chǎn)增加了 他們子女在 大學(xué)四年的每一年所獲得的資助數(shù)額都下降 這種 教育稅 使 1 美元在 4 年后的終值僅為 0 87 美元 這相當(dāng)于對他們征收了 150 的收入稅 菲爾德斯坦還分析了子女即將考大學(xué)的中產(chǎn)階級家庭的儲蓄行為 他估計 由于聯(lián)邦稅 州稅和 教育稅 的綜合影響 年收入 40 000 美元且有兩個孩子即將讀大學(xué)的家庭 要比 同等收入的一般家庭少儲蓄 50 10 11 稅率選擇 1 Martin Feldstein College Scholarship Rules and Private Savings American Economic Review 85 3 June 1995 15 在上面分分析中 我們討論了 利率 在現(xiàn)實生活中 利率的種類很多 名義利率 nominal rates 實際利率 稅前利率 稅后利率 短期利率 長期利率 等等 在做現(xiàn)值 分析時 到底應(yīng)選擇哪種利率 回答這樣的問題需要使用現(xiàn)值的原理 現(xiàn)值思想產(chǎn)生的原因 是我們希望將某個時點 的資金換算為另一時點的等額資金 利率是投資的報酬 它使得我們能象上述一樣將資金從 一個時點轉(zhuǎn)移到另一個時點 如果有很多利率種類可用 我們在分析現(xiàn)值時 應(yīng)該選擇和我們研究的貨幣流性質(zhì)類 似的利率 如果對貨幣流不納稅 我們應(yīng)該使用稅錢利率 如果貨幣流延續(xù) 30 年 我們應(yīng) 使用長期利率 如果貨幣流帶有不確定性 我們應(yīng)該使用帶有類似不確定性的投資利率 在 后面章節(jié)我們會知道最后一句話是什么意思 利率衡量資金的機會成本 opportunity cost 即將資金用在其他用途的價值 因此 你應(yīng)該將每個貨幣流與其他選擇中最好的那個選擇相比較 這個選擇應(yīng)與你的貨幣流具有類 似的課稅方式 風(fēng)險和流動性的特征也應(yīng)該類似 總結(jié) 1 跨期消費情形下的預(yù)算線可表示為現(xiàn)值的形式 也可以表示為終值的形式 2 我們在前面章節(jié)對于一般選擇問題推導(dǎo)出的比較靜態(tài)結(jié)果 同樣適用于跨期消費問題 3 實際利率衡量你現(xiàn)在放棄一些消費可以換得將來消費的數(shù)量 4 若消費者能以既定利率自由借和貸 則他總是更喜歡現(xiàn)值更高的那個稟賦 復(fù)習(xí)題 1 若利率為 20 20 年后的 100 萬元相當(dāng)于今天的多少錢 2 當(dāng)利率增加時 跨期預(yù)算線變得更陡峭還是更平坦 3 在跨期消費情形下 兩商品為完全替代的假設(shè)還成立嗎 4 某消費者最初為放款人 利率下降后他仍然選擇作為放款人 他的狀況變好還是變壞了 如果利率下降后他決定變?yōu)榻杩钊?他的狀況變好還是變壞了 5 若利率為 10 一年后的 100 元錢的現(xiàn)值是多大 如果利率是 5 呢 復(fù)習(xí)題解答 1 若利率為若利率為若利率為若利率為 20 20 年后的年后的年后的年后的 100 萬元相當(dāng)于今天的多少錢萬元相當(dāng)于今天的多少錢萬元相當(dāng)于今天的多少錢萬元相當(dāng)于今天的多少錢 復(fù)習(xí)內(nèi)容 多時期情形下的現(xiàn)值 參考答案 16 61 2 201 100 20 PV 萬元 或者根據(jù)教材表 10 1 進行粗略計算 從表 10 1 可知 20 年后的 1 元錢想當(dāng)于今天的 0 03 元 因此 100 萬元相當(dāng)于今天的 3 萬元 2 當(dāng)利率增加時當(dāng)利率增加時當(dāng)利