高三年級質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷 標準答案1104B.doc

2010學年度第二學期普陀區(qū)高三質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷參考答案 201104一、填空題（滿分56分）：1. ； 2. 理：3； 文：； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 32； 8. 理：-6；文：5； 9. 或； 10. 理：；11. ；12. 理：；文：； 13. 理：（2，2012）；文：； 14. 1028.二、選擇題（滿分20分）： 題號15161718答案CCDA三、解答題： 19.（本題滿分12分）解法一：因為 ，得 ，所以 . 若實系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根， 因為，故所求的一個一元二次方程可以是.解法二：設，則 ， ，以下解法同解法一.20.（本題滿分14分）解：爭議的原因是收費標準中對于“每小時按加價50%收費”的含義出現(xiàn)了歧義。以下給出三種不同的理解：解釋一：第一小時為10元，以后每小時都為15元.14小時總收費為：元；解釋二：第一小時為10元，以后每小時都比前一小時增加5元.可以理解為等差數(shù)列求和，則14小時總收費為元.解釋三：第一小時為10元，以后每小時都增加50%.可以理解為等比數(shù)列求和，則14個小時的收費為元.【說明】以上三種解釋中能任意給出兩種即可得滿分.21. （本題滿分14分）（理科）解：（1）以點為坐標原點，射線分別為的正半軸建立空間直角坐標系如圖示，點、，則，.設異面直線與所成角為第21題圖xyz,所以異面直線與所成角大小為.（2）假設在線段上存在一點滿足條件，設點，平面的法向量為，則有 得到，取，所以，則，又，解得，所以點即，則.所以在線段上存在一點滿足條件，且長度為.（文科）解：(1)由題意，當時，此時，都為單位向量.故，所以.(2) 由條件因為向量和向量共線，所以，因為，所以.于是，設向量和的夾角為則，即向量和的夾角為.22.（本題滿分16分）（理科，同文科23題）解：（1）由得，則，任取，都有，則該函數(shù)為奇函數(shù).（2）任取，則有，.又，所以，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列要滿足條件，則必有。由（1）知函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列滿足：且即可.我們可以先確定使得，因為公差不為零的等差數(shù)列必是單調(diào)的數(shù)列，只要它的最大項和最小項在中，即可滿足要求. 所以只要對應的點盡可能的接近原點.如取，存在滿足條件的一個等差數(shù)列可以是. 【說明】本問題結(jié)論開放. 我們可以將問題解決的方法一般化.設，若，可得.而由題意，需（）.同理，若，則需.（文科） （1）證法一：由題意，原點必定在圓內(nèi)，即點代入方程的左邊后的值小于0，于是有，即證.證法二：由題意，不難發(fā)現(xiàn)、兩點分別在軸正負半軸上. 設兩點坐標分別為， ，則有. 對于圓方程，當時，可得，其中方程的兩根分別為點和點的橫坐標，于是有.因為，故.（2）不難發(fā)現(xiàn)，對角線互相垂直的四邊形面積，因為，可得.又因為，所以為直角，而因為四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，故. 對于方程所表示的圓，可知，所以.（3）證：設四邊形四個頂點的坐標分別為，. 則可得點的坐標為，即.又，且，故要使、三點共線，只需證即可.而，且對于圓的一般方程，當時可得，其中方程的兩根分別為點和點的橫坐標，于是有.同理，當時，可得，其中方程的兩根分別為點和點的縱坐標，于是有.所以，即. 故、必定三點共線.23. （本題滿分18分）（理科）解：（1）因為對角線互相垂直的四邊形面積，而由于為定長，則當最大時，四邊形面積取得最大值. 由圓的性質(zhì)，垂直于的弦中，直徑最長，故當且僅當過圓心時，四邊形面積取得最大值，最大值為.（2）解法一：由題意，不難發(fā)現(xiàn)，當點運動到與圓心重合時，對角線和的長同時取得最大值，所以此時四邊形面積取得最大值，最大值為.解法二：設圓心到弦的距離為，到弦的距離為，的距離為.則，且.可得又，當且僅當時等號成立.所以，當且僅當時等號成立.又因為點在圓內(nèi)運動，所以當點和圓心重合時，此時，故此時四邊形的面積最大，最大值為.不難發(fā)現(xiàn)，此時該四邊形是圓內(nèi)接正方形，對角線交點與圓心重合.（3）類比猜想1：若對角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形中的一條對角線長確定時，當且僅當另一條對角線通過橢圓中心時，該橢圓內(nèi)接四邊形面積最大.類比猜想2：當點在橢圓中心時，對角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形的面積最大.以上兩個均為正確的猜想，要證明以上兩個猜想，都需先證：橢圓內(nèi)的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大.證：設橢圓的方程為（），平行弦的方程為，聯(lián)立可得不妨設、，則 由于平行弦的斜率保持不變，故可知當且僅當時，即當直線經(jīng)過原點時，取得最大值（*）.特別地，當斜率不存在時，此結(jié)論也成立.由以上結(jié)論可知，類比猜想一正確。又對于橢圓內(nèi)任意一點構(gòu)造的對角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形，我們都可以將對角線平移到交點與橢圓中心重合的橢圓內(nèi)接四邊形,而其中,所以必有.即證明了猜想二也是正確的.n 類比猜想3：當點在橢圓中心，且橢圓內(nèi)接四邊形的兩條互相垂直的對角線恰為橢圓長軸和短軸時，四邊形面積取得最大值.要證明此猜想，也需先證“橢圓內(nèi)的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大.”在此基礎上，可參考以下兩種續(xù)證方法.證法一：當點在橢圓中心時，不妨設對角線所在直線的斜率為.（i）當時，即為橢圓長軸，又，故是橢圓的短軸. 所以此時橢圓內(nèi)接四邊形的面積為.（ii）當時，對角線的斜率為.由此前證明過程中的（*）可知，,若將代換式中的，則可得弦的長度，.所以，由，則，綜上（i）和（ii），故可證明猜想三正確.證法二：如圖，四邊形對角線交點與橢圓中心重合.y由對