天津市南開區(qū)2020屆高三上學期期末考試數(shù)學試題 Word版含解析

高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家2019-2020學年天津市南開區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共9小題）1. 設(shè)全集2，3，集合，則等于A. B. C. D. 3，2. 命題“，ln”的否定是A. ，lnB. ，lnC. ，lnD. ，ln3. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是A. B. C. D. 4. 已知等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，則“”是“”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件5. 設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B. C. D. 6. 過點，斜率為k的直線，被圓截得的弦長為，則k的值為A. B. C. D. 7. 函數(shù)的最大值與最小值之和為A. B. C. 0D. 8. 已知點，拋物線C：的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則：A. 2：B. 1：2C. 1：D. 1：39. 四邊形ABCD中，則的取值范圍是A. B. C. D. 二、填空題（本大題共6小題）10. 復數(shù)的共軛復數(shù)是_11. 曲線在點處的切線方程為_12. 四棱錐的底面ABCD是正方形，平面ABCD，各頂點都在同一球面上，若該棱錐的體積為4，則此球的表面積等于_13. 設(shè)雙曲線C經(jīng)過點，且與具有相同漸近線，則C的方程為_；漸近線方程為_14. 已知正數(shù)x，y滿足，則當x_時，的最小值是_15. 對于實數(shù)a和b，定義運算“”：，設(shè)，若函數(shù)恰有三個零點，則m的取值范圍是_；的取值范圍是_三、解答題（本大題共5小題）16. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，的面積為求a及sinC的值；求的值17. 如圖，已知直三棱柱的底面是直角三角形，求證：平面；求二面角的余弦值；求點到平面的距離18. 已知橢圓C的一個頂點為，焦點在x軸上，若右焦點到直線的距離為3求橢圓C的方程；設(shè)橢圓C與直線相交于不同的兩點M，N，線段MN的中點為E當，時，射線OE交直線于點為坐標原點，求的最小值；當，且時，求m的取值范圍19. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；令，證明：；求20. 已知函數(shù)討論的單調(diào)性；若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；當時，設(shè)為自然對數(shù)的底若正實數(shù)，滿足，證明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集2，3，集合，故選：B先求出，由此能求出的值本題考查補集、交集的求法，考查補集、交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題2.【答案】A【解析】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“，ln”的否定是：，ln故選：A利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可本題考查特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題3.【答案】A【解析】解：函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件B.函數(shù)的定義域為，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，為減函數(shù)，不滿足條件C.為增函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件D.，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，為增函數(shù)，滿足條件，故選：A根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)分別進行判斷即可本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)4.【答案】C【解析】解：等差數(shù)列的公差為d，則“”是“”的充要條件，故選：C化簡求解，再判斷充要性本題考查充要性，以及數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題5.【答案】A【解析】解：，故選：A利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解本題考查三個數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用6.【答案】A【解析】解：設(shè)直線方程為，即，圓截得的弦長為，圓心到直線的距離為，故選：A設(shè)直線方程為，利用圓截得的弦長為，求出圓心到直線的距離為1，即可得出結(jié)論本題考查直線和圓的方程的應用，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，確定圓心到直線的距離為1是關(guān)鍵7.【答案】D【解析】解：函數(shù)，由，得，所以，所以y的最大值為2，最小值為，所以y的最大值與最小值之和為故選：D化函數(shù)y為正弦型函數(shù)，根據(jù)x的取值范圍即可求出y的最大值與最小值之和即可本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎(chǔ)題8.【答案】C【解析】解：拋物線C：的焦點為，點A坐標為拋物線的準線方程為l：，直線AF的斜率為，過M作于P，根據(jù)拋物線物定義得中，可得，得因此，可得：故選：C求出拋物線C的焦點F的坐標，從而得到AF的斜率過M作于P，根據(jù)拋物線物定義得中，根據(jù)，從而得到，進而算出，由此即可得到：的值本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題9.【答案】C【解析】解：如圖，以點B為原點，直線BA為x軸，建立平面直角坐標系，則：，設(shè)，設(shè)，的取值范圍為故選：C根據(jù)題意，以點O為原點，以直線BA為x軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)條件可得出，設(shè)，從而可求出的坐標，根據(jù)條件可得出，從而得出，從而可設(shè)，從而可得出，從而可得出的取值范圍本題考查了通過建立平面直角坐標系，利用向量坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，向量坐標的數(shù)量積運算，圓的參數(shù)方程，兩角差的正弦公式，考查了計算能力，屬于中檔題10.【答案】【解析】解：復數(shù)的共軛復數(shù)是故答案為：利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題11.【答案】【解析】解：的導數(shù)，而切點的坐標為，曲線在在處的切線方程為故答案為：根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在處的導數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題12.【答案】【解析】解：因為四邊形ABCD是正方形，且平面ABCD，所以可以將該四棱錐內(nèi)嵌于長方體中，則該長方體的長、寬、高分別為2、2、4，它們的外接球是同一個，設(shè)半接球半徑為R，所以，解得，所以表面積為故答案為：根據(jù)四棱錐的特征，確定其所屬的類型可以轉(zhuǎn)化為長方體外接球問題，即可求解本題考查球的表面積，考查長方體的外接球問題，屬于中檔題13.【答案】；【解析】解：與具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，雙曲線C經(jīng)過點，即雙曲線方程為，即，對應的漸近線方程為，故答案為：，利用雙曲線漸近線之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，利用漸近線之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)14.【答案】 9【解析】解：正數(shù)x，y滿足，可得，令則且，當且僅當即，此時取最小值9，故答案為：，9由已知可得，可得，代入后進行分離，結(jié)合基本不等式即可求解本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是應用條件的配湊15.【答案】 【解析】解：當時，即，當時，即，所以，因為有三個零點，所以與的圖象有三個交點，即與函數(shù)有三個交點，作出的圖象，如圖，所以，不妨設(shè)，易知，且，所以由解得，所以，所以故答案分別為和首先根據(jù)定義求出函數(shù)的解析式，因為有三個零點，所以與的圖象有三個交點，根據(jù)圖象的分布特征確定函數(shù)零點的分布情況，進而求解三個零點之積的取值范圍本題考查函數(shù)的零點與函數(shù)圖象間交點的關(guān)系，屬于常規(guī)題16.【答案】解：在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，的面積為，再根據(jù)正弦定理可得，即，故【解析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinA的值，再根據(jù)三角形的面積求得b、c的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a及sinC的值利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用兩角差的余弦公式求得的值本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、兩角差的余弦公式，屬于中檔題17.【答案】解：依題意，以C為原點，CB為x軸，為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，則，證明：，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即，平面；，設(shè)平面ABD的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，即二面角的余弦值為；設(shè)點到平面的距離為d，則易知，而，點到平面的距離為【解析】建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出及平面的法向量，驗證它們平行即可得證；求出兩個平面的法向量，利用向量公式得解；設(shè)點到平面的距離為d，則易知，由此得解本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，考查邏輯推理能力及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題18.【答案】解，設(shè)橢圓的右焦點，由題意得：，解得：，所以橢圓的方程：；設(shè)，將直線與橢圓聯(lián)立整理得：，即，且，所以MN的中點，所以射線OE：，與直線的交點，所以，所以，當且僅當，所以時有最小值2當，且時，則，所以，即，解得，所以m取值范圍【解析】由題意得b值及右焦點到直線的距離得c的值，再由a，b，c之間的關(guān)系求出橢圓方程；直線MN與橢圓聯(lián)立，得兩根之和進而求出中點坐標，寫出射線OE求出n的值，再求，用均值不等式求出最小值；由題意知，斜率互為負倒數(shù)得m與k之間的關(guān)系，再與判別式大于零聯(lián)立得m的范圍考查直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題19.【答案】解：設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，由，可得，解得，則，；證明：，；由，可設(shè)，相減可得，化簡可得【解析】設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比、公差，可得所求通項公式；由對數(shù)的運算性質(zhì)求得，再由數(shù)列的裂項相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證；由，運用數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的裂項相消求和、錯位相減法求和，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題20.【答案】解：函數(shù)的定義域為，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，令解得，令解得，故此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對恒成立，即為對任意的，都有，設(shè)，則，令，則，在上單調(diào)遞減，且，當時，單調(diào)遞增；當，單調(diào)遞減，實數(shù)a的取值范圍為證明：當時，不妨設(shè)，下先證：存在，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導數(shù)的幾何意義可知，存在，使得，即存在，使