2013-2014-2 復變函數(shù)復習提綱.doc

復變函數(shù)復習提綱 第一章 復數(shù)與復變函數(shù)(一)復數(shù)的概念1.復數(shù)的概念：，是實數(shù), . 注：一般兩個復數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小.2.復數(shù)的表示1）模：；2）幅角：在時，矢量與軸正向的夾角，記為（多值函數(shù)）；主值是位于中的幅角。3）與之間的關系如下： 當 ； 當；4）三角表示：，其中；注：中間一定是“+”5）指數(shù)表示：，其中。 (二) 復數(shù)的運算1.加減法：若，則2.乘除法：1）若，則； 。2）若, 則； 3.乘冪與方根1） 若，則。2） 若，則（有個相異的值）第二章 解析函數(shù)（三）復變函數(shù)1復變函數(shù)：，在幾何上可以看作把平面上的一個點集變到平面上的一個點集的映射.2復初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)：，在平面處處可導，處處解析；且。注：是以為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）對數(shù)函數(shù)： （多值函數(shù)）；主值：。（單值函數(shù)）的每一個主值分支在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且；注：負復數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）乘冪與冪函數(shù)：；注：在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且。三角函數(shù)： 在平面內解析，且注：有界性不再成立；（與實函數(shù)不同）雙曲函數(shù) ；奇函數(shù)，是偶函數(shù)。在平面內解析。（四）解析函數(shù)的概念1復變函數(shù)的導數(shù)1）點可導：=；2）區(qū)域可導： 在區(qū)域內點點可導。2解析函數(shù)的概念1）點解析： 在及其的鄰域內可導，稱在點解析；2）區(qū)域解析： 在區(qū)域內每一點解析，稱在區(qū)域內解析；3）若在點不解析，稱為的奇點；3解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導與解析的充要條件1函數(shù)可導的充要條件：在可導和在可微，且在 處滿足條件： 此時， 有。2函數(shù)解析的充要條件：在區(qū)域內解析和在在內可微，且滿足條件：；此時。注意： 若在區(qū)域具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在區(qū)域內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明具有一階連續(xù)偏導且滿足條件時，函數(shù)一定是可導或解析的。3函數(shù)可導與解析的判別方法1）利用定義 （題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件 （函數(shù)以形式給出，如第二章習題2）3）利用可導或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)是以的形式給出，如第二章習題3）（六）解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系1調和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)在內有二階連續(xù)偏導數(shù)且滿足，為內的調和函數(shù)。2解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系l 解析函數(shù)的實部與虛部都是調和函數(shù)，并稱虛部為實部的共軛調和函數(shù)。l 兩個調和函數(shù)與構成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)；但是若如果滿足柯西黎曼方程，則一定是解析函數(shù)。3已知解析函數(shù)的實部或虛部，求解析函數(shù)的方法。1）偏微分法：若已知實部，利用條件，得；對兩邊積分，得 （*）再對（*）式兩邊對求偏導，得 （*） 由條件，得，可求出 ；代入（*）式，可求得虛部 。 2）線積分法：若已知實部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中與 是解析區(qū)域中的兩點。3）不定積分法：若已知實部，根據(jù)解析函數(shù)的導數(shù)公式和條件得知， 將此式右端表示成的函數(shù)，由于仍為解析函數(shù)， 注：若已知虛部也可用類似方法求出實部第三章 復變函數(shù)的積分（七）復變函數(shù)積分的概念與性質1 復變函數(shù)積分的概念：，是光滑曲線。注：復變函數(shù)的積分實際是復平面上的線積分。2 復變函數(shù)積分的性質1） （與的方向相反）；2） 是常數(shù)；3） 若曲線由與連接而成，則。3復變函數(shù)積分的一般計算法1）化為線積分：；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設曲線： ，其中對應曲線的起點，對應曲線的終點，則 。（八）關于復變函數(shù)積分的重要定理與結論1柯西積分定理：設在單連域內解析，為內任一閉曲線，則 2復合閉路定理： 設在多連域內解析，為內任意一條簡單閉曲線，是內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于內，則 其中與均取正向； ，其中由及所組成的復合閉路。3閉路變形原理 ： 一個在區(qū)域內的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因在內作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中不經(jīng)過使不解析的奇點。4解析函數(shù)沿非閉曲線的積分： 設在單連域內解析，為在內的一個原函數(shù)，則說明：解析函數(shù)沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數(shù)即可。5. 柯西積分公式：設在區(qū)域內解析，為內任一正向簡單閉曲線，的內部完全屬于，為內任意一點，則6高階導數(shù)公式：解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導數(shù)為 其中為的解析區(qū)域內圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內部完全屬于。7重要結論：。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）8復變函數(shù)積分的計算方法1）若在區(qū)域內處處不解析，用一般積分法2）設在區(qū)域內解析，l 是內一條正向簡單閉曲線，則由柯西積分定理， l 是內的一條非閉曲線，對應曲線的起點和終點，則有3）設在區(qū)域內不解析l 曲線內僅有一個奇點：（在內解析）l 曲線內有多于一個奇點： （內只有一個奇點） 或：（留數(shù)基本定理）l 若被積函數(shù)不能表示成，則須改用第五章留數(shù)定理來計算。第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示（九）復數(shù)項級數(shù)1復數(shù)列的極限1）復數(shù)列（）收斂于復數(shù)的充要條件為 （同時成立）2）復數(shù)列收斂實數(shù)列同時收斂。2復數(shù)項級數(shù)1）復數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)與同時收斂；2）級數(shù)收斂的必要條件是。注：復數(shù)項級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問題的討論。（十）冪級數(shù)的斂散性1冪級數(shù)的概念：表達式或為冪級數(shù)。2冪級數(shù)的斂散性1）冪級數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級數(shù)在處收斂，那么對滿足的一切，該數(shù)絕對收斂；如果在處發(fā)散，那么對滿足的一切，級數(shù)必發(fā)散。2）冪級數(shù)的收斂域圓域冪級數(shù)在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。l 比值法 如果，則收斂半徑；l 根值法 ，則收斂半徑；l 如果，則；說明在整個復平面上處處收斂；如果，則；說明僅在或點收斂；注：若冪級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如）3冪級數(shù)的性質1）代數(shù)性質：設的收斂半徑分別為與，記，則當時， （線性運算） （乘積運算）2） 復合性質：設當時，當時，解析且，則當時，。3） 分析運算性質：設冪級數(shù)的收斂半徑為，則l 其和函數(shù)是收斂圓內的解析函數(shù)；l 在收斂圓內可逐項求導，收斂半徑不變；且 l 在收斂圓內可逐項求積，收斂半徑不變； （十一）冪函數(shù)的泰勒展開1. 泰勒展開：設函數(shù)在圓域內解析，則在此圓域內可以展開成冪級數(shù) ；并且此展開式是唯一的。注：若在解析，則在的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑；其中為從到的距最近一個奇點之間的距離。 2常用函數(shù)在的泰勒展開式1） 2） 3） 4） 3解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1）直接法：直接求出，于是。2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級數(shù)的代數(shù)運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開 1. 洛朗級數(shù)的概念：，含正冪項和負冪項。 2洛朗展開定理：設函數(shù)在圓環(huán)域內處處解析，為圓環(huán)域內繞的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內，有 ，且展開式唯一。3解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開。4利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設在內解析，為內的任何一條正向簡單閉曲線，則 。其中為在內洛朗展開式中的系數(shù)。說明：圍線積分可轉化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中的系數(shù)。第五章 留數(shù)及其應用（十三）孤立奇點的概念與分類1孤立奇點的定義 ：在點不解析,但在的內解析。2孤立奇點的類型：1）可去奇點：展開式中不含的負冪項；2）極點：展開式中含有限項的負冪項；其中在解析，且；3）本性奇點：展開式中含無窮多項的負冪項； （十四）孤立奇點的判別方法1可去奇點：常數(shù)；2極點：3本性奇點：不存在且不為。4零點與極點的關系1）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù)，如果能表示成，其中在解析，為正整數(shù)，稱為的級零點；2）零點級數(shù)判別的充要條件：是的級零點3）零點與極點的關系：是的級零點是的級極點；4）重要結論:若分別是與的級與級零點，則l 是的級零點；l 當時，是的級零點；當時，是的級極點；當時，是的可去奇點；l 當時，是的級零點，當時，是的級零點，其中（十五）留數(shù)的概念 1留數(shù)的定義：設為的孤立奇點，在的去心鄰域內解析，為該域內包含的任一正向簡單閉曲線，則稱積分為在的留數(shù)（或殘留），記作 2留數(shù)的計算方法若是的孤立奇點，則，其中為在的去心鄰域內洛朗展開式中的系數(shù)。1）可去奇點處的留數(shù)：若是的可去奇點，則2）級極點處的留數(shù)法則若是的級極點，則特別地，若是的一級極點，則 （法則I）注：如果極點的實際級數(shù)比低，上述規(guī)則仍然有效。法則II 設，在解析，則（十六）留數(shù)基本定理設在區(qū)域內除有限個孤立奇點外處處解析，為內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉